微专题集训65 三角函数与解三角形(选择题&填空题压轴)-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

第二部分　高频难点提升练 微专题集训65　三角函数与解三角形(选择题&填空题压轴) 一、单项选择题 1．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．已知abcos(A－B)＝a2＋b2－c2，tan A＝2，a＝2，则b＝(　　) A． B． C．或 D． 2．(2023·河南信阳一模)已知函数f(x)＝2·cos(x－)cos x－2sin2x.若f(x)在区间[m，]上单调递减，则实数m的取值范围为(　　) A．[，] B．[，] C．[，) D．[，) 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，a＝2，则当△ABC的面积取得最大值时，b＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 4．(2024·甘肃部分名校上学期第二次考试)已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x.若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈[，]上有实根，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，1] B．[，] C．[，2] D．[，2] 5．已知函数f(x)＝2cos2x－sin 2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c ，角A满足f(A)＝－1，若a＝，则△ABC的周长的取值范围为(　　) A．(，3) B．(2，3] C．(，3] D．(2，3) 6．已知函数f(x)＝msin x＋ncos x(m，n为常数，m·n≠0，x∈R)在x＝处取得最大值2，将 f(x)的图象向左平移h(h>0)个单位长度后得到的图象与函数y＝ksin x(k>0)的图象重合，则k＋h的最小值为(　　) A．＋2 B．＋2 C．＋ D．＋2 7．已知函数f(x)＝4sin ωx·sin2(＋)＋cos 2ωx－1(ω>0)在区间[－，]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　) A．[，] B．[，) C．[，) D．[，3) 8．已知函数f(x)＝cos2＋sin ωx－(0<ω<1，x∈R)．若函数f(x)在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，]∪[，) C．(0，] D．(0，]∪[，] 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<0)的部分图象如图所示，且函数f(x)在区间[0，m]上有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的有(　　) A．函数|f(x)|的最小正周期为2 B．(－，0)为函数f(x)图象的一个对称中心 C．函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象 D．函数f(x)在区间[－，0]上单调递增 10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)，f(－)＝0，f(x)≤|f()|恒成立，且f(x)在区间(－，)上单调，则下列说法正确的是(　　) A．存在φ，使得f(x)是偶函数 B．f(0)＝f() C．ω是奇数 D．ω的最大值为3 11．(2024·湖北联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，且c－b＝2bcos A，则下列结论正确的有(　　) A．A＝2B B．B∈(，) C．的取值范围为(，2) D．2sin A＋－的取值范围为(，3) 12.(2024·沧州摸底)函数f(x)＝2cos(2ωx－)－2sin 2ωx(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数g(x)的图象上存在点P，使得在点P处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直 C．函数y＝g(x)·sin x的图象关于直线x＝对称 D．函数g(2x＋)在[－，]上单调递减 三、填空题 13．(2023·江苏南京模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝，a2－b2＝c2，则A＝________． 14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，c＝3，asin B＝.D，E分别为线段AB，AC上的动点，＝，则DE的最小值为________． 15．(2024·四川南充适应性考试)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin(A＋C)＝bsin，且△ABC内切圆的面积为4π，则△ABC周长的最小值是________． 16．(2024·四川成都七中月考)辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中a≠0，b∈R，tan φ＝.已知函数f(x)＝sin ωx＋mcos ωx(m>0，ω>0)的图象的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f(x)的极大值点，且f()＝，则实数ω的最小值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二部分　高频难点提升练 微专题集训65　三角函数与解三角形(选择题&填空题压轴) 1．A　2.C 3．B　∵＝，∴2ccos A－bcos A＝acos B，由正弦定理可得2sin Ccos A－sin Bcos A＝sin Acos B，可得2sin Ccos A＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin (A＋B)＝sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝.由余弦定理可得12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，又sin A＝＝，∴S△ABC＝bcsin A≤×12×＝3，因此，当b＝2时，△ABC的面积取得最大值3.故选B. 4．A　f(x)＝2sin2(＋x)－ cos 2x＝1－cos(＋2x)－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin(2x－)＋1.令t＝2x－，则由x∈[，]，得t∈[，]，sin t∈[，1]，所以f(x)的值域为[2，3]．当m＋2∈[2，3]，即m∈[0，1]时，方程f(x)－m＝2在x∈[，]上有实根．故选A. 5．B　由题意得f(x)＝2cos2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＋1＝2cos(2x＋)＋1.由f(A)＝2cos(2A＋)＋1＝－1得cos(2A＋)＝－1，又0<A<π，即<2A＋<，所以2A＋＝π，所以A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc，又bc≤()2，当且仅当b＝c时取等号，所以a2＝(b＋c)2－3bc≥，又a＝，所以≤6，得b＋c≤2.又a<b＋c，所以2<a＋b＋c≤3，故选B. 6．D　f(x)＝msin x＋ncos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，∵f(x)在x＝处取得最大值2，∴(m＋n)＝＝2，解得m＝n＝2，∴函数f(x)＝2sin x＋2cos x＝2sin(x＋)．将f(x)的图象向左平移h(h>0)个单位长度后得到函数y＝2sin(x＋h＋)的图象．由题知k＝2，且h＋＝2tπ，t∈Z，则h的最小值为，故k＋h的最小值为2＋，故选D. 7．A　∵f(x)＝4sin ωx·sin2(＋)＋cos 2ωx－1＝2sin ωx·[1－cos(ωx＋)]－2sin2ωx＝2sin ωx(1＋sin ωx)－2sin2ωx＝2sin ωx，∴[－，]是函数f(x)的单调递增区间．又函数f(x)在[－，]上单调递增，∴[－，]⊇[－，]，∴又ω>0，∴0<ω≤，∵函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，∴≤ωπ<，得≤ω<，∴ω∈[，]．故选A. 8．D　f(x)＝＋sin ωx－＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)，∵π<x<2π，0<ω<1，∴ωπ<ωx<2ωπ，ωπ＋<ωx＋<2ωπ＋. 函数f(x)在区间(π，2π)上没有零点，分两种情况讨论： ①(ωπ＋，2ωπ＋)⊆(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，则k∈Z，则k∈Z，取k＝0， ∵0<ω<1，∴0<ω≤； ②(ωπ＋，2ωπ＋)⊆(2kπ＋π，2kπ＋2π)，k∈Z，则k∈Z，则k∈Z，取k＝0，得≤ω≤.综上，ω的取值范围是(0，]∪[，]，故选D. 9．BCD　对于A选项，由题图可得函数f(x)的最小正周期T＝4×(－)＝2，则|f(x)|的最小正周期为1，故A错误．对于B选项，由题图易得函数f(x)图象的对称中心为(＋k，0)，k∈Z，从而当k＝－3时，对称中心为(－，0)，故B正确．对于C选项，由A＝1，ω＝＝π，f()＝cos(＋φ)＝－1，得＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又－<φ<0，所以φ＝－，从而f(x)＝cos(πx－)，将其图象向左平移个单位长度后得到函数y＝cos[π(x＋)－]＝sin(πx－)的图象，故C正确．对于D选项，由f(x)的极大值点为x＝＋2k，k∈Z，f(x)在区间[0，m]上有且仅有3个极大值点，可得≤m＜，故－＜－≤－，又f(x)在[－，0]上单调递增，所以函数f(x)在区间[－，0]上单调递增，故D正确．故选BCD. 10．BCD　由题知直线x＝为函数f(x)图象的对称轴， 所以f(0)＝f()，故选项B正确． 由题知整理得 解得ω＝1＋2k(k∈Z)，故选项C正确． 因为f(x)在(－，)上单调，所以·≥－(－)，得ω≤8.当 ω＝1时，f(x)＝sin(x＋φ)，因为f(－)＝0，所以φ＝，即f(x)＝sin(x＋)，此时f(x)在(－，)上单调递增，但f(x)不是偶函数；当ω＝3时，f(x)＝sin(3x＋φ)，因为f(－)＝0，所以φ＝，即f(x)＝sin(3x＋)，此时f(x)在(－，)上单调递增，但f(x)不是偶函数；当ω＝5时，f(x)＝sin(5x＋φ)，因为f(－)＝0，所以φ＝－，即f(x)＝sin(5x－)，此时f(x)在(－，)上不单调，故ω＝5不合题意；当ω＝7时，f(x)＝sin(7x＋φ)，因为f(－)＝0，所以φ＝－，即f(x)＝sin(7x－)，此时f(x)在(－，)上不单调，故ω＝7不合题意．综上，选项A错误，选项D正确．故选BCD. 11．ABD　由题意得在锐角△ABC中，c－b＝2bcos A，∴由正弦定理可得sin C－sin B＝2sin Bcos A，又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，故sin Acos B＋cos Asin B－sin B＝2sin Bcos A，即sin Acos B－sin Bcos A＝sin B，∴sin(A－B)＝sin B．∵A，B，C为锐角，∴A－B∈(－，)，∴A－B＝B，即A＝2B，故A正确；在锐角△ABC中，0<A＝2B<，0<π－3B<，∴<B<，故B正确；＝＝＝2cos B∈(，)，故C错误；2sin A＋－＝2sin A＋＝＋2sin A＝＋2sin A，又<A＝2B<，∴<sin A<1，令t＝sin A，则<t<1，令f(t)＝＋2t(<t<1)，则f(t)＝＋2t在<t<1时单调递增，所以＋2×＝<f(t)<＋2×1＝3，故2sin A＋－＝＋2sin A∈(，3)，故D正确． 12．ABD　f(x)＝2cos(2ωx－)－2sin 2ωx＝ cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin(2ωx＋)．结合图象可得f()＝2，即2sin(2ω×＋)＝2，所以＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，因此f(x)＝2sin(x＋)．由题意知g(x)＝2sin(x＋＋)＝2cos x，根据周期公式可得函数f(x)的最小正周期T＝＝2π，所以选项A正确；假设存在点P满足题意，设切点为P(x0，y0)，因为g′(x)＝－2sin x，所以在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝g′(x0)＝－2sin x0，又与直线x－2y＋1＝0垂直，所以－2sin x0＝－2，得x0＝＋2kπ(k∈Z)，假设成立，所以选项B正确；y＝g(x)·sin x＝2cos xsin x＝sin 2x，其图象的对称轴为直线2x＝＋kπ(k∈Z)，即对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)，所以选项C不正确；g(2x＋)＝2cos(2x＋)，根据余弦函数的单调递减区间，可得2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以选项D正确．故选ABD. 13．解析：由正弦定理及a2－b2＝c2可得sin2A－sin2B＝sin2C， 又C＝，所以sin C＝，B＝π－A－C＝－A， sin B＝sin(－A)＝sincos A－cossin A＝cos A＋sin A，所以sin2B＝(cos A＋sin A)2＝(cos2A＋2sin Acos A＋sin2A)， 所以sin2A－(cos2A＋2sin Acos A＋sin2A)＝×()2， 即－cos 2A－sin 2A＝，所以sin(2A＋)＝－1， 因为0<A<，所以<2A＋<，故2A＋＝，故A＝. 答案： 14．解析：因为c＝3，asin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝，又S△ABC＝bcsin A＝，A＝，所以b×3×sin＝，得b＝2.令＝＝x，0≤x≤1，则AD＝3x，CE＝2x，AE＝2－2x，在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AEcos＝19x2－14x＋4，0≤x≤1，易知当x＝－＝∈[0，1]时，DE2取得最小值，所以DE的最小值为. 答案： 15．解析：∵asin(A＋C)＝bsin， ∴bsin(－)＝asin(π－B)，即bcos＝asin B， 由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B，又sin B>0， ∴cos＝sin A，∴cos ＝2sincos . ∵A∈(0，π)，∴∈(0，)，cos>0， ∴sin＝，∴＝，∴A＝. 设△ABC内切圆的半径为r， ∵△ABC内切圆的面积为4π，∴πr2＝4π，解得r＝2， ∴S△ABC＝bcsin＝×2(a＋b＋c)， 即a＋b＋c＝bc. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos≥2bc－bc＝bc， 当且仅当b＝c时取等号，∴a≥，∴bc＝a＋b＋c≥＋2，解得bc≥48，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号，∴△ABC周长的最小值为×48＝12. 答案：12 16．解析：因为函数f(x)两相邻零点之间的距离小于π，所以<π，即<π，解得ω>1.又f(x)＝sin ωx＋mcos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，因为x＝为函数f(x)的极大值点，所以ω＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3－＋12k，k∈Z.因为f()＝，所以sin(ω＋φ)＝sin(π－φ＋4kπ)＝sin φ＝，k∈Z，即·＝，所以m＝.所以cos φ＝，sin φ＝，则φ＝＋2nπ，n∈Z，所以ω＝3－＋12k＝3－＋12k＝1＋12(k－n)，k∈Z，n∈Z，又ω>1，所以ωmin＝13. 答案：13 学科网（北京）股份有限公司 $$