微专题集训20 利用导数研究不等式恒成立问题-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训20　利用导数研究不等式恒成立问题 1．(2023·鞍山模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 2．已知函数f(x)＝(x＋1)[ln(x＋1)＋m]＋n，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1. (1)求m，n的值和f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，f(x)＞kx恒成立，求整数k的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.Com● 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训20利用导数研究不等式恒成立问题 l解：(1)fw)=e-1-a十1x,x)在x=1处的切线与直线y=3x平行，f '(1)=1一a+1=3,解得a=一1. 经检验a=一1满足题意 (2)令g(x)=fx)-(nx-a+1)=e*-1-ar+a-1, 则g(x)≥0对任意x∈las41 alcol(1,十o恒成立， g'(x)=ex-1-a, ①当a≤1时，er-1≥e0=l,则g(x)≥0在lals4 alcol(1,+o)上恒成立， 即gx)在las4 al col(I,+oo)上单调递增， ·g(x)≥g(1)=0,满足题意： ②当a>1时，令g(x)=0,解得x=1十lna>1, ∴.当x∈(1,1+lna)时，g'()<0,此时g()单调递减， ∴gx)<g(1)=0,不符合题意， 综上所述，实数a的取值范围为（一∞，1] 2.解：(1f)=ln(x+1)+m+1, 由切线方程，知0)=m十n=1,f0)=m十1=2， 解得m=1,n=0. 故x)=(x+1)n(x+1)+x+1(x>一1)， fx)=ln(x+1)+2, 由fx)>0,得x>1e2-1,由f(x)<0,得-1<x<Ie2-1 所以x)的单调递增区间为(1e2-1,+∞)，单调递减区间为(-1,1e2一1). (2①当x=0时，0)=1>k×0=0恒成立，则k∈R ②当x>0时，x)>x恒成立，即k<(1十1x)n(x十1)+1x十1对任意x∈(0， 十∞)恒成立， 令h(x)=(1+1x)ln(x+1)+lx+1,x∈(0，+∞)， 则H(x)=x一ln(x十1)-1x2 令u(x)=x一ln(x+1)一1，x∈(0，+∞)，则t(x)=1一1x十1=xx+1>0对任 意x∈(0，十∞)恒成立，所以(x)在(0，十∞)上单调递增， 又u(2)=1-ln3<0,3)=2-ln4>0, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以3xo∈(2,3)，(x0)=0. 当x∈(0，o)时，(x)<0,(x)单调递减：当x∈(xo,十∞)时，H(x)>0,h (x)单调递增， 所以h(x)im=(xo)=(1+1x0)n(o+1)+lx0+1,又u(xo)=xo-ln(xo+1)-1= 0,所以h(x)mim=h(o)=(1+1x0)n(xo+1)+lx0+1=(1+1x0)xo一1)+1x0+1=xo +1∈(3,4)，故k<xo+1. 综上，整数k的最大值为3. ·独家授权侵权必究◆