第05讲 平面向量与复数（2022-2024高考真题）-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

第05讲 平面向量与复数（2022-2024高考真题） （新高考专用） 一、单项选择题 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【解答过程】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解答过程】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】由得，结合，得，由此即可得解. 【解答过程】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【解答过程】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【解答过程】向量满足， 所以. 故选：B. 6．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案. 【解答过程】由题意得. 故选：C. 7．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【解答过程】依题意得，，故. 故选：D. 8．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【解答过程】由，则. 故选：A. 9．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可. 【解答过程】若，则. 故选：C. 10．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：C. 11．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【解答过程】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D. 12．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 13．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出图形,根据几何意义求解. 【解答过程】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 14．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或 然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【解答过程】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 15．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【解答过程】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 16．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【解题思路】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【解答过程】由题意可得， 则. 故选：C. 17．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】利用复数的四则运算求解即可. 【解答过程】 故选：C. 18．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【解答过程】因为， 所以，解得：． 故选：C. 19．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【解答过程】由题意可得， 则. 故选：B. 20．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【解答过程】因为，所以，即． 故选：A． 21．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【解答过程】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 22．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【解答过程】解：,,即,解得, 故选：C. 23．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】先求得，然后求得. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 24．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【解答过程】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 25．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【解答过程】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以 ． 故选：B． 26．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数相等的条件可求. 【解答过程】，而为实数，故， 故选：B. 27．（2022·全国·高考真题）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的乘法可求. 【解答过程】， 故选：D. 28．（2022·全国·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【解答过程】因为R，，所以，解得：． 故选：A. 29．（2022·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【解答过程】因为，所以，所以． 故选：D. 30．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【解答过程】 故选 ：C. 31．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【解题思路】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【解答过程】由题意有，故． 故选：B． 32．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】利用复数的除法可求，从而可求. 【解答过程】由题设有，故，故， 故选：D. 二、填空题 33．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 15 ． 【解题思路】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，，解得． 故答案为：15． 34．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【解题思路】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【解答过程】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 35．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 2 ． 【解题思路】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【解答过程】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 36．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【解答过程】. 故答案为：. 37．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【解答过程】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 38．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【解答过程】由题意可得. 故答案为：. 39．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 . 【解题思路】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【解答过程】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 40．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出． 【解答过程】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则,，设,于是， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为：． 41．（2022·全国·高考真题）已知向量．若，则 ． 【解题思路】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【解答过程】由题意知：，解得. 故答案为：. 42．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【解题思路】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【解答过程】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 43．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【解题思路】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【解答过程】． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平面向量与复数（2022-2024高考真题） （新高考专用） 一、单项选择题 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 8．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 9．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 10．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 17．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 18．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 19．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 20．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 21．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 23．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 25．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 26．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 27．（2022·全国·高考真题）（    ） A． B． C． D． 28．（2022·全国·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 29．（2022·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 30．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 31．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 32．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 33．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 34．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 35．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 36．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 37．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 38．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 39．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 . 40．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 41．（2022·全国·高考真题）已知向量．若，则 ． 42．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 43．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$