微专题集训76 函数新情境素养专练-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训76　函数新情境素养专练 一、单项选择题 1．(2024·山东师范大学附中月考)在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”，“(”，“a”，“，”，“b”，“)”6个键．某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”，“(”，“b”，“，”，“a”，“)”这6键依次按下，所得到的值是正确结果的倍，则(　　) A．2a＝b B．a2b＝1 C．a3＝b D．a3＝b2 2．(2023·四川绵阳南山中学一诊)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)(　　) A．22.2% B．43.8% C．56.02% D．77.8% 3．(2023·浙江杭州期中)“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：天)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0表示初始含量，k为正常数．令μ＝||为[t1，t2]之间海水稀释效率，其中P1，P2分别表示当时间为t1和t2时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则稀释效率最高的是(　　) A．Ⅰ期 B．Ⅱ期 C．Ⅲ期 D．Ⅳ期 4．(2024·安徽江淮十校第二次联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”记这个人原来持金为a斤，设f(x)＝则f(a)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 5.(2024·浙江台州质量评估)水平放置的碗口朝上的半球形碗内，假设放入一根粗细均匀的筷子，在力的作用下，筷子在碗内及碗沿可无摩擦自由活动直到筷子处于平衡(即筷子质心G最低)．此时若经过筷子作与水平面垂直的轴截面如图，其中半圆O(表示半球碗截面)半径为1，线段AB(表示筷子)长为3，则线段AB的中点G离碗口平面距离最大时，直线AB与水平面夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6．(2024·湖北黄冈质检)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列关于“优美函数”的说法中正确的有(　　) ①函数f(x)＝(ex＋e－x)tan x可以是某个圆的“优美函数”； ②f(x)＝3sin(2x－)＋1(x∈R)可以同时是无数个圆的“优美函数”； ③函数f(x)＝可以是无数个圆的“优美函数”； ④若函数y＝f(x)是“优美函数”，则函数y＝f(x)的图象一定是中心对称图形． A．①② B．①④ C．①②③ D．②③ 二、多项选择题 7.(2024·山东师大附中月考)济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数f(x)＝(e＋e－)，其中a>0，则下列关于悬链线函数f(x)的性质判断正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的单调递减区间为(－∞，0) D．f(x)的最大值是a 8．(2024·湖北鄂西北六校期中联考)已知函数y＝f(x)在[m，n]上的图象的两个端点分别为M(m，f(m))，N(n，f(n))，设A(a，f(a))是y＝f(x)图象上任意一点，其中a＝μm＋(1－μ)n(0<μ<1)，＝μ.若不等式||≤k恒成立，则称函数y＝f(x)在[m，n]上为“k”函数．若函数y＝3x＋在[1，4]上为“k”函数，则下列能够满足条件的k的值有(　　) A． B．1 C． D．2 9．(2024·广东揭阳揭东二中调研)定义一：关于一个函数f(x)(x∈D)，若存在两条距离为d的直线y＝kx＋m1和y＝kx＋m2，使得在x∈D时，kx＋m1≤f(x)≤kx＋m2恒成立，则称函数f(x)在D内有一个宽度为d的通道．定义二：若一个函数f(x)，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数x0，使得函数f(x)在[x0，＋∞)内有一个宽度为ε的通道，则称f(x)在正无穷处有永恒通道．则下列在正无穷处有永恒通道的函数为(　　) A．f(x)＝ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝e－x 三、填空题 10．(2024·北京首师大附属密云中学月考)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4这个生物链中，若能使H4获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为________kJ. 11．(2024·江苏百校大联考)(定义新函数)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知函数f(x)＝ex－a在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为________． 12．(2024·成都树德中学段考)(基于高等数学命题)若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立，则称f(x)是一个“λ～特征函数”．下列结论中所有正确结论的序号是________． ①f(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”；③f(x)＝x2是“λ～特征函数”；④若函数f(x)既是“1～特征函数”，又是“－1～特征函数”，则f(x)＝0. 13．(2023·北京东城高三二模)定义在区间[1，＋∞)上的函数的图象是一条连续不断的曲线，f(x)在区间[2k－1，2k]上单调递增，在区间[2k，2k＋1]上单调递减，k＝1，2，….给出下列四个结论： ①若{f(2k)}为递增数列，则f(x) 存在最大值； ②若{f(2k＋1)}为递增数列，则f(x)存在最小值； ③若f(2k)f(2k＋1)>0，且f(2k)＋f(2k＋1)存在最小值，则|f(x)|存在最小值； ④若f(2k)f(2k＋1)<0，且f(2k)－f(2k＋1)存在最大值，则|f(x)|存在最大值． 其中所有错误结论的序号为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训76　函数新情境素养专练 1．C　2.D 3．A　因为k>0，所以函数P＝P0·e－kt是递减函数且越减越慢．海水稀释效率μ＝||表示两点(t1，P1)和(t2，P2)间的斜率绝对值，所以Ⅰ期的稀释效率最高．故选A. 4．C　由题意，这个人原来持金为a斤，第一关收税金为a斤；第二关收税金为·(1－)a＝a斤；第三关收税金为·(1－－)a＝a斤，以此类推可得的，第四关收税金为a斤，第五关收税金为a斤，所以a＋a＋a＋a＋a＝1，即(1－＋－＋－＋－＋－)a＝(1－)a＝1，解得a＝.又f(x)＝所以f()＝f()＝log5＝－1.故选C. 5．B　如图，记半球碗截面的左侧为点N，线段AB与半球碗截面的右侧交于点M.设直线AB与水平面的夹角为θ，线段AB的中点G离碗口平面的距离为h(θ)．因为∠NAM＝90°，MN＝2，所以AM＝2cos θ，则GM＝2cos θ－，此时h(θ)＝GMsin θ＝(2cos θ－)sin θ＝sin 2θ－sin θ，θ∈(0，)，则h′(θ)＝2cos 2θ－cos θ＝4 cos2θ－cos θ－2，令h′(θ)＝0，解得cos θ＝，因为θ∈(0，)，所以cos θ>0，所以cos θ＝，设cos θ0＝，则h′(θ)，h(θ)随θ的变化如下. θ (0，θ0) θ0 (θ0，) h′(θ) ＋ 0 － h(θ) 单调递增 极大值 单调递减 当θ＝θ0时，h(θ)取得最大值，所以线段AB的中点G离碗口平面距离最大时，直线AB与水平面夹角的余弦值为，故选B. 6．C　对于①：函数f(x)的定义域为，因为f(－x)＝－(e－x＋ex)tan x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)＝(ex＋e－x)·tan x可以是单位圆的“优美函数”，故①正确． 对于②：函数f(x)＝3sin(2x－)＋1，令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝3sin(2x－)＋1图象的对称中心为(＋，1)，k∈Z，所以以(＋，1)，k∈Z为圆心，R(0<R≤)为半径的圆都能被函数f(x)＝3sin(2x－)＋1(x∈R)的图象平分，即f(x)＝3sin(2x－)＋1(x∈R)可以同时是无数个圆的“优美函数”，故②正确． 对于③：f(x)＝＝＝＋1，x∈R，令g(x)＝，因为g(－x)＝＝－g(x)，x∈R，所以函数g(x)为奇函数．又函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为(0，1)，所以以(0，1)为圆心，R(R>0)为半径的圆都能被函数f(x)＝的图象平分，即函数f(x)＝可以是无数个圆的“优美函数”，故③正确． 对于④：若y＝f(x)的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优美函数”的图象不一定是中心对称图形，如图所示，故④错误．故选C. 7．AC　由题知函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(e－＋e)＝f(x)，则f(x)为偶函数，故A正确，B错误；又f′(x)＝(e－e－)在R上单调递增，且f′(0)＝0，则当x>0时，则f′(x)>0，当x<0时，则f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，故C正确；由C知f(x)≥f(0)＝a，即f(x)的最小值是a，故D错误．故选AC. 8．BCD　由题意得A(a，3a＋)，M(1，7)，N(4，13)，则直线MN的方程为y＝2x＋5，a＝μ＋4(1－μ)＝4－3μ.由＝μ，得点B在线段MN上(除M，N)，且4－xB＝μ(4－1)，得xB＝4－3μ＝a，所以A，B两点横坐标相同，则||＝|3a＋－2a－5|＝|a＋－5|.因为0<μ<1，所以a＝4－3μ∈(1，4)．设h(a)＝a＋－5，由对勾函数性质知，h(a)在(1，2)上为减函数，在(2，4)上为增函数，且h(1)＝0，h(4)＝0，h(2)＝－1，所以当a∈(1，4)时，h(a)∈[－1，0)，则||max＝1.因为不等式||≤k恒成立，所以k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞)，故选BCD. 9．BCD　对于选项A：f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，且无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f(x)在[x0，＋∞)内有一个宽度为ε的通道，所以f(x)在正无穷处无永恒通道；对于选项B：f(x)＝随着x的增大，函数值趋向于0，所以对于任意给定的正数ε，存在一个实数x0，使得函数f(x)在[x0，＋∞)内有一个宽度为ε的通道，所以f(x)在正无穷处有永恒通道；对于选项C：f(x)＝，当x≥1时，函数f(x)＝的图象表示的是双曲线x2－y2＝1在第一象限内的部分，其渐近线方程y＝x，所以对于任意给定的正数ε，存在一个实数x0，使得函数f(x)在[x0，＋∞)内有一个宽度为ε的通道，所以f(x)在正无穷处有永恒通道；对于选项D：f(x)＝e－x随着x的增大，函数值趋向于0，所以对于任意给定的正数ε，存在一个实数x0，使得函数f(x)在[x0，＋∞)内有一个宽度为ε的通道，所以f(x)在正无穷处有永恒通道．故选BCD. 10．解析：由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，若能使H4获得10 kJ的能量，则需要H3提供＝100 kJ的能量，需要H2提供＝1000 kJ的能量，需要H1提供＝10 000 kJ＝104 kJ的能量． 答案：104 11．解析：f(x)＝ex－a在R上为“局部奇函数”，则f(－x)＝－f(x)，即e－x－a＝－(ex－a)在R上有解，∴ex＋e－x＝2a在R上有解，∵ex＋e－x≥2(当且仅当x＝0时取等号)，∴2a≥2，即a≥1，∴amin＝1. 答案：1 12．解析：对于①，设f(x)＝1，则函数f(x)＝1是“－1～特征函数”， 所以f(x)＝0不是常数函数中唯一的“λ～特征函数”，所以①不正确． 对于②，若f(x＋λ)＋λf(x)＝2(x＋λ)＋1＋λ(2x＋1)＝0对任意的实数x都成立，则2(λ＋1)x＝－3λ－1对任意的实数x都成立， 所以2(λ＋1)＝－3λ－1＝0，无解，所以不存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立，所以函数f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”，所以②正确． 对于③，若f(x＋λ)＋λf(x)＝(x＋λ)2＋λx2＝0对任意的实数x都成立，则(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意的实数x都成立，则1＋λ＝2λ＝λ2＝0，无解，所以函数f(x)＝x2不是“λ～特征函数”，所以③不正确． 对于④，若函数f(x)既是“1～特征函数”，又是“－1～特征函数”，则f(x＋1)＋f(x)＝0，且f(x－1)－f(x)＝0，由f(x－1)＝f(x)得f(x)＝f(x＋1)，所以f(x)＝－f(x)，则f(x)＝0，所以④正确．故填②④. 答案：②④ 13．解析：①由条件可知，函数f(x)在区间[2k－1，2k]上单调递增，在区间[2k，2k＋1]上单调递减，k＝1，2，…，那么在区间[2k－1，2k＋1]上，函数的最大值是f(2k)．若数列{f(2k)}为递增数列，则函数f(x)不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数f(x)在区间[2k－1，2k]上单调递增，在区间[2k，2k＋1]上单调递减，若{f(2k＋1)}为递增数列，那么在区间[2k－1，2k＋1]的最小值是f(2k－1)，且{f(2k＋1)}为递增数列，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)的最小值是f(1)，故②正确；③若f(2k)f(2k＋1)>0，取k∈N*，则f(2k)＋f(2k＋1)＝2k，存在最小值，但此时|f(x)|的最小值是|f(2k＋1)|＝的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若f(2k)f(2k＋1)<0，取则f(2k)－f(2k＋1)＝2恒成立，则f(2k)－f(2k＋1)有最大值，但|f(x)|的最大值是|f(2k)|＝2－的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误．故答案为①③④. 答案：①③④ 学科网（北京）股份有限公司 $$