微专题集训69 函数与导数(选择题&填空题压轴)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训69　函数与导数(选择题&填空题压轴) 一、单项选择题 1．(2024·东北三省四市联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则f(k)＝(　　) A．116 B．115 C．114 D．113 2．(2024·潍坊市高三统考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，对任意x，y∈R，有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则 ＝(　　) A． B． C． D． 3．(2024·湖北荆荆宜三校联考)若不等式ex＋a≥ln x－a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－，＋∞) D．[－e，＋∞) 4．(2024·静海一中调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 5．(2024·陕西咸阳中学质检)已知函数f(x)＝ax2＋2x－ex，若对∀m，n∈(0，＋∞)，m>n，都有<2成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，] B．(－∞，1) C．(－∞，] D．(－∞，e] 6．(2023·河南开封一模)对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数．若f(x)＝x(aex－ln x)为“不动点”函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，] C．(－∞，1] D．(－∞，e] 7．(2023·四川绵阳一诊)已知直线l：x＋my＋n＝0既是曲线y＝ln x的切线，又是曲线y＝ex－2的切线，则m＋n＝(　　) A．0 B．－2 C．0或e D．－2或－e 8．(2024·河南顶级名校月考)设函数y＝f(x)的定义域为R，且满足y＝f(2x＋1)是偶函数，f(－x)＝－f(x－2)，当x∈(－1，1]时，f(x)＝－x2＋1，则下列说法不正确的是(　　) A．f(2022)＝－1 B．当x∈[9，11]时，f(x)的取值范围为[0，1] C．y＝f(x＋3)为奇函数 D．方程f(x)＝|lg(x＋1)|仅有5个不同实数解 二、多项选择题 9．(2024·苏北四市第一次调研)设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数．当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b.若f(0)＋f(3)＝－1，则(　　) A．b＝－2 B．f(2023)＝－1 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于点(，0)对称 10．(2023·东北师大附中模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，且f(x)在[0，2)上单调递增，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．f(2)＝0 B．点(4，0)是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心 C．函数y＝f(x)在(－6，－2)上不具有单调性 D．函数y＝f(x)在[－6，6]上有3个零点 11．(2024·湖北二十一所重点中学联考)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递减 B．若函数f(x)＝，则y＝[f(x)]的值域为{0} C．若函数f(x)＝|－|，则y＝[f(x)]的值域为{0，1} D．∀x∈R，x＜[x]＋1 12．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－ 2af(x)＝0(a为参数，a∈R)有两个不等实根，则下列选项正确的是(　　) A．x＝1是函数f(x)的零点 B．∃x1∈(0，1)，x2∈(1，3)，使得f(x1)>f(x2) C．x＝－2是f(x)是极大值点 D．a的取值范围是(，)∪[，＋∞) 三、填空题 13．(2024·福建宁德高级中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若函数y＝|x2－2x|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则交点横坐标的和xi＝________．(用m表示结果) 14．(2024·河南信阳月考)已知f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过点(2，0)的切线，则实数a的取值范围是________． 15．(2024·江苏镇江期中)已知f(x)＝ln x－ax2＋x，若f(x)>0有且仅有三个整数解，则a的取值范围是________． 16．(2023·广东湛江一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋，g(x)＝－ln x，且min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，若h(x)恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训69　函数与导数(选择题&填空题压轴) 1．C　2.A 3．B　由ex＋a≥ln x－a，得ex＋a＋x＋a≥x＋ln x＝eln x＋ln x，构造f(x)＝ex＋x，则 f(x)在R上单调递增，由f(x＋a)≥f(ln x)得x＋a≥ln x恒成立，即a≥ln x－x恒成立．令g(x)＝ln x－x(x>0), 则g′(x)＝－1＝，由g′(x)>0得0<x<1，则g(x)在(0，1)上单调递增，由g′(x)<0得x>1，则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－1，所以a≥－1.故选B. 4．D　根据题图得函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数．对于A选项，f(x)＝为偶函数，但f(1)＝>2.不合题意，排除A；对于B选项，函数定义域为R，不合题意，排除B；对于C选项，函数定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝，故函数为非奇非偶函数，不合题意，排除C.故选D. 5．C　因为对∀m，n∈(0，＋∞)，m>n，都有<2成立，所以对∀m，n∈(0，＋∞)，m>n，都有f(m)－2m<f(n)－2n.设g(x)＝f(x)－2x＝ax2－ex，则g(x)在(0，＋∞)上为减函数，g′(x)＝2ax－ex，等价于x∈(0，＋∞)，2ax－ex≤0恒成立，即x∈(0，＋∞)，2a≤恒成立．设h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝e，所以2a≤e，即a≤.故选C. 6．B　f(x)＝x(aex－ln x)＝x，∵x>0，∴aex－ln x＝1，解得a＝.设g(x)＝，则g′(x)＝，令t(x)＝－(1＋ln x)，则t′(x)＝－－<0，所以t(x)在(0，＋∞)上单调递减，且t(1)＝0，故当0<x<1时，t(x)>0，g(x)在(0，1)上单调递增；当x>1时，t(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减．则g(x)max＝g(1)＝，g(x)的值域为(－∞，]，∴实数a的取值范围为(－∞，]． 7．D　设f(x)＝ln x，g(x)＝ex－2，则f′(x)＝，g′(x)＝ex－2.设直线l与两曲线相切的切点分别为M(x1，f(x1))，N(x2，g(x2))，则曲线f(x)＝ln x的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，化简得y＝x＋ln x1－1；曲线g(x)＝ex－2的切线方程为y－ex2－2＝ex2－2 (x－x2)，化简得y＝ex2－2x＋(1－x2)·ex2－2，所以由ex2－2＝，得x2－2＝ln，所以x2＝－ln x1＋2，代入(1－x2)·ex2－2＝ln x1－1得(ln x1－1)·＝ln x1－1，即(ln x1－1)(－1)＝0，解得x1＝e或x1＝1.当x1＝e时，切线方程为x－ey＝0，所以m＝－e，n＝0，所以m＋n＝－e；当x1＝1时，切线方程为x－y－1＝0，所以m＝n＝－1，则m＋n＝－2.故m＋n的值为－e或－2.故选D. 8．D　依题意，y＝f(2x＋1)是偶函数，则f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x＋2)＝f(－x)．又f(－x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，于是有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8. 对于选项A，f(2022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(－2)＝－f(0)＝－1，故A正确． 对于选项B，画出函数f(x)的图象，如图所示． 所以当x∈[9，11]时，f(x)的取值范围为[0，1]，故B正确． 对于选项C，由f(x＋2)＝f(－x)，得f(x－3＋2)＝f[－(x－3)]，即f(x－1)＝f(－x＋3)①.由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x－1＋4)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x－1)②.由①②可得f(x＋3)＝－f(－x＋3)，所以y＝f(x＋3)为奇函数，故C正确． 对于选项D，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝|lg (x＋1)|的部分图象，如图所示．由图象可以看出，两函数的图象有6个交点，所以方程f(x)＝|lg (x＋1)|仅有6个不同实数解，故D错误．故选D. 9．AC　由f(2x＋1)为奇函数，得f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，D错误．由f(x＋2)为偶函数，得f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)的周期为4×(2－1)＝4，于是f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，C正确．在f(－x＋1)＝－f(x＋1)中，令x＝0，得f(1)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b，可得f(0)＝1＋b，f(1)＝a＋b＝f(3)＝0，又f(0)＋f(3)＝－1，∴f(0)＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确．f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝0，B错误．综上，选AC. 10．AB　将x＝－2代入f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0，又函数y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝0，故f(2)＝0，所以A正确．因为f(x＋4)＝f(x)　①，所以－f(x＋4)＝－f(x)　②，令①式中的x为－x得f(－x＋4)＝f(－x)，又函数y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故f(－x＋4)＝－f(x)　③，由②③可得f(－x＋4)＝－f(x＋4)，故B正确．因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，则函数y＝f(x)在(－6，－2)上的单调性与在(－2，2)上的单调性相同，画出f(x)在(－2，2)上的大致图象，如图，则函数y＝f(x)在(－6，－2)上单调递增，所以C不正确．由上述分析可知f(0)＝f(－4)＝f(4)＝0，f(2)＝f(6)＝f(－2)＝f(－6)＝0，所以函数y＝f(x)在[－6，6]上有7个零点，D不正确．故选AB. 11．CD　对于A，当x∈[k，k＋1)(k∈Z)时，y＝x－[x]＝x－k，所以函数y＝x－[x]在[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增，所以选项A错误．对于B，当x＝时，sin x＝－1，ex－e－x>1，所以0<<1，所以f(x)＝∈(－1，0)，则此时[f(x)]＝－1，所以选项B错误．对于C，f(x)＝|－|，则f(x)>0，所以f2(x)＝1＋sin 2x＋1－sin 2x－2＝2－2＝2－2＝2－2|cos 2x|＝＝.当cos 2x≥0时，1－2sin2x≥0，所以sin2x≤，即|sin x|≤，此时f(x)＝2|sin x|∈[0，]；当cos 2x<0时，2cos2x－1<0，所以cos2x<，即|cos x|<，此时f(x)＝2|cos x|∈[0，)．所以f(x)∈[0，]，所以函数y＝[f(x)]的值域为{0，1}，所以选项C正确．对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3，所以x<[x]＋1，所以选项D正确．综上，选CD. 12．BC　当x<1时，f(x)＝x2ex，则f′(x)＝(x2＋2x)ex＝x(x＋2)ex，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－2，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(－2)＝，f(0)＝0.当x≥1时，f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，且f(1)＝e，f(2)＝，f(x)≥0(x≥1)恒成立．画出函数y＝f(x)的大致图象如图． 对A，由函数图象可得x＝1不是函数f(x)的零点，故A错误；对B，由图易知f(x1)∈(0，e)，f(x2)∈[，e)，故∃x1∈(0，1)，x2∈(1，3)，使得f(x1)>f(x2)，故B正确；对C，由图可得x＝－2是f(x)的极大值点，故C正确；对D，方程[f(x)]2－2af(x)＝0(a为参数，a∈R)等价于f(x)＝0或f(x)＝2a，由图可得f(x)＝0有1个实数根x＝0，所以方程[f(x)]2－2af(x)＝0(a为参数，a∈R)有两个不等实根等价于f(x)＝2a(a为参数)有1个非零实根，则由图可得<2a<或2a>e，即a的取值范围是(，)∪(，＋∞)，故D错误．故选BC. 13．解析：因为y＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，所以函数y＝|x2－2x|的图象关于直线x＝1对称．又f(1＋x)＝f(1－x)，则y＝f(x)的图象也关于直线x＝1对称，所以它们的交点关于直线x＝1对称．设x1<x2<x3<…<xm，则x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝2，所以2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以xi＝m. 答案：m 14．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．对f(x)求导得f′(x)＝1－，设切点坐标为(x0，x0＋)，所以切线方程为y－x0－＝(1－)(x－x0)．因为切线过点(2，0)，代入可得－x0－＝(1－)(2－x0)，整理得2x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝f(x)存在两条切线，所以该方程有两个不等的实数根且x0≠0，即满足a≠0且Δ＝a2＋8a>0，解得a>0或a<－8.故实数a的取值范围是(－∞，－8)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－8)∪(0，＋∞) 15．解析：f(x)>0可化为>a(x>0)，令g(x)＝，则g′(x)＝.令h(x)＝1－x－2ln x，则h′(x)＝－1－<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，又h(1)＝0，所以当0<x<1时，h(x)>0，则g′(x)>0，当x>1时，h(x)<0，则g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．因为g(x)>a有且仅有三个整数解，所以g(4)≤a<g(3)，即≤a<，所以a的取值范围是[，)． 答案：[，) 16．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋的图象恒过点(0，)，为开口向上的抛物线，易知函数g(x)＝－ln x的零点为1，且f(x)有2个不同的零点．当f(x)＝x2＋ax＋的零点至少有1个大于或等于1时，在同一直角坐标系中作出f(x)，g(x)的示意图，有3种情况，如图所示， 　　 则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)的零点最多有2个，不符合题意． 故要使h(x)恰有3个不同的零点，需函数f(x)在区间(0，1)上存在2个零点，在同一直角坐标系中作出f(x)，g(x)的示意图，如图所示，数形结合，知解得－<a<－. 答案：(－，－) 学科网（北京）股份有限公司 $$