2024年全国高中数学联合竞赛加试模拟测试(1)

2024年全国高中数学联合竞赛模拟测试(1) 含答案 加试 姓名：___________________ 成绩：___________________ （加试满分180分，答题时间170分钟，问答同卷，答题须答在规定的答题区域内） 得分 阅卷人 一、（本题满分40分） 设a，b为正整数．如果对任意的正整数n，均有 an＋n|bn＋n， 求证：a＝b． 【本页为第一题答题区】 得分 阅卷人 二、（本题满分40分） 在锐角三角形ABC中，O、H、G分别为三角形的外心、垂心和重心．OD⊥BC于D，HE⊥CA于E，F为AB的中点．若△ODC、△HEA和△GFB的面积相等，求C的所有可能取值． 【本页为第二题答题区】 得分 阅卷人 三、（本题满分50分） 无穷大的方格纸原来是白色的，现有n个小方格被染成黑色，在时刻t＝1,2,时，都为方格纸上的方格重新染色，规则如下：对每一个方格K，都将其染成在前一时刻K本身及其上邻和右邻这三个方格中多数所具有的颜色． （1）证明：经过有限时刻，纸上将不再剩有黑色方格； （2）证明：黑色方格的全部消失不迟于时刻t＝n． 【本页为第三题答题区】 得分 阅卷人 四、（本题满分50分） 设整数n≥2，实数a1, a2, …, an满足a12＋a22＋…＋an2＝n，求证： 【本页为第四题答题区】 2024年全国高中数学联合竞赛模拟测试(1) 加试 参考答案 一、（本题满分40分） 当n＝1时，a＋1|b＋1，所以a≤b， 假设a＜b，取一个大于b－a的质数p，再取n＝(a＋1)(p－1)＋1， 由费马小定理，an≡a (mod p)，又n≡－a (mod p)，所以p|an＋n，由an＋n|bn＋n，得p|bn＋n，类似地，bn≡b (mod p)，从而p|b－a，这与p＞b－a矛盾. 故a＝b. 二、（本题满分40分） 易知①, ②, ③. 记,则④. 由,将①③代入,并化简得 ⑤ 由,将①②代入,并化简得 ⑥. 由④⑤得,代入⑥,得 , 或或或. 三、（本题满分50分） （1） 我们指出,如果往所有黑格集合M中增添黑格,则改染后只会出现更多的新黑格. 现在往M中增添黑格，使之成为m×m矩阵,则只要经过2m－1次改染，就不再剩下黑格，可见对原来的黑格集合M也只需改染有限次，就可使所有黑格都消失. （2） 将原来的黑格集合M记作M0，将经过t次改染后得到黑格集合记作Mt. 下面我们用归纳法证明：如果，则只需经过n次改染就可使所有黑格消失，即Mn＝. n＝1时结论显然成立. 假设＜n时结论已成立，我们来看＝n的情形. 可以假设M0位于第一象限中，即在平面直角坐标系Oxy中位于x≥0，y≥0的部分中，并假设在带状区域0≤x≤1和0≤y≤1中至少各有M0中的一个黑格. 此时，记，则，由归纳假设，. 从而只能位于带状区域中. 同理可证:只能位于带状区域，因而只含有一个黑格，故. 四、（本题满分50分） 由n－aiaj≥n－(ai2＋aj2)≥n－＞0知， 所以可不妨设a1, a2, …, an为非负实数. 因为 所以等价于证明 因为aiaj≤(ai＋aj)2≤(ai2＋aj2)，所以 又由柯西不等式， 所以只需证明 事实上，由a12＋a22＋…＋an2＝n知这是等式. 故原不等式得证. 本卷题源：2023、2024各地区奥林匹克模拟试卷 高联模拟(1)加试 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$