微专题集训22 隐零点问题-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训22　隐零点问题 1．(2024·广州市一测)已知a＞0，函数f(x)＝(1－ax)(ex－1)． (1)若a＝1，证明：当x＞0时，f(x)＜ln(x＋1)； (2)若函数h(x)＝ln(x＋1)－f(x)存在极小值点x0，证明：f(x0)≥0. 2．(2023·潍坊市高三统考)已知函数f(x)＝ex－ax2－cos x－ln(x＋1)． (1)若a＝1，求证：函数f(x)的图象与x轴相切于原点； (2)若函数f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一个极值点，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训22隐零点问题 1.证明：(1)若a=1,则fx)=(1-x(ex-1) 设g(x)=ln(x+1)-x)=ln(x+1)-(1一x)(c-1),x>0, 则g(x)=Ix+1+(e-1)-e(1-x)=x[(x+I)ex-1]x+1. 当x>0时，x+1>1,c>1,则g(x)>0, 所以g()在(0，十∞)上单调递增， 所以gx)>ln(0+1)-(1-0)e0-1)=0. 所以当x>0时，ln(x+1)-x)>0,即x)<n(x十1) (2)函数hx)=ln(x+1)一fx)=ln(x+1)+(e-1)(am-1)的定义域为(-1，+ 0∞)， h'(x)=1x+1+ex(ax-1)+a(ex-1) =1x+1+ae(x+1)-(ex+a) =aex (x+1)2-(ex+a)(x+1)+1x+1 =fex(x+1)-l][a(x+1)-l]x+1 当-1<x<0时，0<e<1,0<x十1<1，则e+1)-1<0: 当x>0时，e>1,x+1>1,则e(x+1)-1>0 ①当a>1时，-1<1-aa<0, 则当-1<x<1-aa时，a(x+1)-1<0,h(x)>0, 函数h(r)在（一1,1一aa)上单调递增； 当1-aa<x<0时，a(c+1)-1>0,H(x)<0, 函数x)在(1一aa,0)上单调递减： 当x>0时，a(x+1)-1>0,H(x)>0, 函数x)在(0，+∞)上单调递增， 则函数(x)的极小值点为o=0 所以xo)=0)=0 ②当a=1时，h(x)=xfex(x+1)-1]x+1, 则当一1<x<0时，(x)>0当x≥0时，(x)≥0 所以函数(x)在（一1，十∞）上单调递增，没有极值，不符合题意. ③当0<a<1时，1-aa>0, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则当一1<x<0时，ax十1)一1<0，h(x)>0,函数hx)在(-1,0)上单调递 增： 当0<x<1一aa时，a(x+1)-1<0,h(x)<0,函数h(x)在(0,1-aa)上单调 递减： 当x>1-aa时，a(x+1)-1>0,h'(x)>0,函数h(x)在(1一aa,十∞)上单调 递增。 则函数h(x)的极小值点为xo=1一aa, 所以o)=1-a1-aaXe”-1)=ae0-1) 令1-aa=t,得a=11+(t>0),则xo)=et-11十t 设(0=et-11+t>0), 则p'(0=et(1+t)-(et-1)(1+t)2=tet+1(1+t)2, 当t>0时，p'(0>0 则(0在(0，十∞)上单调递增，得p(t)>e0一11+0=0. 所以x)>0 综上所述，xo)≥0. 2.解：(1)证明：因为a=1, 所以x)=ex-x2-cosx-ln(x+1),f0)=0, f(x)=e-2x+sinx-1x十1，所以f(0)=0, 所以在(0,0)》处的切线方程为y=0, 所以函数x)的图象与x轴相切于坐标原点， (2)f(x)=ex-2ax+sin x-Ix+1, 令g(x)=f(x), 则g(x)=ex-2a十cosx+1(x十1)2，令h(x)=g(x), (x)=ex-sin x-2 (x+1)3, 当x∈(-1,0)时，h(x)=ex-sinx-2(x+1)3<1-sinx-2=-sinx-1 <0, 故x)在（一1,0）上单调递减， 因为h0)=3-2a,所以当3-2a≥0，即a≤32时，h(x)≥0， 此时gx)单调递增，故g(x)<g(0)=0在x∈（一1,0）时恒成立， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以x)在（一1,0）上单调递减，故函数)在x∈（一1,0）时无极值点. 当a>32,x∈（一1,0）时，因为g(x)在(-1,0)上单调递减， g(0)=3-2a<0, g(-1+12a)=e-1+12al-2a+cos(-1+12a)+2a=e-1+12a)+ cos(-1+12a)>0, 故必存在x∈（一1,0），使得g(x0)=0, 当x∈（一1，xo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈(xo,0)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 而f(0)=0,故f(xo)>0, 又f(-1+1e2a)=ee2a-1++2a-2ae2a+sin(-1+1e2a)-e2a =2a-e2a+ele2a-1+-2ae2a+sin(-1+le2a) <-1+ee2a-1+-2ae2a+sin(-1+le2a)<0, 所以必存在m∈（一1，xo),使得f(m)=0, 且当x∈（一1，m)时，fx)0,x)单调递减， 当x∈(m,0)时，f(x)>0,x)单调递增， 故x)在区间（一1,0）上恰有一个极小值点m. 令(x)=h(x),则t(x)=e一cosx十6(x十1)4>0在(0，十∞)上恒成立， 所以(x)在(0，十∞)上单调递增， 又h(0)<0,(1)>0, 所以总存在∈(0,1)，使得h(x)=0, 且当x∈(0，x)时，H(x)<0,hx)单调递减， 当x∈(s1,1)时，H(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(0，+∞)时，h0)=3-2a<0,且h(2a=e2a-2a十cos2a+1(2a+1) 2>1+cos2a+1(2a+1)2>0, 故必存在x2∈(0，十∞)，使得g(2)=0, 当x∈(0，x2)时，g(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(x2,+∞)时，g(x)>0,f(x)单调递增， 因为f0)=0,所以当x∈(0,2)时，fx)<0, 所以f2)<0, ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 f(4a)=e4a-8a2+sin 4a-14a+1 >(a+1)y-8a2+sin4a-14a+1 =ca-2a2+4a3+4a+1+sin4a-14a+1>0, 故存在n∈(2，十∞)，使得f(m=0, 且当x∈(0，n)时，f(x)<0,x)单调递减， 当x∈(n,十)时，f(x)>0,x)单调递增， 故x)在区间(0，十∞)上恰有一个极小值点n. 所以若函数x)在区间（一1,0），(0，十∞)上各恰有一个极值点，则a >32,即实数a的取值范围为(32，+∞). ·独家授权侵权必究◆