微专题集训70 数列与不等式的综合问题(解答题)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训70　数列与不等式的综合问题(解答题) 1．解：(1)∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝a1＋d1＝1＋d1，a4＝a2＋d2＝2＋d2，a5＝a1＋2d1＝1＋2d1， 则由得解得 故a10＝a2＋4d2＝2＋4×3＝14. (2)证明：当n为偶数时，∵an<an＋1恒成立， ∵2＋(－1)d2<1＋d1恒成立， 即(d2－d1)＋1－d2<0恒成立， ∴d2－d1≤0且d2≥1，等号不同时取到． 当n为奇数时，∵an<an＋1恒成立， ∴1＋d1<2＋(－1)d2恒成立， 即(1－n)(d1－d2)＋2>0恒成立，∴d1－d2≤0，∴d1＝d2. ∵S15＝15a8，∴8＋d1＋14＋d2＝30＋45d2， ∴d1＝d2＝2，∴an＝n，则an＋1－an＝1， 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． 2．解：(1)证明：由an＋2＝3an＋1－2an， 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，易知an＋1－an≠0， 所以＝2.又a2－a1＝1，所以数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋1－an＝2n－1， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋21＋20＋a1＝20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＋1＝20×＋1＝2n－1(n≥2)， 又n＝1时，a1＝1满足上式， 所以{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)设Sm＝＋＋…＋， 则Sm＝＋＋＋…＋＋　①， 所以2Sm＝2＋＋＋… ＋＋　②， ②－①得Sm＝2＋＋＋…＋＋－ ＝4－， 所以Sm＋1＝4－，所以Sm＋1－Sm＝>0， 所以当m∈N*时，Sm单调递增． 又S6＝，所以使得不等式＋＋…＋≤成立的最大正整数m为6. 3．解：(1)在＝中， 令n＝1，得＝，所以a1＝2，则a3＝4a1＝8； 令n＝3，得＝，即＝，所以a2＝5. 下面证明{an} 为等差数列． 由＝，得2Sn＝nan＋2n，　① 所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)，　② ②－①得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， 所以(n－1)an＋1－nan＋2＝0，　③ 当n≥2时，(n－2)an－(n－1)an－1＋2＝0，　④ ③－④得(n－1)an＋1－2(n－1)an＋(n－1)an－1＝0，即an＋1＋an－1＝2an， 所以{an}是等差数列． (2)证明：由(1)得{an}是等差数列，且a1＝2，a2＝5， 所以{an}的公差d＝a2－a1＝3， 则an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 若选①： bn＝＝ ＝＝＝ ＝1＋＝1＋(－)， 所以b1＋b2＋…＋bn＝n＋(－＋－＋－＋…＋－)＝n＋－， 因为n∈N*，所以n＋－－(n－)＝1－＝>0，所以b1＋b2＋…＋bn>n－. 若选②： bn＝＝＝＝＝1－>1－＝1－(－)， 所以b1＋b2＋…＋bn>n－(－＋－＋－＋…＋－)＝n－＋>n－. 4．解：若选①： (1)由题意，当n≥2时，由an＋1－Sn＝2，可得an－Sn－1＝2，两式相减可得an＋1＝2an. 又由a3＝S2＋2＝a1＋a2＋2＝2a2，a3＝8，解得a1＝2，a2＝4，则有a2＝2a1.所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n(n∈N*)． (2)证明：由(1)知an＝2n(n∈N*)，可得bn＝＝，所以Tn＝＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋， 两式相减得Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－，所以Tn＝2－，故Tn<2. 又bn>0，Tn≥b1＝，所以≤Tn<2. 若选②： (1)已知am＋n＝am·an，令m＝1， 则an＋1＝an·a1. 由aman≠0知数列{an}各项均不为0， 所以数列{an}是以a1为首项，a1为公比的等比数列， 则an＝a. 又由S1S2＝3a2，可得a1(a1＋a2)＝3a2， 即a1(a1＋a)＝3a，解得a1＝2， 所以an＝2n(n∈N*)． (2)证明：同条件①. 若选③： (1)当n≥2时，Sn＋1＝3Sn－2Sn－1， 则Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即有an＋1＝2an. 又a2＝S2－a1＝4，所以a2＝2a1， 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 即an＝2n(n∈N*)． (2)证明：同条件①. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训70　数列与不等式的综合问题(解答题) 1．已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2. (1)若S5＝16，a4＝a5，求a10； (2)若S15＝15a8，且对任意的n∈N*，an<an＋1恒成立，求证：数列{an}是等差数列． 2．(2024·武汉市武昌区质检)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an＋2＝3an＋1－2an. (1)求证：{an＋1－an}是等比数列．并求{an}的通项公式； (2)求使得不等式＋＋…＋≤成立的最大正整数m. 3．(2024·安徽皖优联盟联考)记Sn为数列{an}的前n项和．已知a3＝4a1，＝. (1)求a1，a2，并证明{an}是等差数列； (2)从下面2个条件中选1个作为本小题的条件，证明：b1＋b2＋…＋bn>n－. ①bn＝； ②bn＝. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 4．(2023·四川资阳一诊)设m，n∈N*，现给出以下三个条件：①a3＝8，an＋1－Sn＝2；②S1S2＝3a2，对于任意m，n∈N*，aman≠0，且am＋n＝am·an；③a1＝2，S2＝6，Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2)． 从以上三个条件中任选一个，补充在本题相应的横线上，再作答． 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________． (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 $$