特训01 全等三角形 压轴题（八大模型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训01 全等三角形 压轴题（八大模型） 模型1：垂线模型 1．如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 2．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 模型2：一线三等角模型 3．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 4．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 模型3：手拉手模型 5．如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 6．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 7．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 8．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 模型4：旋转模型 9．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 10．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 模型5：倍长中线模型 11．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 12．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P． （1）如图1，求证：∠BPC＝120°； （2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF， ①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　． ②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由． 模型6：截长补短模型 14．问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 15．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 模型7：作平行线法、作垂线法 16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 模型8：半角模型 18．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 19．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 全等三角形 压轴题（八大模型） 模型1：垂线模型 1．如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）先证得，，根据证，推出，即可； （2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到； （3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到． 【解析】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 2．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15． 【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可； （2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可； （3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出． 【解析】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF． ∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF+AE=BE+CF； （2）数量关系为：EF=BE-CF． ∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF-AE=BE-CF； （3）∵EF=BE-CF；， ∴BE=AF=EF+CF=6+6=12， ∵，EH+FH=EF=6， ∴2FH+FH= 6， 解得FH=2， ∴EH=2FH=4， S四边形ABFG==90， ∴BG=， ∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10， ∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=， ∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15． 【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键． 模型2：一线三等角模型 3．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】[模型呈现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 模型3：手拉手模型 5．如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 6．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【解析】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 7．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【答案】(1)90 (2)120 (3) (4)或 【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数； （2）由“”可证，得，可求的度数； （3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； （4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （3）， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （4）如图4，当点D在的延长线上时，，    证明方法同（3）； 如图5，当点D在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 8．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析 (2)不发生变化．理由见解析 (3)①BD＝AC；②能，BD与AC所成的角的度数为60°或120° 【分析】（1）可以证明△BDE≅△ACE，推出BD=AC ，BD⊥AC； （2）如图2中，不发生变化，只要证明△BED ≅△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE ，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，则∠BDE+∠DOF＝90°，可知∠DFO＝180°-90°＝90°，即可証明 ； （3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明 △BED≅△AEC即可； ②能；由△BED≅△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出 ∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（60°+60°）＝60°， 即可解决问题． 【解析】（1）解：BD＝AC，BD⊥AC，理由如下， 延长BD交AC于F，如图所示， ∵AE⊥BC， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （2）不发生变化，理由如下：如图所示，DE与AC交于点O，BD与AC交于点F， ， ∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （3）①如图3中，结论：BD＝AC， 理由如下： ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC． ②能，∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴∠BDE＝∠ACE， ∴∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（60°+60°） ＝60°， 即BD与AC所成的角的度数为60°或120°． 【点睛】本题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和 性质，学会利用“8字型”证明角相等． 模型4：旋转模型 9．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线定理得出，，进而得出，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出，再得出，最后利用互余得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）由等腰直角三角形可知，当最大时，面积最大，而的最大值是，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵P、N分别为、的中点， ∴， ， ∵点M、P分别为DE、DC的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下． 由旋转可知，， ∵，， ∴， ∴，， 由三角形的中位线定理得，， ， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法可得，，， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，， ∴当最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理，熟练应用相关知识是解决本题的关键． 10．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由 ，可得到，，从而得到 ，即可求证； （2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解； （3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解． 【解析】证明：（1）是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴，， ， ∴是等边三角形； （2）解：①的度数是定值，理由如下： 是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE， ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， 即的度数是定值，为60°； ②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ； 当，，三点共线，且在BC下方时. ， 综上所述，或8． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 模型5：倍长中线模型 11．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【解析】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【解析】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P． （1）如图1，求证：∠BPC＝120°； （2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF， ①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　． ②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析 【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论； （2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM； ②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM． 【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 在△AEC和△CDB中， ， ∴△AEC≌△CDB（SAS）， ∴∠ACE＝∠CBD， ∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°， ∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°； （2）①解：AP＝2PM， 理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点， ∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°， ∵AM⊥BC，点M是边BC的中点， ∴PB＝PC， ∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC＝∠PCB＝30°， ∴PC＝2PM，∠ACP＝30°， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴PA＝PC， ∴AP＝2PM， 故答案为：AP＝2PM； ②解：①中的结论成立， 理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH， ∵∠BPC＝120°， ∴∠CPF＝60°， ∵PF＝PC， ∴△PCF为等边三角形， ∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF， ∴∠BCP＝∠ACF， 在△BCP和△ACF中， ， ∴△BCP≌△ACF（SAS）， ∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°， ∴∠AFP＝60°， 在△CMH和△BMP中， ， ∴△CMH≌△BMP（SAS）， ∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP， ∴CH∥BP， ∴∠HCP+∠BPC＝180°， ∴∠HCP＝60°＝∠AFP， 在△AFP和△HCP中， ， ∴△AFP≌△HCP（SAS）， ∴AP＝PH＝2PM． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 模型6：截长补短模型 14．问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)EF=BE+FD (2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析； (3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论； （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质得出结论． 【解析】（1）解：EF=BE+FD． 延长FD到点G．使DG=BE．连接AG， ∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG． ∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°． ∴∠GAF=∠EAF=60°． 又∵AF=AF， ∴△AGF≌△AEF（SAS）． ∴FG=EF． ∵FG=DF+DG． ∴EF=BE+FD． 故答案为：EF=BE+FD； （2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立． 证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， ∴∠1=∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF=AM，∠2=∠3． ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF． ∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF． 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF=ME，即EF=BE+BM， ∴EF=BE+DF； （3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD． 证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF． 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF， ∵EG=BE-BG， ∴EF=BE-FD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，即 （3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论． 【解析】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分， ． 在和中，， ， ，． ，． ． ， ． 方法2：延长到点，使得，连接，如图． 平分， ． 在和中，， ． ，． ， ． ， ， ． （2）、、之间的数量关系为：． （或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知， ． 为等边三角形． ，． ， ． ． ， 为等边三角形． ，． ， ， 即． 在和中，， ． ， ， ． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，． ． 在和中，， ， ，． 在和中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 模型7：作平行线法、作垂线法 16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【解析】（1）①如图1， 延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【解析】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 模型8：半角模型 18．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【解析】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 19．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝MN，详见解析 【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，此时 ； （2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN． 【解析】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． 此时 ． 理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°， ∵DM＝DN，BD＝CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN， ∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN； ∴AM＝AN， ∴△AMN是等边三角形， ∵AB＝AM+BM， ∴AM：AB＝2：3， ∴； （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC， ∴； （3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N． ∴NC﹣BM＝MN． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$