微专题集训19 利用导数研究函数的零点问题-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训19　利用导数研究函数的零点问题 1．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝asin x－ln x(a∈R)，其导函数为f′(x)． (1)若不等式f′(x)≥1－在区间(0，]上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a＝2时，证明：f′(x)在区间(0，)上有且只有两个零点． 2．已知函数f(x)＝ (1)若a＝2，求f(x)的最小值； (2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训19　利用导数研究函数的零点问题 1.解：(1)f′(x)＝acos x－， 由题意得，f′(x)≥1－在上恒成立， 即a≥在上恒成立， 由于函数y＝cos x在上单调递减， 所以≤cos x＜1，()max＝2，所以a≥2. (2)证明：当a＝2时， f′(x)＝2cos x－＝. 设h(x)＝2xcos x－1，则h′(x)＝2(cos x－xsin x)， 令φ(x)＝cos x－xsin x， 则φ′(x)＝－2sin x－xcos x＜0(0＜x＜)， 所以φ(x)在(0，)上单调递减， 又φ(0)＝1＞0，φ()＝－＜0， 故存在x0∈(0，)，使得φ(x0)＝0， 当x∈(0，x0)时，φ(x)＞0， 即h′(x)＞0，h(x)在(0，x0)上单调递增； 当x∈(x0，)时，φ(x)＜0， 即h′(x)＜0，h(x)在(x0，)上单调递减； 又h(0)＝－1＜0，h()＝－1＞0，h()＝－1＜0， 所以h(x)在(0，)和(，)上各有一个零点， 从而f′(x)在(0，)上有且仅有两个零点. 2.解：(1)当a＝2时，f(x)＝ 当x≤0时，f′(x)＝2(x＋2)ex， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增， 此时f(x)的最小值为f(－2)＝－； 当x＞0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时f(x)的最小值为f(1)＝－. 因为－＞－，所以f(x)的最小值为－. (2)显然a≠0. 因为当x≤0时，f(x)有且只有一个零点－1， 所以原命题等价于f(x)在(0，＋∞)上有两个零点. 所以解得a＞， 故实数a的取值范围是(，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$