微专题集训81 概率与统计新情境素养专练(解答题)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训81　概率与统计新情境素养专练(解答题) 1．解：(1)若投资项目一，设获利为ξ1万元(负值表示亏损)，则ξ1的分布列为 ξ1 300 －150 P E(ξ1)＝300×＋(－150)×＝200. 若投资项目二，设获利为ξ2万元(负值表示亏损，0表示不赔不赚)，则ξ2的分布列为 ξ2 500 0 －300 P E(ξ2)＝500×＋0×＋(－300)×＝200. ∴E(ξ1)＝E(ξ2)，即投资项目一和项目二获利的期望相同． D(ξ1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， D(ξ2)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000， ∴D(ξ1)<D(ξ2)，即项目一的方差较小，投资项目一更稳定． 综上，建议该投资公司选择项目一进行投资． (2)假设n(n∈N*)年后总资产可以翻一番，依题意得1000×(1＋)n＝2000，即1.2n＝2， 两边同时取对数，得n×lg 1.2＝lg 2，n＝≈≈3.8053， ∴该投资公司大约在2027年年底总资产可以翻一番． 2．解：(1)采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题． 可分答对两题和答对三题两种情况考虑， 概率P＝C()2()1＋C()3()0＝＋＝. (2)若采用方案一，设其答对题数为ξ，得分为X， 则X＝30ξ，ξ～B(3，)，所以E(X)＝30E(ξ)＝30×3×＝45. 若采用方案二，设其得分为Y，则Y的所有可能取值为0，20，30，50，60，90， 则P(Y＝0)＝(1－p)2， P(Y＝20)＝×p×＋×(1－p)×p＝， P(Y＝30)＝×(1－p)＝，P(Y＝50)＝， P(Y＝60)＝()3＝，P(Y＝90)＝()3＝. E(Y)＝0×＋20×＋30×＋50×＋60×＋90×＝－10p2＋p＋. 则E(X)－E(Y)＝10p2－p＋. 若E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)，则8p2－26p＋15>0，得0<p<. 若E(X)－E(Y)＝0，即E(X)＝E(Y)，得p＝. 若E(X)－E(Y)<0，即E(X)<E(Y)，得<p<1. 综上所述，当0<p<时，选择方案一更有利；当p＝时，选择方案一、方案二均可；当<p<1时，选择方案二更有利． 3．解：(1)由题意得＝＝4.5， ＝＝0.3， ＝＝＝0.14， 所以＝－＝0.3－0.14×4.5＝－0.33. 故y关于x的经验回归方程为 ＝0.14x－0.33. (2)(ⅰ)将x＝7代入得，＝0.14×7－0.33＝0.65， 所以估计该市政府需要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额为0.65×1000×1＝650(万元)． (ⅱ)设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝(1－p)(2－2p)＝2p2－4p＋2， P(X＝1)＝(1－p)(2p－1)＋p(2－2p)＝－4p2＋5p－1， P(X＝2)＝p(2p－1)＝2p2－p， 则E(X)＝(2p2－4p＋2)×0＋(－4p2＋5p－1)×1＋(2p2－p)×2＝3p－1≤1.4，p≤. 因为<p<1，所以<p≤，故p的取值范围为(，]． 4．解：(1)估计到该市景区旅游的游客的平均年旅游消费支出＝(4×0.0125＋8×0.05＋12×0.1375＋16×0.0375＋20×0.0125)×4＝11.8(百元)＝1180(元)， 即到该市景区旅游的游客的平均年旅游消费支出为1180元． (2)①P3＝1－＝，P4＝1－－＝， 所以即 解得 ②数列{Pn}从第三项起单调递减，证明如下： Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3(n≥3)，则Pn＋1－Pn＝(Pn＋Pn－1＋Pn－2)－(Pn－1＋Pn－2＋Pn－3)＝Pn－Pn－1－Pn－2－Pn－3＝(Pn－1＋Pn－2＋Pn－3)－Pn－1－Pn－2－Pn－3＝－Pn－3(n≥3)， 又Pn>0，所以－Pn－3<0，即从第三项起数列{Pn} 递减． 实际意义：随着抽取人数n的增加，事件发生的可能性会越来越小，即出现连续3人的年旅游消费支出超出11.8这一事件可能性越来越大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训81　概率与统计新情境素养专练(解答题) 1．(2023·湖北荆州中学模拟)某公司计划在2024年年初将1000万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，大约在哪一年年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) 2．(2023·湖北模拟)北京2022年冬奥会大大激发了人们对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分，答对填空题得30分，答对选择题得20分．现设置了两种答题方案供选择． 方案一：只回答填空题． 方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则．若某题回答正确，则该题的下一题是填空题，若回答错误，则下一题是选择题． 某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为p(1>p>0)，且能否正确回答问题与回答次序无关． (1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率； (2)以得分的数学期望为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？说明理由． 3．(2024·湖北荆荆宜三校联考)近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2022年毕业生人数及自主创业人数(单位：千人)，得到下表： A大学 B大学 C大学 D大学 2022年毕业 生人数x/千人 3 4 5 6 自主创业 人数y/千人 0.1 0.2 0.4 0.5 (1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程＝＋x； (2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴． (ⅰ)若该市E大学2022年毕业生人数为7千人，根据(1)的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额； (ⅱ)若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p，2p－1(<p<1)，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围． 参考公式及参考数据：＝，＝－，xiyi＝6.1，x＝86. 4．(2023·山东临沂模拟)某市旅游局为推进该地旅游业发展，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡)．为了更科学地制订一卡通的有关条例，该市旅游局随机调查了2021年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计到该市景区旅游的游客的平均年旅游消费支出； (2)该旅游景区游客的年旅游消费支出的中位数为11.8.现依次抽取n个游客，假设每个游客的年旅游消费支出相互独立，记事件A为“连续3人的年旅游消费支出超出11.8”．若Pn表示的概率，Pn＝aPn－1＋Pn－2＋bPn－3(n≥3，a，b为常数)，且P0＝P1＝P2＝1. ①求P3，P4及a，b； ②判断并证明数列{Pn}从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $$