微专题集训71 双变量不等式的证明问题(解答题)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训71　双变量不等式的证明问题(解答题) 1．已知函数f(x)＝＋(x－1)ex. (1)求函数f(x)的极值； (2)若＝a(a为常数)，且x1≠x2，求证：>1－a. 2．(2024·泉州市质监(一))已知函数f(x)＝ex[x2－(a＋2)x＋a＋3]． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在(0，2)上有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)<4e2. 3．已知函数f(x)＝ex－2a(a>0)． (1)若a＝e，讨论f(x)的单调性； (2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，证明：1<x1＋x2<2ln a＋ln 2. 4．(2024·济南莱芜一中月考)设函数g(x)＝ln x＋aex，h(x)＝axex，0<a<. (1)求g(x)的图象在x＝1处的切线的一般式方程； (2)请判断g(x)与h(x)的图象有几个交点； (3)设x0为函数g(x)－h(x)的极值点，x1为g(x)与h(x)图象的一个交点的横坐标，且x1>x0，证明：3x0－x1>2. 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训71 双变量不等式的证明问题(解答题) 1. 解:(1)f(x)=I+xex十(x-1)e,则f(x)=ex-ex(1十x)e2x+e*+e(x- 1)=-xex十xex=xex(e2x-1),/(x)=0在R上恒成立,所以fx)无极值. (2)证明:因为xlex2-x2exlexI-ex2=a(a为常数),且x≠x2. 所以x/+aexl-x2+aex2(a为常数),且x≠x2 令g(x)-x+aex,则g(x)-I-a-xex 当xE(-,1-a)时,g'(x)>0,所以g(x)在(-,1-a)上单调递增,当x E(1-a,十o)时,g(x)<0,所以g(x)在(1-a,十)上单调递减. 由xl+aex/=x2+aex2,得g(x)=g(x2),且x→x2 不妨设x<x,则x<1-a<x,令x=1-a-i(t0). 则1-a+-2(1-a)-x,>1-a 因为g(l-a-t)=1-tel-a-t,g(1-a+t)=I+tel-a+t, 所以g(l-a-t)-g(l-a+t)=1-tel-a-t-I+tel-a+t=-lel-all+tet +(-1)e, 由(1)知,f(x)在(0,+^)上单调递增,且f{x)f(0)=0,所以g(1-a-t-$ (1-a+t)0,所以g(1-a-)<g(1-a+t), 即g(x)g(2-2a-x).即g(x)g(2-2a-x). 因为x,2-2a-xjE(1-a,+),gx)在(1-a,+)上单调递减, 所以x2 2-2a-x,所以x+x>2(1-a),即xl+x22>1-a 2.解:(1)/(x)的定义域为R /(x)-e(r2-ax十1). 令/(x)-0,得x2-ax+1-0, ①若4-a2-4<0,即-2<a<2 则VxER,x2-x+10 从而/(x)=e(x2-ax+1)二0. 所以f(x)在(一,十)上单调递增 ②若40,即a2或a<-2. 则令/(x)0,得x2-ax+1>0. 解得xa2-4)2或xa2-4)2, 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.Com 您身边的互联网+教辅专家 令f(x)~0,解得a2-4)2<x<a2-4)2. 所以f(x)在(-,a2-4)2),(a2-4)2,+)上单调递增,在(a2-4)2,a2-4) 2)上单调递减. (2)证明:因为/fx)在(0,2)上有两个极值点x,x2 所以关于x的方程f(x)=0,即x2一ax十1一0在(0,2)上有两个不同的解x x2 令g(x)=x2-ax+1,显然g(0)>0,则有A>0,a2g(2)>0. 即a2-4>0,a24-2a+1=0,解得2<a52. 因为x,x是x2一ax十1-0在(0,2)上的两个不同的解 所以x+x2-a,x1x2-1, 可得x2i-ax-1,其中i-1,2 所以fx)=ex[x2i-(a+2)x+a+3]=exlax-1-(a+2)x+a+3]=ex(-2x +a十2): 所以fx)(x)-ex+x(-2x+a+2)(-2x2+a+2) -ex+x:[4xx-2(a+2)(x+x)+(a+2)] =eq{4-2(a+2)a+(a+2)}]=e(-a2+8) 令(x)-e(-r2+8). 则 '(x)=e(-x2-2x+8)=-e(x+4)(x-2) 当252时,(x)0,所以q(x)在(2,52)上单调递减,故fx)fx)(2)-4e 3. 解:(1)/(x)=e-2ax(a>0)的定义域为[o,+),f(x)=er-alr(x), 当a=e时,f(x)-ex-er(x), 令/(x)-0,则x-1, 当0<1时,f(x)0,当x1时,/(x)0. 所以fx)在(0,1)上单调递减,在(1,+o)上单调递增 (2)证明:因为x,x2是函数/fx)的两个不同的零点。 所以er-2ax1,e&2-2ax2 显然x0,x2>0, 则有x=ln2+lna+/2lnx,x=ln2+lna+/2lnx 所以x-x=12lnx-/2lnx2=/2lnx/x2. 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 不妨令x>x>0,1-x1x2,则1. 所以t2-x2=12lnt,则x=lnt2(t-1),x=tlnt2(t-1),1. 所以要证x+x=(t+1)nt2(t-1)>1(t>1). 只要证lnt>2(t-1)+1(1),即证lnt-2(1-/)1+1>0(t1) 令g(=nt-2(t-1)t+/(t1), 则g(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0. 所以g(在(1,十o)上单调递增, 所以g(>0,所以x十x1. 因为x=ln2+lna+/2lnx,x=ln2+lna+/2lnx2 所以x+x=2ln2+2lna+/2ln(xx2), 要证x+x~2lna+ln2,只要证/2ln(xx)-ln2, 即证xx<14. 因为xx2=t(lnt)24(t-1)2(t1),所以只要证t(lnt)24(t-1)2 <14, 即证ln/-/r(t),即证lnt-t十/(t)o,>1; 令/(t)=lnt-t十/r(t),1, 则r(t)-1t-12r(t-12rr(t=--I)22rr(t)<0, 所以/h(t)在(1,十o)上单调递减, 所以/(t)0,所以x+x2lna+ln2. 综上,1<x+x2lna+ln2 4. 解:(1)由g(x)一/x十ae*得所求切线的斜率 k-g(1)一I十ae,切点为(1,ae). ..所求切线的方程为y-ae=(1十ae)(x-1), ·.所求切线的一般式方程为(1十ae)x一v一1一0 (2)令(x)=g(x)-h(x)=lnx十ae{-axe*,由题意可知,fx)的定义域为(0,+ *),且f(x)-Ix+aex-a(1+x)e-I-ax2exx 令m(x)=1-ax2ex,得m'(x)=-a(2xe{+x2e),由0<a<le,x>0,可知m'(x) 0在(0,十o)上恒成立,..m(x)在(0,+)上单调递减 又m(1)-1-ae>0,且m(lnla)-1-(dnla)<o 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b7xxk.com 您身边的互联网+教辅专家 '.m(x)=0在(0,十o)上有唯一解,从而f(x)一0在(0,十o)上有唯一解, 不妨设该唯一解为x,则1nla 当xE(0,x)时,f(x)=m(x)xm(x')x=0,..f(x)在(0,x)上单调递增; 当xE(',+o)时,f(x)=n(x)xn(x')x=0. '.f(x)在(x',十)上单调递减. 因此是/(x)的唯一极值点. 令(x)=lnx-x+1,则当x>1时,(x)=lx-1<0,故 (x)在(1,+)上单调 递减, .当x1时,(x)<(1)=0,即lnx<x-1(x1),从而/flnla)=ln(lnla)+a 又íx)>(1)-0,'x)在(x’,+)上有唯一零点, 又f(x)在(0,x)上有唯一零点1,'fx)在(0,+)上恰有2个零点,g(x)与 /n(x)的图象有2个交点. (3)证明:由(2)及题意知,f(xo)=0,f(xl)=0,)即20axex0=1,lnxl =a(xl-1)exl,)从而lnx=20xl-1Ixex-x,即e-x=20xlnxlxl-I, .当x>1时,lnx<x-1,xx1,.er-x20x(x-/)xl-/=x20,两边 取对数,得lnex-xlnx20, 于是x-xo<2lnxo2(xo-1),整理得3xo-x2,命题得证. 独家授权侵权必究。