微专题集训73 圆锥曲线与圆的综合问题-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训73　圆锥曲线与圆的综合问题 1．A　2.D 3．AD　∵椭圆C的长轴长与圆E的直径相等，∴2a＝4，即a＝2.设椭圆的左焦点为F′(－c，0)，连接PF′，QF′，EF′(图略)，由椭圆的定义可知，|PF′|＋|PF|＝2a＝4，∴|PQ|－|PF|＝|PQ|－(4－|PF′|)≥|QF′|－4≥|EF′|－2－4＝2－6，∴|EF′|＝＝2，解得c＝1或c＝5(舍去)，∴椭圆C的焦距为2，故A正确；由b＝＝＝，得椭圆C的短轴长为2，故B错误；连接QF，EF，则|PQ|＋|PF|≥|QF|≥|EF|－2＝－2＝4－2，故C错误；设过点F的圆E的切线方程为y＝k(x－1)，则＝2，解得k＝，故D正确．故选AD. 4．AD　设P(x1，y1)，Q(m，n)，则弦MN所在直线的方程为mx＋ny＝24， 又P为椭圆C1上的一点，所以切线MN的方程为＋＝1， 由于两方程表示同一直线，所以＝，＝，即m＝3x1，n＝4y1，所以x1＝，y1＝，而P(x1，y1)在椭圆上，那么＋＝1，即＋＝1，从而Q的轨迹方程是＋＝1，选项D正确，C错误． 易知直线OQ的方程为nx－my＝0，所以点P到直线OQ的距离d＝，所以S△OPQ＝×d×|OQ|＝××＝|nx1－my1|＝|4y1x1－3x1y1|＝|x1y1|＝＝ ＝×2≤×(＋)＝，当且仅当＝且＋＝1，即x＝4，y＝3时等号成立，所以S△OPQ的最大值为，选项A正确，B错误．故选AD. 5．解析：如图，连接PF2，OT，过F2作F2Q∥OT交F1P于点Q，易知|OF1|＝|OF2|＝c，|OT|＝a，因为OT⊥TF1，2＝，所以|TF1|＝|TQ|＝|QP|＝b，|QF2|＝2a，所以|PF2|＝|PF1|－2a＝3b－2a，在Rt△PQF2中，|PF2|2＝|PQ|2＋|QF2|2，即(3b－2a)2＝b2＋(2a)2，整理得＝，所以e＝＝＝ ＝. 答案： 6．解析：不妨设点P在第一象限，连接PM，PN(图略)，则|OP|＝c＝，|OM|＝|ON|＝2，tan∠MOP＝＝＝，则cos∠MOP＝. 在△MOP中，由余弦定理得|PM|2＝|OP|2＋|OM|2－2|OP|·|OM|·cos∠MOP＝2，所以|PM|2＋|OM|2＝|OP|2，所以∠PMN＝90°，则P(2，)．又|MN|＝4，所以在Rt△PMN中，tan∠MPN＝＝4，所以tan 2∠MPN＝＝－. 答案：－ 7．解析：如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E上任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1(当且仅当M，N，E三点共线时取等号)， ∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5， 当且仅当M，N，E，F2四点共线时等号成立． ∵F2(1，0)，E(4，3)，∴|EF2|＝＝3， ∴|MN|－|MF1|的最小值为3－5. 答案：3－5 8．解：(1)由题意得所以a＝2，c＝1. 又b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，P(x0，y0)，x0>0，y0>0， 且＋＝1，直线F1P的方程为y＝(x＋1)， 将其代入椭圆E的方程可得＋(x＋1)2＝1， 整理可得(6x0＋15)x2＋8yx－15x－24x0＝0， 则x0x1＝， 得x1＝－， y1＝(－＋1) ＝－， 故Q1(－，－)． 当x0≠1时，直线F2P的方程为y＝(x－1)， 将其代入椭圆方程并整理可得 (－6x0＋15)x2－8yx－15x＋24x0＝0， 同理可得Q2(，)． 因为S△PF1Q2＝×8r1，S△PF2Q1＝×8r2，所以 r1－r2＝－＝ ＝ ＝＝(－－)＝ ＝≤＝， 当且仅当x0＝，y0＝时，等号成立． 当x0＝1，即PF2⊥x轴时，易知P(1，)， y1＝－，y2＝－， 此时r1－r2＝＝×＝<. 综上，r1－r2的最大值为. 9．解：(1)圆C2的半径为b，则2bπ＝2π，所以b＝1， 又椭圆C1的短轴长为长轴长的一半，所以a＝2b＝2， 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1. (2)由(1)知E(0，－1)，由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥ME，不妨设直线PE的斜率为k(k>0)，则直线PE：y＝kx－1. 由解得或 所以P(，)． 所以|PE|＝＝， 用－代替k，可得|EM|＝ ＝， 所以S△EPM＝·· ＝＝＝. 设k＋＝μ，由k>0，可得μ＝k＋≥2＝2， 当且仅当k＝，即k＝1时取等号，所以μ≥2， 则S△EPM＝＝. 令f(μ)＝4μ＋(μ≥2)，则f′(μ)＝4－＝>0， 所以函数f(μ)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(μ)＝4μ＋≥， 所以≤，当μ＝2时取等号， 所以△EPM面积的最大值为. 10．解：(1)当l⊥x轴时，设A(－2，y0)， 则B(－2，－y0)，D(2，－y0)， 此时，|BD|＝4，|AB|＝2|y0|， 由|BD|＝|AB| ⇒4＝2|y0| ⇒|y0|＝， ∵e＝，∴＝，∴c＝a，∴b＝a， ∵A在双曲线－＝1上⇒－＝1⇒a2＝2，a＝， ∴双曲线C的标准方程为－＝1. (2)证明：设直线AB方程：x＝my－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若m＝±1，则直线AB与渐近线平行，直线AB与双曲线只有一个交点，不符合题意，故m2≠1. 由得(m2－1)y2－4my＋2＝0， 且Δ＝8m2＋8>0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， 可得x1＋x2＝(my1－2)＋(my2－2) ＝m(y1＋y2)－4＝， x1x2＝(my1－2)(my2－2)＝m2y1y2－2m(y1＋y2)＋4 ＝－， ∵A，B均在双曲线的左支上， ∴x1＋x2＝<0，x1x2＝－>0， 解得－1<m<1. 不妨设y2<0，y1－y2＝＝，由y1＋y2＝，解得y2＝， ∵A，D关于原点对称，∴D(－x1，－y1)，kBD＝＝＝m，∴直线BD的方程为y＝m(x－x2)＋y2，O到直线BD的距离d＝＝ ＝＝ ＝＝， d＝＝r，∴直线BD与圆O：x2＋y2＝2相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训73　圆锥曲线与圆的综合问题 一、单项选择题 1.如图所示，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，圆(x＋c)2＋y2＝4c2与双曲线C位于x轴上方的部分从左到右依次交于A，B两点．若∠AF1F2＝120°，则∠BF2F1的余弦值为(　　) A．1－ B． C． D． 2．(2024·河南名校联盟联考)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其长轴长为4，且离心率为，在椭圆C1上任取一点P，过点P作圆C2：x2＋(y＋3)2＝2的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则·的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．4－6 D．0 二、多项选择题 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有的点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径相等，则下列说法正确的有(　　) A．椭圆C的焦距为2 B．椭圆C的短轴长为 C．|PQ|＋|PF|的最小值为2 D．过点F的圆E的切线的斜率为 4.(2024·四川绵阳中学测试改编)如图，P为椭圆C1：＋＝1上的动点，过P作椭圆C1的切线交圆C2：x2＋y2＝24于M，N，过M，N分别作C2的切线交于Q，则下列说法中正确的是(　　) A．S△OPQ的最大值为 B．S△OPQ的最大值为 C．Q的轨迹方程是＋＝1 D．Q的轨迹方程是＋＝1 三、填空题 5.如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线的右支于点P，若2＝，则双曲线C的离心率e＝________． 6．已知双曲线C：－＝1与x轴的正、负半轴分别交于M，N两点，左、右焦点分别为F1，F2.若以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，则tan 2∠MPN＝________． 7．(2024·四川成都树德中学开学考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为________． 四、解答题 8．(2024·江西南昌二中月考)已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P为E上任意一点，且|PF1|的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆E的方程； (2)若P是第一象限内E上的一点，PF1，PF2的延长线分别交E于点Q1，Q2，设r1，r2分别为△PF1Q2，△PF2Q1的内切圆半径，求r1－r2的最大值． 9.(2024·江西抚州临川一中月考)如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和圆C2：x2＋y2＝b2，已知椭圆C1的短轴长为长轴长的一半，且圆C2的周长为2π，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M. (1)求椭圆C1的方程； (2)求△EPM面积的最大值． 10．(2024·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左支交于A，B两点，直线OA与双曲线C的右支交于点D.已知双曲线C的离心率为，当直线l与x轴垂直时，|BD|＝|AB|. (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线BD与圆O：x2＋y2＝2相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$