微专题集训16 导数在研究函数单调性中的应用-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训16　导数在研究函数单调性中的应用 一、单项选择题 1．函数f(x)＝x－ex的单调递减区间是(　　) A．(－∞，ln 2) B．(ln 2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 2．若函数f(x)＝x3－3kx＋1在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 3．定义在(－1，3)上的函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－1，0) B．(－1，1) C．(0，2) D．(2，3) 4．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在 [－1，1]上是单调递减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，) C．[，＋∞) D．(0，) 5．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为(，1)，则(　　) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D．a∈(－∞，3] 6．(2024·陕西部分学校联考)若函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，0)∪(0，3) D．(－∞，0) 7．已知函数f(x)＝aln x＋x2，若对任意正数x1，x2(x1≠x2)，都有＞1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，) C．[，＋∞) D．(，＋∞) 8．(2023·广州模拟)若函数f(x)在区间D上单调递增，且函数f′(x)在区间D上也单调递增(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，那么称函数f(x)是区间D上的“快增函数”，区间D叫做“快增区间”．则函数f(x)＝sin2 x＋2sin x在区间[0，π]上的“快增区间”为(　　) A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，] 二、多项选择题 9．(2024·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f′(x)为其导函数，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)≥0 B．f(1)≥0 C．a2－3b≤0 D．a2－3b≥0 10．若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值范围可以是(　　) A．[4，＋∞) B．(－∞，2] C．(1，2] D．(0，3] 11．定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜－tan x·f(x)恒成立，则(　　) A．f()＞f() B．f()＞f() C．f()＞f() D．f()＞f() 12．已知函数f(x)＝2aln x＋x2＋b，则(　　) A．a≥0是函数f(x)在定义域内单调递增的充要条件 B．若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则a∈[－1，＋∞) C．若函数f(x)在定义域内不单调，则a∈(－∞，0) D．函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，) 三、填空题 13．已知函数f(x)＝2ln x－x2＋1，则f(x)的单调递增区间是________． 14．若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 15.(2023·绍兴模拟)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为________． 16．(2023·北京东城区二模)已知奇函数f(x)的定义域为R，且＞0，则f(x)的单调递减区间为________；满足以上条件的一个函数是________． 四、解答题 17．已知函数f(x)＝x3－4x2－4ax＋12. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x－4y＋3＝0垂直，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0，6]上单调递减，求a的取值范围． 18．已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R)． (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训16　导数在研究函数单调性中的应用 1.B　2.B 3.C　由导函数y＝f′(x)的图象可知，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，∴y＝f(x)的单调递减区间是(0，2).故选C. 4.C　f′(x)＝ex，由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立，令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有即解得a≥，故选C. 5.B　由题意得f′(x)＝＋2x＋a＜0的解集为(，1)，所以不等式2x2＋ax＋1＜0的解集为(，1)，所以＋1＝－，解得a＝－3. 6.C　由题意得函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3ax2－6x＋1，要使函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以解得a＜3且a≠0，故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)，故选C. 7.C　不妨令0＜x1＜x2，则＞1等价于f(x1)－x1＜f(x2)－x2，令F(x)＝f(x)－x，则F(x)＝f(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，因为F(x)＝f(x)－x＝aln x＋x2－x，所以F′(x)＝＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥－x2＋x在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(－x2＋x)max(x＞0)，又－x2＋x＝－(x－)2＋≤，∴a≥，即实数a的取值范围是. 8.A　因为f(x)＝sin2 x＋2sin x，x∈， 所以f′(x)＝2sin xcos x＋2cos x＝2cos x(sin x＋1)，因为sin x＋1≥0恒成立， 所以当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增； 当x∈(，π)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减. 令g(x)＝f′(x)＝2sin xcos x＋2cos x，x∈， 则g′(x)＝2cos2 x－2sin2 x－2sin x＝2－4sin2 x－2sin x， 令t＝sin x∈， h(t)＝－4t2－2t＋2＝－2(2t－1)(t＋1)， 所以当t∈时，h(t)≥0，即当x∈时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以函数f(x)＝sin2 x＋2sin x在区间上的“快增区间”为. 9.AC　因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f′(1)≥0恒成立，但f(1)大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0，所以正确的是AC. 10.AC　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.由f′(x)≥0得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)≤0得函数f(x)的单调递减区间为(0，3].因为f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.结合选项可得A，C正确.故选AC. 11.CD　依题意0＜x＜，由f′(x)＜－tan x·f(x)，得f′(x)＜－·f(x)，sin x·f(x)＋cos x·f′(x)＜0.构造函数F(x)＝(0＜x＜)，F′(x)＝＜0，所以F(x)在(0，)上递减.F()＞F()＞F()，＞＞，即＞＞f()，所以f()＞f()，f()＞f().故选CD. 12.ABC　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x，当a≥0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增；若函数f(x)在定义域内单调递增，则f′(x)＝＋2x≥0恒成立，即a≥－x2在x∈(0，＋∞)时恒成立，因为－x2＜0，所以a≥0.所以a≥0是函数f(x)在定义域内单调递增的充要条件，所以选项A正确.若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝＋2x≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，即a≥－x2在x∈[1，＋∞)时恒成立，又函数y＝－x2在x∈[1，＋∞)时的最大值为－1，所以a≥－1，所以选项B正确.若函数f(x)在定义域内不单调，则f′(x)＝＋2x＝0在x∈(0，＋∞)时有根，即x2＋a＝0在x∈(0，＋∞)时有根，所以a＜0，所以选项C正确.f′(x)＝＋2x＝，当a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞).所以选项D错误.故选ABC. 13.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＝，令f′(x)＞0得－1＜x＜1，结合定义域，可知f(x)的单调递增区间为(0，1). 答案：(0，1) 14.解析：f′(x)＝－x2＋a，由于函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，所以f′(x)＝－x2＋a＝0有两个不相等的实数根，所以a＞0. 答案：(0，＋∞) 15.解析：由图象知，当x＜0或1＜x＜4时，f′(x)＞f(x)， 即g′(x)＝＞0， 则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1，4). 答案：(－∞，0)，(1，4) 16.解析：由＞0可得f′(x)(x2－1)＞0，所以或所以当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，所以满足条件的一个函数可以为f(x)＝x3－x(答案不唯一). 答案：(－1，1)　f(x)＝x3－x(答案不唯一) 17.解：(1)由题意得f′(x)＝3x2－8x－4a，f′(2)＝－4－4a，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x－4y＋3＝0垂直， 故－4－4a＝－2，解得a＝－. (2)函数f(x)在区间[0，6]上单调递减，则f′(x)＝3x2－8x－4a≤0在区间[0，6]上恒成立， 故a≥x2－2x， 当x∈[0，6]时，x2－2x的最大值为×62－2×6＝15，故a的取值范围为[15，＋∞). 18.解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2ln x，f′(x)＝2x－，切线的斜率k＝f′(1)＝0，f(1)＝1，则切线方程为y－1＝0. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝， ①当a≤0时，2x－a＞0，由f′(x)＞0，得x＞1；由f′(x)＜0，得0＜x＜1，则函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； ②当0＜＜1，即0＜a＜2时，由f′(x)＞0，得0＜x＜或x＞1；由f′(x)＜0，得＜x＜1，则函数f(x)的单调递增区间为(0，)，(1，＋∞)，单调递减区间为(，1)； ③当＝1，即a＝2时，f′(x)≥0恒成立，则函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ④当＞1，即a＞2时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1或x＞；由f′(x)＜0，得1＜x＜， 则函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，(，＋∞)，单调递减区间为(1，). 综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当0＜a＜2时，函数f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减； 当a＝2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞2时，函数f(x)在(0，1)和(，＋∞)上单调递增，在(1，)上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $$