微专题集训80 解析几何新情境素养专练-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训80　解析几何新情境素养专练 一、单项选择题 1.(2024·重庆一中期中)几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q是椭圆族T上任意一点，如图所示，椭圆族T的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O；③过定点P(0，3)，则|QP|＋|QO|的最大值是(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 2．(2024·哈尔滨市第九中学期末)阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，面积为2π，且离心率为，则C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3.(2023·陕西榆林一模)青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－y2＝1 4．(2024·名师原创)开普勒(Johannes Kepler，1571～1630)，德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等．已知金星与地球的公转周期为之比约为2∶3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为(　　) A．0.66a B．0.70a C．0.76a D．0.96a 5.(2024·云南师范大学附属中学月考)(实际应用)为响应国家号召，大力发展农业产业，某农户在自家开起了生态农家乐，如图所示．该农家乐共设置三个功能区，△ABC区域为小型鱼塘，供休闲垂钓，矩形BCMN区域为果园种植区，以CM为直径的半圆形区域为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘边沿的道路AB，AC送到果园种植区．若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，该农户在矩形BCMN中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 6．(2024·北京五十七中月考)十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程a2－x2＝ky2(k>0，且k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质．若从椭圆上任意一点P(异于A，B两点)向长轴AB引垂线，垂足为Q，记M＝，则(　　) A．方程a2－x2＝ky2(k>0，且k≠1，a≠0)表示的椭圆的焦点落在x轴上 B．e＝ C．M的值与点P在椭圆上的位置有关 D．M越来越小，椭圆越来越扁 二、多项选择题 7．(2024·湖南永州质检(二))画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线l：bx＋ay－a2－b2＝0，下列说法正确的是(　　) A．直线l与蒙日圆相切 B．C的蒙日圆方程为x2＋y2＝2a2 C．记点A到直线l的距离为d，则d－|AF2|的最小值为 D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为8b2 8．(2024·湖南名校联考)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　) A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16 B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为3 C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最小距离为1 三、解答题 9．(2023·湖北新高考一联)过原点O的直线与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于点A，线段OA的中点为M，P(3p，0)，且PM⊥OA.在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答问题． ①|OA|＝4，②|PM|＝2，③△POM的面积为6. (1)________，求C的方程； (2)在(1)的条件下，过y轴上的动点B作C的切线，切点为Q(不与原点O重合)，过点B作直线l与OQ垂直，求证：直线l过定点． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 10．(2024·湖北八校联考)折纸(如图a )是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸，可折出一个椭圆． 　　 图a　　 　图b　　　　　图c 步骤1：如图b，设圆心是F，在圆内不是圆心处取一点，标记为E. 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点E，此时圆周上与点E重合的点标记为点G. 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时GF与折痕交于点P. 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P，所有交点P组成的图形便是一个椭圆，如图c. 已知圆形纸片的半径为4，定点E到圆心F的距离为2，O为EF的中点，按上述步骤折纸，所有交点P组成的椭圆记为C.以EF所在的直线为x轴，以O为原点建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线l的距离是否为定值，如果是定值，求该定值；如果不是定值，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训80　解析几何新情境素养专练 1．A　2.A 3．B　由题意可知，该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在双曲线上．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故该双曲线的标准方程是－＝1.故选B. 4．C　设金星运行轨道的半长轴为a1，金星和地球的公转周期分别为t1，t2，由开普勒定律得＝.因为＝，所以a＝a3，即a1＝a.容易验证2.53>12>2.13，因此0.70a<a1＝a<a<0.9a，故选C. 5．D　由题意可知，对于界线上任意一点P，从点A出发经C到P处与从点A出发经B到P处所走的路程是一样的，即AC＋PC＝AB＋PB，所以PC－PB＝AB－AC，又AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，所以PC－PB＝1 (km)<CB，所以曲线E为双曲线．故选D. 6．D　对于A，由题得＋＝1，当0<k<1时，a2<，所以椭圆的焦点在y轴上；当k>1时，a2>，所以椭圆的焦点在x轴上，故A错误．对于C，设P(x，y)，不妨设椭圆的长轴在x轴上，则|PQ|2＝y2，|AQ|·|BQ|＝(x＋a)(a－x)＝a2－x2，所以M＝＝＝(常数)，所以M的值与点P在椭圆上的位置无关，故C错误．对于B，不妨设椭圆的长轴在x轴上，由方程a2－x2＝ky2得＋＝1，所以M是椭圆的短轴长与长轴长的比值的平方，即M＝()2，所以离心率e＝＝，同理可得椭圆的长轴在y轴上时结论一致，所以e＝，故B错误．对于D，M越来越小，椭圆的离心率越大，椭圆越来越扁，故D正确．故选D. 7．AC　当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x＝±a，y＝±b，所以点(±a，±b)在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为x2＋y2＝a2＋b2，其圆心为(0，0)，半径为，由e＝＝＝，可得a2＝2b2.对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为＝，所以直线l与蒙日圆相切，A正确；对于B选项，C的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2＝a2，B错误；对于C选项，连接AF1，由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝2b，则|AF2|＝2b－|AF1|，又c2＝a2－b2＝b2，所以c＝b，点F1(－c，0)到直线l的距离为＝＝，所以d－|AF2|＝d＋|AF1|－2b≥－2b＝，当且仅当直线AF1⊥l时，等号成立，C正确；对于D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以|MN|2＋|MH|2＝(2b)2＝12b2，所以矩形MNGH的面积S＝|MN|·|MH|≤＝6b2，当且仅当|MN|＝|MH|时，等号成立，D错误．故选AC. 8．ABD　对于A，设P(x，y)，由A(－2，0)，B(4，0)，＝，可得＝2，两边平方整理可得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故曲线C的方程为(x＋4)2＋y2＝16，故A正确；对于B，曲线C是圆心为(－4，0)，半径为4的圆，点(1，1)与圆上的点的距离的最小值为－4，最大值为＋4，又3∈[－4，＋4]，所以B正确；对于C，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，可得＝2，两边平方整理可得x＋y＋x0＋＝0，则点M的轨迹方程为x2＋y2＋x＋＝0，由无解，可知在C上不存在点M，使得|MO|＝2|MA|，故C错误；对于D，圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离d＝＝5，所以C上的点到直线3x－4y－13＝0的最小距离是5－4＝1，故D正确．故选ABD. 9．解：(1)由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx(k≠0)， 由得或可得A(，)， 所以线段OA的中点为M(，)． 因为PM⊥OA，kPM＝＝， 所以·k＝－1，解得k＝±， 所以直线OA的方程为x±y＝0，A(4p，±2p)． 若选①，不妨令A(4p，2p)， 由|OA|＝4，得 ＝4，解得p＝2， 所以C的方程为y2＝4x. 若选②，因为PM⊥OA，|PM|＝2， 所以点P到直线OA的距离为2， 即＝2，解得p＝2， 所以C的方程为y2＝4x. 若选③，不妨令A(4p，2p)， 因为|OM|＝|OA|＝ ＝p， 点P到直线OA的距离|PM|＝＝p， 所以S△POM＝|OM|×|PM|＝×p×p＝6， 解得p＝2，所以C的方程为y2＝4x. (2)证明：由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0， 设B(0，b)(b≠0)， 设切线BQ的方程为y＝k1x＋b，由得k1y2－4y＋4b＝0, (*) 所以Δ＝(－4)2－4×k1×4b＝0，解得k1＝，所以方程(*)的根为y＝2b， 代入y2＝4x得x＝b2，所以切点Q(b2，2b)， 于是kOQ＝＝，则k1＝－， 所以直线l的方程为y＝－x＋b，即y＝－(x－2)， 所以直线l恒过定点(2，0)． 10．解：(1)由题意，作出图形，如图所示． 设P(x，y)为椭圆上一点，连接PE，由题意可知|PE|＋|PF|＝|PG|＋|PF|＝|GF|＝4>|EF|＝2，所以椭圆C以E，F分别为左、右焦点，长轴长2a＝4，焦距2c＝2，所以c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)． 由OA⊥OB得x＝y， 由A，B两点在椭圆C上知＋＝1，解得x＝， 所以点O到直线AB的距离d＝ ＝. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由已知得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，即m2<3＋4k2，x1＋x2＝－，x1x2＝. 由OA⊥OB，得·＝x1x2＋y1y2＝0， 即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， 所以(k2＋1)－＋m2＝0， 整理得7m2＝12(k2＋1)，满足Δ>0. 所以点O到直线AB的距离d＝＝ ＝，为定值． 综上可知，点O到直线AB的距离为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$