微专题集训67 立体几何(选择题&填空题压轴)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训67　立体几何(选择题&填空题压轴) 1．B　2.D 3．C　如图所示，过P作PD⊥BC于D，连接AD.因为PA，PB，PC两两垂直，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又AM⊥BC，AP∩AM＝A，AP，AM⊂平面APM，所以BC⊥平面APM.又PM⊂平面APM，所以BC⊥PM，故点M的轨迹为Rt△PBC斜边上的高线PD. 因为三棱锥P-ABC的体积为6，即VP-ABC＝VA-PBC＝S△PBC·PA＝×PB·PC×1＝6，所以PB·PC＝36.又S△PBC＝PB·PC＝BC·PD，所以PD＝＝≤＝3，当且仅当PB＝PC＝6时取等号， 所以点M的轨迹长度的最大值为3，故选C. 4．B　由题意＝×4＝，则三个侧面的面积之和为3××5＝20π，如图，S阴影＝S扇形ABC－S△ABC＝××4－×4×4×＝－4，所以底面积为(－4)×3＋×4×4×＝8π－8，所以上、下两个底面的面积之和为16π－16.故曲侧面三棱柱的表面积为16π－16＋20π＝36π－16.故选B. 5．B　作出图形如图所示，设正四棱柱的底面边长为x cm，高为h cm，由相似得＝，即＝，所以h＝3－x.因为0<3－x<3，所以0<x<3.所以正四棱柱的体积V＝x2×h＝x2(3－x)＝－x3＋3x2(0<x<3)， 所以V′＝－x2＋6x.令V′＝－x2＋6x＝0，得x＝2，当 0<x<2时，V′>0，V＝－x3＋3x2单调递增；当2<x<3时，V′<0，V＝－x3＋3x2单调递减．所以当x＝2时，V＝－x3＋3x2取得最大值8，即正四棱柱体积的最大值为8 cm3，故选B. 6．A　由题意可知，△BCD和△ABD均为等边三角形．如图，取BD的中点E，连接AE，CE，所以AE⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以AE⊥平面CBD，同理CE⊥平面ABD.在AE上取点H，使得AH＝2HE，所以H为△ABD的外心，在CE上取点O1，使得CO1＝2O1E，所以O1为△BCD的外心，连接MH，因为AM＝2MC，所以MH∥CE，所以MH⊥平面ABD，在MH上取点O，使MO＝OH，连接OO1，所以OO1∥AE，所以OO1⊥平面BCD，所以O为三棱锥A-BCD外接球的球心．AE＝＝3，所以OO1＝HE＝AE＝，连接O1D，OD，则O1D＝＝2，外接球的半径R＝OD＝＝，当M为截面圆圆心时，截面圆面积最小，因为MO＝OH＝O1E＝，所以此时截面圆半径r＝＝2，截面圆面积为πr2＝π(2)2＝12π.故选A. 7．D　如图，连接EF并延长线段FE，交线段DA的延长线于点P，连接D1P，与AA1交于点M，延长线段EF，交线段DC的延长线于点Q，连接D1Q，与CC1交于点N，连接ME，NF，则五边形MEFND1是所求截面，故④错误．易知ME∥D1Q，PE∶EQ＝1∶2，所以PM∶MD1＝1∶2，所以可得MA∶A1M＝1∶2.对于①，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．又MA∶A1M＝1∶2，所以点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，所以点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍，故①正确．连接MN，易知D1M＝MN＝D1N＝2，EF∥MN，且EF＝ME＝NF＝，所以五边形D1MEFN可被分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN两部分．等腰梯形MEFN的高h＝ ＝，所以等腰梯形MEFN的面积为×＝.又S△D1MN＝×(2)2＝2，所以五边形D1MEFN的面积为＋2＝，故②正确．记平面α将直四棱柱分割成的较大部分的体积为V1，较小部分的体积为V2，则V2＝V三棱锥D1-DPQ－V三棱锥M-PAE－V三棱锥N-CFQ＝××3×3×3－××1×1×1－××1×1×1＝，所以V1＝V四棱柱ABCD-A1B1C1D1－V2＝2×2×3－＝ ，V1∶V2＝47∶25，故③正确．综上，正确说法的个数是3，故选D. 8．BCD　对于A：因为DD1∥AA1，所以DD1与AF所成角即为AA1与AF所成角∠A1AF.又当F与C重合时 ，∠A1AF取得最大值为；当F与C1重合时，∠A1AF取得最小值，设其为α，则tan α＝＝，故α>.又点F不能与点C，C1重合，故∠A1AF∈(α，)，α>，故A错误． 对于B：当G为B1B的中点时，存在E，F分别为BC，C1C的中点，满足A1G∥平面AEF.取B1C1的中点为M，连接A1M，MG，如图①所示．显然A1M∥AE，又AE⊂平面AEF，A1M⊄平面AEF，故A1M∥平面AEF.又MG∥EF，EF⊂平面AEF，MG⊄平面AEF，故MG∥平面AEF.又A1M∩MG＝M，A1M，MG⊂平面A1MG，故平面A1MG∥平面AEF.又A1G⊂平面A1MG，故A1G∥平面AEF，故B正确． 对于C：连接AD1，D1F，AE，BC1，如图②所示．因为EF∥BC1∥AD1，所以四边形AEFD1即为平面AEF截正方体所得截面．又D1F＝AE＝，故该截面为等腰梯形．又EF＝，AD1＝，故截面面积S＝(EF＋AD1)×＝×(＋)×＝，故C正确． 对于D：连接GC，取其中点为H，如图③所示．要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，显然存在这样的点G满足要求，故D正确．故选BCD. 9．ABD 选项 分析过程 正误 A 在△AMA1中，AA1＝4，A1M＝AM＝＝＝2，故AM2＋A1M2＝AA，所以AM⊥A1M，故AP≥AM，当且仅当P在M处时取等号．如图，连接A1B，BM＝＝＝2，A1B＝＝＝2， 在△A1MB中，由余弦定理，得cos∠A1MB＝＝－<0. 故∠A1MB为钝角，故BP≥BM，当且仅当P在M处时取等号．故当P在M处时AP＋BP取最小值，为AM＋BM＝4. √ B 由题易知点B到平面AMP的距离为，由AM⊥A1M，得S△AMP＝×AM×PM＝PM，又PM≤2，则三棱锥P-ABM的体积VP-ABM＝VB-AMP＝××S△AMP＝PM≤，所以三棱锥P-ABM的体积的最大值为. √ C BP与平面A1B1C1所成角即BP与平面ABC所成角，设为α，易知当点P与M重合时α最小，此时α＝∠MBC＝45°，当点P与A1重合时α最大，此时α＝∠ABA1，tan∠ABA1＝＝2>，所以α>60°，故存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成角为60°. × D 因为MC⊥平面ABC，故三棱锥M-ABC的外接球直径与△ABC的外接圆直径、MC构成直角三角形．由正弦定理，得△ABC的外接圆直径d＝＝＝，设三棱锥M-ABC的外接球半径为R，直径为2R，则其表面积S＝4πR2＝π(2R)2＝π(d2＋MC2)＝π×(＋4)＝π. √ 10.AD　设圆锥底面半径为r米，侧面展开图是扇形SAA′，如图．对于A，在△A′SC中，A′S＝6，SC＝2，A′C＝2， ∴cos∠A′SC＝＝－， ∴∠A′SC＝，∴＝，∴r＝2，∴圆锥的侧面积为×6×2π×2＝12π(平方米)，故A正确． 对于B，在△ASB中，cos∠ASB＝＝， sin∠ASB＝＝，∴过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大为S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝×6×6×＝8(平方米)，故B错误．对于C，设圆锥SO的外接球半径为R米，则R2＝(SO－R)2＋r2.又SO＝＝＝4，∴R2＝(4－R)2＋4，解得R＝，∴圆锥SO的外接球表面积为4πR2＝4π×＝π(平方米)，故C错误．对于D，设圆锥SO的内切球半径为t米，则＝，解得t＝.设棱长为米的正四面体的外接球半径为r1米，则此正四面体的底面外接圆半径为××＝1(米)，高为＝(米)，∴r＝1＋(－r1)2，∴r1＝.∵r1<t，∴棱长为米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，故D正确．故选AD. 11．解析：由题意知，三棱锥A-BCD的外接球O的半径为4，故OA＝OD＝4，且OM⊥AB，ON⊥CD，由勾股定理得OM＝＝3，ON＝＝2. 由题意知，AB，CD是其“伴随球”O1的两条切线，OM－ON≤MN≤OM＋ON，故MN的最大值和最小值分别为5和1. 当O，M，N三点共线且O在M，N之间时，MN取得最大值； 当O，M，N三点共线且O在线段MN之外，满足OM－ON＝1时取得最小值． 故球O1的半径的取值范围为[，]，所以AB，CD的“伴随球”的体积的取值范围是[，]． 答案：[，] 12．解析：如图，过点F作FP∥B1E交AB于P，连接B1P.由面面平行的性质可得四边形B1EFP为平行四边形，即为截面α.又正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，C1E＝C1D1＝2，点F是CD的中点，所以BP＝1，FP＝B1E＝＝2，EF＝B1P＝＝.过点E作EH∥B1C1交A1B1于点H，过点P作PQ∥BB1交A1B1于点Q，连接EQ，则EP＝＝＝.在△EFP中，cos∠EFP＝＝＝，则sin∠EFP＝ ，S四边形B1EFP＝EF·FP·sin∠EFP＝6. 答案：6 13．解析：作出该几何体的俯视图如图所示，可得四边形ABCD是边长为的正方形 .由题意，知当该球为几何体的外接球时，该球的表面积最小．设几何体上、下底面的外接圆圆心分别为O1，O2，外接圆半径分别为r1，r2，外接球半径为R，球心为O，连接O1O2.因为球心O到各个顶点的距离相等，所以球心O在O1O2上，又易得r1＝，r2＝1，所以R2＝()2＋OO＝12＋OO，所以OO－OO＝(OO2－OO1)(OO2＋OO1)＝1，又O1O2＝OO2＋OO1＝2　①，所以2(OO2－OO1)＝1，得OO2－OO1＝　②.由①②可得OO1＝，所以R2＝()2＋()2＝，所以该球表面积的最小值为4πR2＝. 答案： 14．解析：设该球的球心为O，半径为r，则AB＝BC＝2r，而S四边形ABCD＝AB×BC＝4r2＝8，解得r＝.如图，连接PO2，O1P，作OH⊥O2P于H，易知O1O2⊥AB，因为P为的中点，所以AP＝BP.又O2为AB的中点，所以O2P⊥AB.又O1O2∩O2P＝O2，所以AB⊥平面O1O2P.又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P，且AB∩PO2＝O2，所以OH⊥平面ABP.因为O1O2＝2r＝2，O1P＝，O1O2⊥O1P，所以O2P＝＝＝，所以sin∠O1O2P＝＝＝，所以OH＝OO2×sin∠O1O2P＝×＝.易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为r1＝＝＝，所以交线长为2πr1＝2π×＝π. 答案：π 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训67　立体几何(选择题&填空题压轴) 一、单项选择题 1．(2023·河南模拟)已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为3，D为侧棱CC1的中点，M为侧棱AA1上一点，满足A1M＝1，N为B1C1上一点，且MN∥平面ABD，则NB1的长为(　　) A．1 B．2 C． D． 2．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝120°，D为线段BC上的动点．若PC与底面ABC所成角为30°，则PD与底面ABC所成角的正切值的最大值为(　　) A． B． C． D． 3．(2024·江西临川一中质检)如图，在体积为6的三棱锥P- ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，PA＝1.若点M是侧面CBP内一动点，且满足AM⊥BC，则点M的轨迹长度的最大值为(　　) A．6 B．3 C．3 D．6 4．(2023·浙江杭州模拟)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“勒洛三角形”(如图3)，勒洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的．若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为(　　) 　　 　　　 　图1　　　 　图2　　　　图3 A．32π－16 B．36π－16 C．42π－16 D．48π－16 5．(2023·昆明市“三诊一模”)某机床厂工人将一个实心圆锥的旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3 cm，高为3 cm，则该正四棱柱体积(单位：cm3)的最大值为(　　) A．54(10－7) B．8 C． D．9 6.(2024·高三名校联考(二))如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面CBD，AB＝BC＝CD＝AD＝BD＝6，点M在AC上，AM＝2MC，过点M作三棱锥A-BCD外接球的截面，则截面圆面积的最小值为(　　) A．12π B．10π C．8π D．4π 7．(2023·河南名校联盟一模)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，将过点D1，E，F的平面记为α ，则下列说法中正确说法的个数是(　　) ①点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2； ②平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为； ③平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25； ④平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形． A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题 8.(2024·辽宁沈阳二中期中)如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，CC1，BB1上的动点(不含端点)，则(　　) A．异面直线DD1与AF所成角可以为 B．当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行 C．当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等 9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝4，M为CC1的中点，P为线段A1M上的动点，则下列说法正确的是(　　) A．AP＋BP的最小值为4 B．三棱锥P-ABM的体积的最大值为 C．不存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成角为60° D．三棱锥M-ABC的外接球的表面积为 10．(2024·湖北武汉二中月考)如图①，在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥SO(其中S为顶点，O为底面圆心)，母线SA长为6米，C是母线SA的靠近点S的三等分点，如图②.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为2米，则下面说法正确的有(　　) 　　 　　　　　 　图①　　　　　　　图② A．圆锥SO的侧面积为12π平方米 B．过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米 C．圆锥SO的外接球表面积为72π平方米 D．棱长为米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动 三、填空题 11．A，B，C，D为球面上的四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”．若三棱锥A-BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条棱AB，CD的长度分别为2和4，则AB，CD的“伴随球”的体积的取值范围是________． 12．(2024·江西联考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，C1E＝C1D1，点F是CD的中点，则过B1，E，F三点的平面α截该正方体所得截面的面积为________． 13.(2024·贵州省适应性测试)如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2(单位：m)的正方体截去四个相同的三棱锥(截面为等腰三角形)后得到．若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为________m2. 14．(2023·武汉市武昌实验中学模拟测试(一))已知在圆柱O1O2内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球的交线长为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$