微专题集训25 三角函数的图象与性质-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训25　三角函数的图象与性质 一、单项选择题 1．(2023·北京市模拟)函数f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝(　　) A． B．2 C．1 D． 2．已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)(0<φ<)，其函数图象的一个对称中心是点(，0)，则该函数的一个单调递减区间是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) 3．(2024·江西南昌联考)为了得到函数y＝2cos(2x－)的图象，只需将函数y＝2sin x(　　) A．图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D．图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 4．(2023·辽宁模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，其图象的一个对称中心的坐标为(，0)，则曲线g(x)＝tan (ωx＋φ)的对称中心的坐标为(　　) A．(－，0)k∈Z B．(－，0)k∈Z C．(＋，0)k∈Z D．(＋，0)k∈Z 5.(2024·武汉市调研)已知函数f(x) ＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，－<φ<0.在已知的条件下，下列选项中可以确定其值的量为(　　) A．ω B．φ C． D．Asin φ 6.(2024·陕西师范大学附属中学、渭北中学联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x在区间[π－m，m]上单调递减，则m的最大值为(　　) A． B． C． D． 8．若函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)在区间[，]内单调递减，则ω的最大值为(　　) A． B． C． D．6 二、多项选择题 9．(2023·江苏省常州市模拟)设函数f(x)＝2 sin xcos x－2cos2x，若函数y＝f(x＋φ)为偶函数，则φ的值可以是(　　) A． B． C． D． 10．(2023·宁波市一模)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，则(　　) A．f(0)＝ B．f(x)的图象关于点(，0)中心对称 C．f(x)在区间(0，)上单调递增 D．f(x)在区间(0，π)上有2个极值点 11.(2024·福建省福州市联考)如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3 s转一圈．则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为f(t)．下列说法正确的是(　　) A．f(t)＝|2sin (t－)| B．f(t)＝2sin (t－) C．f(t)的最小正周期为 D．f(t)的最小正周期为3 12.(2024·重庆市调研质量抽测(一))已知f(x)＝2cos(2ωx＋φ)(其中ω>0，－<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝4 B．φ＝－ C．函数f(x)在区间(，)上单调递减 D．若f(α－)＝，且α∈(，)，则sin α－cos α＝ 三、填空题 13．(2023·福建模拟)对任意的实数x∈R都有f(sin x)＝－cos 2x＋cos2x＋2sin x－3，则f(x)的值域为________． 14．若函数y＝cos ωx(ω>0)的图象在区间(－，)上只有一个对称中心，则ω的取值范围为________． 15．若函数f(x)＝ cos ωx－sin ωx＋1(ω>0)在(0，)内存在最小值但无最大值，则ω的取值范围是________． 16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝cos 2x向右平移个单位长度后得到函数g(x)．若对于任意的x1∈[－，]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，则|m－n|的最小值为________． 四、解答题 17．(2023·北京市海淀区模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在区间[－，m]上的最大值为，求实数m的最小值． 18．(2023·人大附中模拟)已知函数f(x)＝asin ωxcos ωx(a>0，ω>0)．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f(x)存在且唯一确定． (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x) ＝f(x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间． ①f()＝1，②f(x)为偶函数，③f(x)的最大值为1，④f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训25　三角函数的图象与性质 1.C　2.D 3.A　将函数y＝2sin x转化为y＝2cos(x－)，将y＝2cos(x－)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝2cos(2x－)的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝2cos[2(x－)－]＝2cos(2x－)的图象，故A正确，B错误.将函数y＝2sin x＝2cos(x－)的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数y＝2cos(x－－)＝2cos(x－)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝2cos(2x－)的图象，故选A. 4.B　函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，则有π＝，所以ω＝3，则f(x)＝sin(3x＋φ)，因为函数图象的一个对称中心的坐标为(，0)，所以f()＝sin(＋φ)＝0，由0<φ<π，得φ＝，则g(x)＝tan(3x＋)，由3x＋＝(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，所以曲线g(x)＝tan(ωx＋φ)的对称中心的坐标为(－，0)，k∈Z.故选B. 5.B　设＝t，则x2＝tx1(t>1).由题图可知f(x1)＝f(x2)＝0，即sin(ωx1＋φ)＝sin(tωx1＋φ)＝0.又由五点作图法可知x1，x2分别为第一点与第三点，所以ωx1＋φ＝0，tωx1＋φ＝π，所以x1＝－，x1＝，则－＝，解得φ＝，所以在已知的条件下，即t的值已知的情况下，φ的值可求，故选B. 6.B　根据题图可得A＝2，＝－＝，所以最小正周期T＝π，因为T＝，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，g(x)＝2sin 2x.将(，2)代入f(x)的解析式可得2＝2sin(＋φ)，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin(2x－)，即f(x)＝2sin 2(x－)，所以将函数f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象.故选B. 7.B　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 因为π－m<m，所以m>，则π－m<， 故解得<m≤， 所以m的最大值为. 8.B　因为x∈[，]，所以－≤ωx－≤－. 因为函数f(x)在区间[，]内单调递减， 所以[－，－]⊆[2kπ，2kπ＋π](k∈Z). 所以(k∈Z)， 解得6k＋≤ω≤3k＋(k∈Z)， 由6k＋≤3k＋(k∈Z)，可得k≤， 因为k∈Z且ω>0，则k＝0，≤ω≤. 因此，正数ω的最大值为. 9.BCD　因为f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin(2x－)－1，所以y＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ－)－1，又函数y＝f(x＋φ)为偶函数，所以2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当k＝0，1，3时，φ的值可以是，，.故选BCD. 10.ABD　∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，可得φ＝，故函数f(x)＝sin(2x＋)，故有f(0)＝sin＝，故A正确； 令x＝，可得f(x)＝0，可得f(x)的图象关于点(，0)中心对称，故B正确； 当x∈(0，)时，2x＋∈(，)，故函数f(x)不单调，故C错误； 当x∈(0，π)时，2x＋∈(，2π＋)，有x＝和x＝两个极值点，故函数f(x)有2个极值点，故D正确，故选ABD. 11.AC　由题可知，质点的角速度为 rad/s，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过时间t s之后所成角为φ，则φ＝－，根据任意角的三角函数定义有yP＝2sin(－)，所以该质点到x轴的距离为f(t)＝|2sin(t－)|，故A正确，B错误；因为f(t)＝|2sin(t－)|，所以f(t)的最小正周期为＝，故C正确，D错误.故选AC. 12.BCD　由题图可知＝－(－)＝(T为f(x)的最小正周期)，则T＝，又ω>0，所以＝，则ω＝2，所以选项A错误； f(x)＝2cos(4x＋φ)，因为点(，0)在函数f(x)的单调递减的图象上，所以4×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为－<φ<0，所以φ＝－，所以选项B正确； f(x)＝2cos(4x－)，若x∈(，)，则4x－∈(，)，所以函数f(x)＝2cos(4x－)在区间(，)上单调递减，所以选项C正确； 若f(α－)＝，则2cos(2α－)＝，即sin 2α＝，所以(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝1－＝，因为α∈(，)，所以sin α>cos α，即sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝，所以选项D正确.综上，选BCD. 13.解析：易知f(sin x)＝2sin2x－1＋1－sin2x＋2sin x－3＝sin2x＋2sin x－3， 所以f(x)＝x2＋2x－3(－1≤x≤1)， 曲线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增， 所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，即－4≤f(x)≤0，所以f(x)的值域为[－4，0]. 答案：[－4，0] 14.解析：y＝cos ωx(ω>0)在(－，)上只有一个对称中心，∴ cos ωx＝0在该区间只有一个零点，又ω>0， ∴∴1<ω≤2. 答案：(1，2] 15.解析： 由题意可知， 函数f(x)＝2cos(ωx＋)＋1， 当x∈(0，)时， ωx＋∈(，＋). 因为f(x)在(0，)内存在最小值但无最大值， 结合图象可得π<＋≤2π，解得<ω≤. 答案：(，] 16.解析：函数f(x)＝cos 2x向右平移个单位长度后得到函数 g(x)＝cos(2x－)， 因为x1∈[－，]，所以2x1∈[－，]， 所以f(x1)＝cos 2x1∈[－，1]， 因为对于任意的x1∈[－，]， 总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，所以g(x2)的取值范围应包含[－，1]，根据余弦函数的性质，为使|m－n|取最小值，只需函数g(x)在x∈[m，n]上单调且值域为[－，1]即可. 由2kπ－≤2x－≤2kπ(k∈Z)可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，因此|m－n|的最小值为|－－|＝. 答案： 17.解：(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝sin(2x－)＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)＋. 由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－. 要使得f(x)在[－，m]上的最大值为， 即sin(2x－)在[－，m]上的最大值为1， 则2m－≥，即m≥，所以实数m的最小值为. 18.解：(1)f(x)＝asin ωxcos ωx＝sin 2ωx(a>0，ω>0)，易知f(x)为奇函数，故条件②不成立，舍去. 若选①③，则f()＝sin＝1，且＝1，故a＝2，＝＋2kπ，k∈Z，得ω＝1＋4k，k∈Z，故f(x)不唯一，不合题意. 若选①④，f()＝sin＝1且＝，故T＝π＝，得ω＝1，所以a＝2，故f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，符合题意. 若选③④，则＝1且＝，故a＝2，T＝π＝，得ω＝1，故f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，符合题意. (2)由(1)可知，g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 当k＝0时，－≤x≤，当k＝1时，≤x≤. 故函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间为(0，]，[，π). 学科网（北京）股份有限公司 $$