微专题集训27 平面向量的数量积-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训27　平面向量的数量积 一、单项选择题 1．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)⊥c，则λ＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 2．(2024·长春市质监(一))已知向量a与b的夹角为60 °，|a|＝2，|b|＝1，则|a－2b|＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 3．(2023·山西省模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则在方向上的投影向量的模等于(　　) A． B． C． D．3 4．(2023·河北省石家庄市一检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，若∃t∈R，|a＋tb|<|a＋b|，则向量a与b的夹角不等于(　　) A．30 ° B．60° C．120° D．150° 5．(2024·苏北四市统考)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝4，则|a＋b＋c|＝(　　) A．3 B．或 C．3或6 D．或6 6．(2024·长沙市适应性考试)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则·1的值为(　　) A．10.5 B．12.5 C．22.5 D．42.5 7．已知平面向量a，b，c满足|c|＝1，a·c＝1，b·c＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为(　　) A．－1 B．－2 C．－ D．－ 8.(2023·孝感模拟)如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则·的取值范围为(　　) A．[2，3 ] B．[4，3 ] C．[2，4] D．[2，5] 二、多项选择题 9.(2023·辽宁模拟)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP＝，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是(　　) A．·为定值 B．·的取值范围是[－2，0] C．当AC⊥BD时，·为定值 D．当AC⊥BD时，||·||的最大值为12 10.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝，AB＝AD＝1，若点E为线段CD上的动点(包含端点)，则·的取值可能为(　　) A．4 B． C．3 D． 三、填空题 11．(2024·四川省名校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a，b的夹角为150°，则2a＋b与a的夹角为________． 12.如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，定点A，B是该图形的两个顶点，动点P在这些正六边形的边上运动，则·的最大值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训27　平面向量的数量积 1.A　2.C 3.C　因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，所以点O为BC的中点，如图，所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°. 因为||＝||＝||，所以△OAC是等边三角形， 所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°. 在Rt△ABC中，||＝||sin 60°＝，所以在方向上的投影向量的模为||cos∠ABC＝||cos 30°＝×＝.故选C. 4.C　因为∃t∈R，使得|a＋tb|<|a＋b|，所以∃t∈R，|a＋tb|2<|a＋b|2，即∃t∈R，a2＋2ta·b＋t2b2<a2＋2a·b＋b2，因为|a|＝2，|b|＝1，所以∃t∈R，2(t－1)a·b<1－t2.设a，b的夹角为θ(0°≤θ≤180 °)，则∃t∈R，4(t－1)cos θ<1－t2，即∃t∈R，t2＋(4cos θ)t－(4cos θ＋1)<0，则Δ＝(4cos θ)2＋4(4cos θ＋1)>0，得(2cos θ＋1)2>0，即cos θ≠－，θ≠120°.故选C. 5.C　因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以其中任意两个向量的夹角为0°或120°.因为|a|＝|b|＝1，|c|＝4，所以当其中任意两个向量的夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋4＝6；当其中任意两个向量的夹角为120°时，|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝1＋1＋16－1－4－4＝9，则|a＋b＋c|＝3.综上，|a＋b＋c|＝6或|a＋b＋c|＝3，故选C. 6.A　由题得，·＝0，·＝4×5×＝10， ·＝3×5×＝， 则·＝(＋)·(＋－) ＝·＋·－2＋2＋·－·＝10－16＋9＋＝10.5. 7.D　由|c|＝1，不妨设c＝(1，0)，又a·c＝1，b·c＝－2，故可设a＝(1，m)，b＝(－2，n)，则a＋b＝(－1，m＋n)，又|a＋b|＝2，所以(－1)2＋(m＋n)2＝4，所以(m＋n)2＝3，所以a·b＝－2＋mn≤－2＋()2＝－2＋＝－，当且仅当m＝n＝或－时取“＝”.所以a·b的最大值为－.故选D. 8.D　设，的夹角为θ，则·＝||·||cos θ，如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题可知，当点P在点C处时，·最小，此时·＝||·||·cos＝2×2×＝2.过圆心O作OP0∥AB，交圆弧于点P0，连接AP0，当点P在点P0处时，·最大，过O作OG⊥AB，垂足为G，过P0作P0F⊥AB，交AB的延长线于F，则(·)max＝||·||＝||·(||＋||)＝2×(＋1)＝5.所以·的取值范围为[2，5].故选D. 9.AC　如图，分别延长OP，PO，交圆O于E，F两点，则·＝－||||＝－||||＝－(||－||)(||＋||)＝||2－||2＝－2，故A正确.取AC的中点为M，连接OM，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－(4－2)＝2 2－4，而0≤2≤||2＝2，故·的取值范围是[－4，0]，故B错误.当AC⊥BD时，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－||||－||||＝－2||||＝－4，故C正确.因为||≤4，||≤4，故||·||≤16，故D错误.故选AC. 10.BCD　如图，连接AC，BD，由题易知，AC垂直平分BD，分别以BD，AC所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，坐标原点设为O.则A(0，－)，B(，0)，C(0，)，D(－，0)，∴直线CD的方程为y－＝x，即y＝x＋，设点E的坐标为(m，m＋)(－≤m≤0)，则· ＝(－m，－m－2)·(－m＋，－m－)＝m(m－)＋(m＋2)(m＋)＝4m2＋3m＋3，m∈[－，0]，其对应的抛物线开口向上，对称轴为直线m＝－，∴当m＝－时，·取得最小值，为，当m＝0时，·＝3，当m＝－时，·＝，∴当m＝0时，·取得最大值3.∴·的取值范围为[，3]，结合选项可知，选BCD. 11.解析：由题意得a·b＝|a||b|cos 150 °＝1××(－)＝－，所以|2a＋b|＝＝＝＝1，所以cos〈2a＋b，a〉＝＝＝，所以〈2a＋b，a〉＝60°. 答案：60° 12.解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则由正六边形的边长为1可得A(－，0)，B(，3)，＝(2，3)，||＝ ，由·＝||||cos∠PAB＝·||cos∠PAB，可知当向量在方向上的投影向量的模||cos∠PAB取得最大值时，·取得最大值，易知当点P在图中点C处时，向量在方向上的投影向量的模||cos∠PAB取得最大值.易得C(，)，连接AC，则＝(2，3)，＝(，)，所以(·)max＝·＝2×＋3×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$