微专题集训75 开放题(填空题)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

第三部分　创新情境素养练 微专题集训75　开放题(填空题) 1．(2023·陕西咸阳中学模拟)已知函数f(x)的定义域是{x∈R|x≠1}，f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在(1，＋∞)单调递增，则满足条件的f(x)＝________．(写出一个满足条件的函数即可) 2．(2024·福建上杭一中考试)定义在R上的函数f(x)有以下两个性质：①f(－x)＋f(x)＝0，②f(1＋x)＝f(2－x)．满足题意的一个函数是________． 3．(2023·山东潍坊模拟)写出一个同时满足下列3个性质的函数的解析式：f(x)＝________． ①f(x)是奇函数；②f(x)在(2，＋∞)上单调递增；③f(x)有且仅有3个零点 . 4．设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式：an＝________． 5．(2023·山东青岛二模)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175，σ2)，已知P(175≤X<180)＝0.2，若P(X≤a)∈[0.3，0.5]．写出一个符合条件的a的值为________． 6．写出一个正整数n，使得(＋)n的展开式中存在常数项，则n可以是________．(写出一个即可) 7．(2024·高三名校联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足：①Sn＋1－an>Sn＋2；②对∀n∈N*，Sn>S8.写出一个同时满足上述两个条件的数列{an}的通项公式an＝________． 8．(2023·湖北襄阳四中模拟)若函数f(x)＝sin x＋cos (x＋φ)的最小值为－，则常数φ的一个取值为________．(写出一个即可) 9.(2024·广东惠州调研)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(填写一个你认为是正确的条件即可) 10．(2023·河南信阳高级中学模拟)写出同时满足下列条件①②的直线l的方程：________．(写出一个满足条件的答案即可) ①在y轴上的截距为2；②与双曲线－＝1只有一个交点． 11．(2024·武汉市四月调研)直线l1：y＝2x，l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________． 12．(2024·青岛二中调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的点，直线PA1和PA2的斜率分别为k1，k2，写出一个满足k1·k2＝－4的椭圆C的方程：________________． 13．(2023·北京一零一中学摸底)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点(包含边界)，给出下列三个论断： ①A1F⊥BE，②A1F＝3，③S△ADF＝2S△ABF. 以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三部分　创新情境素养练 微专题集训75　开放题(填空题) 1．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)可知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的定义域是{x∈R|x≠1}，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，1)上单调递减，函数f(x)＝－符合题意． 答案：－(答案不唯一) 2．解析：假设f(x)＝sinx.f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)，即满足性质①，因为f(1＋x)＝sin[(1＋x)]＝sin(＋x)，f(2－x)＝sin[(2－x)]＝sin(－x)，(＋x)＋(－x)＝π，所以(1＋x)＝f(2－x)，即满足性质②.故f(x)＝sinx为满足题意的一个函数． 答案：f(x)＝sinx(答案不唯一) 3．解析：f(x)是奇函数，不妨假设f(x)的定义域为R，则f(0)＝0，且函数f(x)的图象关于原点对称． 因为函数f(x)有且仅有3个零点，所以除x＝0外，还有2个互为相反数的零点． 由题意知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，结合图象的对称性知f(x)在(－∞，－2)上单调递增， 所以f(x)在R上的图象呈“”的趋势，不妨令函数零点为x＝－1，x＝0，x＝1，即可得到一个满足题意的函数解析式f(x)＝x(x＋1)(x－1)，检验知满足题意．故答案可以是x(x＋1)(x－1)(答案不唯一) 答案：x(x＋1)(x－1)(答案不唯一) 4．解析：因为∀n∈N*，an＋1>an，所以数列{an}是递增数列，因为∀n∈N*，Sn≥S6，所以只要前6项均为负数，第7项开始为正数，或前6项圴为负数，第7项为0，第8项开始为正数，或前5项均为负数，第6项为0，第7项开始为正数即可，所以满足条件的数列{an}的一个通项公式为an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)． 答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一，n－7(n∈N*)也可) 5．解析：因为X～N(175，σ2)，且P(175≤X<180)＝0.2，则P(X≤170)＝P(X≥180)＝0.5－0.2＝0.3，且P(X≤175)＝0.5，故若P(X≤a)∈[0.3，0.5]，则a∈[170，175]．故答案为172([170，175]中的任意一个数均可)． 答案：172(答案不唯一) 6．解析：(＋)n的展开式的通项Tr＋1＝C·()n－r·()r＝C·x，若该展开式中存在常数项，则方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4. 答案：5(答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可) 7．解析：由Sn＋1－an>Sn＋2，得an＋1－an>2，即公差d>2，所以数列{an}单调递增，又对∀n∈N*，Sn>S8，即当n＝8时，Sn取得最小值，故只需数列{an}的前8项均为负数，第9项及之后均为正数即可，结合d>2可知，满足条件的一个数列{an}的通项公式可以为an＝3n－25，故答案为3n－25(答案不唯一，满足a8<0，a9>0且公差d>2即可)． 答案：3n－25(答案不唯一) 8．解析：f(x)＝sin x＋cos(x＋φ)可化为f(x)＝sin x＋cos xcos φ－sin xsin φ，所以f(x)＝sin x(1－sin φ)＋cos xcos φ，设a＝＝，则f(x)＝a(sin x＋cos x)，设＝cos θ，＝sin θ，则f(x)＝asin(x＋θ)，因为函数f(x)＝sin x＋cos(x＋φ)的最小值为－，所以－＝－，sin φ＝－，所以φ＝2kπ－或φ＝2kπ－，其中k∈Z，故答案为－(答案不唯一)． 答案：－(答案不唯一) 9．解析：连接AC(图略)．因为四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD，所以AP⊥BD.又AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故可填DM⊥PC或BM⊥PC等． 答案：DM⊥PC(答案不唯一) 10．解析：因为直线l在y轴上的截距为2，所以设直线l的方程为y＝kx＋2，与双曲线方程3x2－4y2＝12联立并消去y得关于x的方程(3－4k2)x2－16kx－28＝0. 当3－4k2＝0时，k＝±，满足题意，此时直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 当3－4k2≠0时，一元二次方程(3－4k2)x2－16kx－28＝0的根的判别式Δ＝(－16k)2－4×(3－4k2)×(－28)，要满足题意，需令Δ＝0，解得k＝±，此时直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 故直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2或y＝x＋2或y＝－x＋2.(只写出其中之一即可) 答案：y＝x＋2(答案不唯一) 11．解析：由题意可知，k≠0且k≠2，记直线y＝kx＋1与直线y＝2x，x轴的交点分别为A，B，则A(，)，B(－，0)．当k<0时，如图1，若△OAB为等腰三角形，当|OA|＝|AB|时，∠AOB＝∠ABO，即直线y＝2x与直线y＝kx＋1的倾斜角互补，所以此时k＝－2；当|OA|＝|OB|时，有·||＝|－|，结合k<0，得k＝－；当|AB|＝|OB|时，有|＋|＝|－|，结合k<0，得k＝－. 　　　 图1　　　　　　　图2 当k>2时，如图2，若△OAB为等腰三角形，则只能|OB|＝|AB|，即|－|＝|＋|，结合k>2，知无解，不符合题意． 图3 当0<k<2时，如图3，若△OAB为等腰三角形，则只能|OB|＝|OA|，即||＝|－|，结合0<k<2，得k＝. 综上，k的可能取值为－2，－，－，(填两个即可)． 答案：－2　－(答案不唯一) 12．解析：通解　由题意可知A1(0，a)，A2(0，－a)，设P(x0，y0)(x0≠0)，则＋＝1，所以x＝－，所以k1k2＝·＝＝－＝－4，所以a2＝4b2.所以椭圆C的方程可以为＋x2＝1. 秒解　点P是椭圆C上异于A1，A2的点，直线PA1和PA2的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－4.设P在椭圆右顶点处，则P(b，0)，则k1·k2＝－4即＝－4，取b＝1，则a＝2.当b＝1，a＝2时，椭圆C的方程为＋x2＝1，经检验，满足题意． 答案：＋x2＝1(答案不唯一，满足a2＝4b2即可) 13．解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，0)，＝(－2，－1，0)，设F(x ，y，0)，x∈[0，2]，y∈[0，2]，则＝(x－2，y，－2)，S△ADF＝×2×y＝y，S△ABF＝×2×(2－x)＝2－x.A1F⊥BE⇔·＝－2(x－2)－y＝0⇔y＝4－2x⇔S△ADF＝2S△ABF.若A1F⊥BE，则A1F＝＝＝不能确定A1F的长度．所以以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出两个正确的命题：若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF；若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE. 答案：若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF(若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE) 学科网（北京）股份有限公司 $$