微专题集训18 构造函数比较大小、不等式的解法-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训18　构造函数比较大小、不等式的解法 一、单项选择题 1．(2024·大连市双基测试)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 2．(2024·佛山市质检)设函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)f′(x)＞x恒成立，则(　　) A．f(1)＜f(－1) B．f(1)＞f(－1) C．|f(1)|＜|f(－1)| D．|f(1)|＞|f(－1)| 3．已知f(x)(x∈R)有导函数，且∀x∈R，f′(x)＞f(x)，n∈N*，则有(　　) A．enf(－n)＜f(0)，f(n)＞enf(0) B．enf(－n)＜f(0)，f(n)＜enf(0) C．enf(－n)＞f(0)，f(n)＞enf(0) D．enf(－n)＞f(0)，f(n)＜enf(0) 4．若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 5．(2024·柳州统考)已知a，b，c∈(0，1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 6．(2024·如皋调研(三))已知a＝tan ，b＝，c＝2ln 2－ln 3，则(　　) A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 7．(2023·四川绵阳模拟)设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)＞2，f(0)＝2024，则不等式f(x)＞2＋(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　) A．(2020，＋∞) B．(0，＋∞) C．(2022，＋∞) D．(－∞，0)∪(2020，＋∞) 8．(2024·重庆二调)已知偶函数f(x)的定义域为(－，)，其导函数为f′(x)，当0＜x＜时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0成立，则关于x的不等式f(x)＞2f()·cos x的解集为(　　) A．(－，) B．(，) C．(－，－)∪(，) D．(－，0)∪(，) 二、多项选择题 9．(2023·佛山模拟)已知0＜a＜b＜π，且ebsin a＝easin b，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．sin a＜sin b B．sin a＞sin b C．cos a＋cos b＞0 D．cos a＋cos b＜0 10．设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若f(x)＋f′(x)＜0，则下列正确的是(　　) A．＞f(3) B．＜f(3) C．3f(ln 3)＞4f(ln 4) D．3f(ln 3)＜4f(ln 4) 11．(2024·广州市调研)已知a＞0，b＞0，abea＋ln b－1＝0，则(　　) A．ln b＞ B．ea＞ C．a＋ln b＜1 D．ab＜1 12．若m＞n＞1，0＜t＜1，则下列不等式成立的是(　　) A．logm t＜logn t B．men＜nem C．mnt＞nmt D．mlogn t＜nlogm t 三、填空题 13．(2024·广州市一测)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)－1＜0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)＜x＋1的解集为________． 14．(2024·河北名校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝exf(－x)，且f(1)＝，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，＋∞)时，f′(x)＜f(x)，则不等式f(x－1)＜e的解集为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训18　构造函数比较大小、不等式的解法 1.A　2.D 3.A　设g(x)＝，则g′(x)＝＝＞0，g(x)为R上的增函数，故g(－n)＜g(0)＜g(n)，即＜＜，即enf(－n)＜f(0)，f(n)＞enf(0). 4.B　由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又因为22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，所以2a＋log2a＜22b＋log2(2b)，即f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故选B. 5.A　设f(x)＝x2－2ln x(0＜x＜1)，g(x)＝ex－x(x＞0)，则f(a)＝g(1)，f(b)＝g(2)，f(c)＝g(3).又g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)＞g(2)＞g(1)，即f(c)＞f(b)＞f(a).因为f′(x)＝2x－＝＜0(0＜x＜1)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，所以a＞b＞c，故选A. 6.C　令y＝x－tan x，x∈(0，)，则y′＝1－＝1－＜0在(0，)上恒成立，即y＝x－tan x在(0，)上单调递减，所以x－tan x＜0在(0，)上恒成立，所以b＜a；c＝2ln 2－ln 3＝ln，ln与比较大小，可以转化为与e比较大小，可以转化为()3与e比较大小，易知()3＝≈2.4＜e，即c＝ln＜＝b.综上，a＞b＞c，故选C. 7.B　设g(x)＝exf(x)－2ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－2ex＝ex[f(x)＋f′(x)－2]， 因为f(x)＋f′(x)＞2，所以f(x)＋f′(x)－2＞0， 而ex＞0.故g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－2]＞0， 所以g(x)在R上单调递增， 又f(0)＝2024，故g(0)＝f(0)－2＝2022， 所以g(x)＞2022的解集为(0，＋∞)， 即不等式f(x)＞2＋的解集为(0，＋∞)，故选B. 8.C　令g(x)＝，则g′(x)＝.当x∈(0，)时，因为f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，所以g′(x)＞0恒成立，则g(x)在(0，)上单调递增，由f(x)＞2f()cos x得＞，即g(x)＞g()，所以x＞，即x∈(，).又f(x)为偶函数，所以g(x)＝也是偶函数，所以g(x)在(－，0)上单调递减，当－＜x＜0时，由g(x)＞g()＝g(－)，得－＜x＜－.故不等式的解集为(－，－)∪(，).故选C. 9.AC　构造函数f(x)＝，x∈(0，π)，则ebsin a＝easin b， 等价于f(a)＝f(b)， f′(x)＝＝， 当0＜x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜π时，f′(x)＜0， ∴f(x)在x＝处取最大值， ∵x∈(0，π)，sin x＞0，∴f(x)＞0， 函数图象如图所示. ∵a＜b，ea＜eb， ∴sin a＜sin b，故A正确，B错误； 由图象可知0＜a＜，＜b＜π， cos a＝＞0， |cos b|＝， ∴cos a＞|cos b|， 即cos a＋cos b＞0，故C正确，D错误. 10.AC　令g(x)＝exf(x)，因为f(x)＋f′(x)＜0，所以g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＜0在R上恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减.所以g(2)＞g(3)，即e2f(2)＞e3f(3)，所以＞f(3)，所以A正确，B错误；因为ln 3＜ln 4，所以g(ln 3)＞g(ln 4)，即eln 3f(ln 3)＞eln 4f(ln 4)，即3f(ln 3)＞4f(ln 4)，所以C正确，D错误.故选AC. 11.BCD　对于A选项，取b＝1，则aea＝1，构造函数f(x)＝xex，则f′(x)＝(x＋1)ex＞0(x＞0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，所以存在x＞0，使得f(x)＝1，所以aea＝1有解，因为ln b＝0，＞0，故A选项错误；对于B选项，abea＋ln b－1＝0变形得aea＝ln＋＞ln＝(ln)eln(＞0)，由A选项知f(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增，所以f(a)＞f(ln)，故a＞ln，ea＞，故B选项正确；对于C选项，由B选项知bea＞1，所以1－bea＜0，对abea＋ln b－1＝0变形得bea＋＝0，所以1＋＜0，所以a＋ln b＜1，故C选项正确；对于D选项，对abea＋ln b－1＝0变形得ab＝＞0，所以ab－1＝－1，由B选项知b＞，所以－1＜b(1－ln b)－1＝b(1－－ln b)，易知ln x≥，所以1－－ln b≤0，因此ab－1＜0，ab＜1，故D选项正确.综上，选BCD. 12.BCD　对A，logm t－logn t＝－＝，∵0＜t＜1，m＞n＞1，∴logt m·logt n＞0，logt n－logt m＞0，∴logm t－logn t＞0，故A不成立. 对B，由men＜nem及m＞n＞1，得＜，构造函数f(x)＝，x＞1，则f′(x)＝＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(m)＞f(n)，即＞，故B成立. 对C，由mnt＞nmt及m＞n>1，得nt－1＞mt－1，构造函数g(x)＝xt－1，x＞1，∵0＜t＜1，∴t－1＜0，∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴g(n)＞g(m)，即nt－1＞mt－1，故C成立. 对D，由mlogn t＜nlogm t及m＞n＞1，0＜t＜1，得mln m＞nln n，构造函数h(x)＝xln x，x＞1，则h′(x)＝1＋ln x＞0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴h(m)＞h(n)，即mln m＞nln n，故D成立.故选BCD. 13.解析：设F(x)＝f(x)－ln x－1，则F′(x)＝f′(x)－＝<0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递减，又F(e)＝0，所以F(ex)＝f(ex)－ln ex－1＝f(ex)－x－1＜0＝F(e)，所以ex＞e，得x＞1.所以关于x的不等式f(ex)＜x＋1的解集为(1，＋∞). 答案：(1，＋∞) 14.解析：令g(x)＝，由f(x)＝exf(－x)，得f(－x)＝，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数. 因为当x∈[0，＋∞)时，f′(x)＜f(x)，所以当x∈[0，＋∞)时，g′(x)＝＝＜0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减.因为函数g(x)为R上的偶函数，所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 因为f(1)＝，所以g(1)＝＝＝1.因为f(x－1)＜e可变形为＜1，所以g(x－1)＜g(1). 因为函数g(x)为R上的偶函数，在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|＞1，解得x＜0或x＞2，所以不等式f(x－1)＜e的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞). 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$