微专题集训77 三角函数与解三角形新情境素养专练-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训77　三角函数与解三角形新情境素养专练 一、单项选择题 1．(2024·广东深圳一调)阻尼器是一种通过提供运动的阻力耗减运动能量的装置．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω＝(　　) A． B．π C． D．2π 2．(2024·江苏南通质检)通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示，即＝2sin 18°.记m＝2sin 18°，则＝(　　) A．－ B．－2 C． D．－1 3．(2024·广东潮汕名校联考(一))(与文学交汇)小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是由三体文明使用强相互作用力材料所制成的宇宙探测器，因其外形与水滴相似，所以被称作“水滴”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”的示意图(如图)，它由线段AB，AC和优弧围成，其中点B，C所在直线竖直，AB和AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度的比值为，则cos∠BAC＝(　　) A． B． C． D． 4．(2024·河南平顶山检测)某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽，某学生设计的《冬日雪花》脱颖而出．它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，已知其中一块矩形材料如图①所示，将△BCD沿BD折叠，折叠后BC交AD于点E，BD＝ cm，cos∠BED＝－.现需要对会徽的六个直角三角形(图②阴影部分)上色，则上色部分的面积为(　　) 　　 图①　　　　　　图② A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．1 cm2 5．(2024·豫湘名校联考)《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射．下者之人也高，高者之人也下．足敝下光，故成景于上；首敝上光，故成景于下．在远近有端，与于光，故景障内也．”这对小孔成像有了第一次的描述．如图为一次小孔成像实验，已知物距∶像距＝6∶1，OA＝OB＝12，cos∠A′OB′＝，则像高为(　　) A．1 B． C． D． 6．(2024·安徽毫州第一中学月考)花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面h m，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a1 m，将镜子后移a m，重复前面的操作，测量人与镜子的距离a2 m．此时可求出楼的高度为(　　) A． m B． m C．(＋h) m D．(＋h) m 二、多项选择题 7．(2024·湖南联考)定义运算＝mn－pq.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b，c满足＝0，则下列结论正确的是(　　) A．sin A＋sin C＝2sin B B．A∶C＝1∶2 C．角B的最大值为 D．若asin A＝4csin C，则△ABC为钝角三角形 8.(2024·四省联考)如图所示改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧(半径相同)，CMNK是为计算所作的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB，记α＝∠AOB，β＝∠AOC，γ＝∠BOD，δ＝∠COD，则(　　) A．sin β＝sin γcos δ B．cos β＝cos γcos δ C．sin α＝ D．cos α＝ 三、填空题 9.(2023·四川南充二诊)托勒密是天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是两条对角线，BD＝12，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为________． 10．(2024·高三名校联考)(实际情境)如图，广场上有一盏路灯挂在高10米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A，把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在距离点A 5米的点B处，若女孩向点A直行4米到达点D，然后从点D出发，沿着以线段BD为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹为________，轨迹所围图形的面积为________平方米． 11．(2023·江西南昌模拟)剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径AB＝20 cm，需要剪去四边形CEC1D，可以经过对折、沿DC，EC裁剪、展开就可以得到． 已知点C在圆上且AC＝10 cm，∠ECD＝30°.要使得镂空的四边形CEC1D面积最小，AD的长应为________cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训77　三角函数与解三角形新情境素养专练 1．B　2.A 3.A　设优弧所在圆的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图所示，易知“水滴”的水平宽度为OA＋R，竖直高度为2R，则由题意知＝，得OA＝R.∵AB与圆弧相切于点B，∴OB⊥AB，∴在Rt△ABO中，sin∠BAO＝＝＝.由对称性可知，∠BAO＝∠CAO，则∠BAC＝2∠BAO，∴cos∠BAC＝1－2sin2∠BAO＝1－2×()2＝.故选A. 4．A　设ED＝x cm，∵∠DBE＝∠CBD＝∠BDE，∴BE＝ED＝x cm.在△BED中，由余弦定理可得，cos∠BED＝＝＝－，解得x＝.在△ABE中，cos∠AEB＝cos(π－∠BED)＝，∴AE＝BEcos∠AEB＝(cm)，AB＝＝1(cm)，∴EC′＝(cm)，C′D＝1(cm)，∴上色部分的面积为6×××1＝(cm2)．故选A. 5．B　由题可知，∠AOB＝∠A′OB′，所以cos∠AOB＝cos∠A′OB′＝，又OA＝OB＝12，所以由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB＝122＋122－2×12×12×＝81，所以AB＝9，则小孔成像的被成像物高为9.又物距∶像距＝6∶1，故像高为＝.故选B. 6．B　设所求楼高为x m，由三角形相似可得＝，整理可得x＝.故选B. 7．ACD　由＝0可知(a＋b＋c)－3(a＋c－b)＝0，整理可知a＋c＝2b，由正弦定理可得，sin A＋sin C＝2sin B，故A正确；因为当A＝B＝C＝时，满足a＋c＝2b，但不满足A∶C＝1∶2，故B不正确；cos B＝＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取“＝”)，又0<B<π，所以B的最大值为，故C正确；由asin A＝4csin C可得a2＝4c2，解得a＝2c，又a＋c＝2b，从而可得c＝b，a＝b，a为最大边，cos A＝＝＝－<0，A∈(0，π)，角A为钝角，故D正确．故选ACD. 8．ACD　设各圆弧的半径为2，α＝45°，MC＝KN＝1，那么ON＝1，OK＝， 易知MN⊥平面ONA，OA⊂平面ONA，所以MN⊥OA，即CK⊥OK，又OC＝2，OK＝，所以MN＝KC＝，OM＝，由于OC2＝OM2＋MC2，所以∠OMC＝90°. 从而sin α＝sin 45°＝，cos α＝，sin β＝＝，cos β＝，sin γ＝＝＝，cos γ＝，sin δ＝＝，cos δ＝，以上各值代入各个选项检验即可，应选ACD. 9．解析：设正三角形ACD的边长为a，因为BD＝12，所以由托勒密定理，得AD·BC＋CD·AB＝AC·BD，即a(BC＋AB)＝12a，即BC＋AB＝12.因为四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以∠ADC＋∠ABC＝180°，因为∠ADC＝60°，所以∠ABC＝120°，在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，得AB2＋BC2＋AB·BC＝a2，即(AB＋BC)2－AB·BC＝a2，所以AB·BC＝144－a2，则S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝AD·DC·sin 60°＋AB·BC·sin 120°＝a2＋(144－a2)＝36. 答案：36 10．解析：如图，设女孩在点B，D两处，头顶E，F的影子分别为M，N，则EF＝BD＝4，BE＝DF＝1.5.由△NDF∽ △NAP，得＝，即＝，得NA＝.由△MBE∽△MAP，得＝，即＝，得MA＝.所以MN＝MA－NA＝－＝.因为女孩在运动过程中，比例关系不变，所以女孩走一圈时头顶影子的轨迹是对角线长为的正方形，轨迹所围图形的面积为×()2＝. 答案：正方形　 11．解析：如图，连接AC，作CG⊥AB于G. 由题意，AC＝AO＝OC＝10，故∠OAC＝60°， 所以CG＝AC·sin 60°＝5. 设CE＝a，CD＝b，ED＝c，在△CED中，由面积公式得S△CED＝absin 30°＝c·CG，即ab＝10c，由余弦定理得＝，所以 ab＝a2＋b2－≥2ab－，即ab≥300(2－)，当且仅当a＝b＝，时取等号． 故S△CED＝ab取最小值时a＝b，此时∠GDC＝(180°－30°)÷2＝75°. 故AD＝GA－GD＝5－＝5－＝5－＝5－5(2－)＝20－10. 答案：20－10 学科网（北京）股份有限公司 $$