微专题集训15 导数的概念、几何意义及运算-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

第三单元　导数 微专题集训15　导数的概念、几何意义及运算 一、单项选择题 1．(2024·河北邢台四校联考)已知函数f(x)＝－，则f(1)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 2．(2024·河南南阳质检)已知f(x)＝x2＋sin (＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　) 3．(2024·豫南九校联盟联考(一))已知函数f(x)＝aex＋x的图象在点(0，a)处的切线过点(2，5)，则a＝(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．(2024·福建泉州科技中学期中)若直线y1＝x＋m与曲线y2＝ex－2n相切，则(　　) A．m＋n为定值 B．m＋n为定值 C．m＋n为定值 D．m＋n为定值 5．(2023·江苏南京模拟)已知直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，直线l与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，则x2－2x1的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 6．(2024·河北保定部分学校联考)若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2ln x的公切线，则n－m＝(　　) A．11 B．12 C．－8 D．－7 7．已知点P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为(　　) A． B． C． D． 8．(2023·黄山模拟)已知f(x)＝mex－2x3，曲线y＝f(x)在不同的三点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(0，) C．(，＋∞) D．(0，) 二、多项选择题 9．曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标可能为(　　) A．(3，3) B．(－3，－3) C．(9，1) D．(1，9) 10.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)<f′(2) C．f(3)－f(2)>f′(3) D．f(3)－f(2)<f′(2) 11．(2024·重庆检测)若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝－x3＋3x＋4 B．f(x)＝ln x＋2x C．f(x)＝sin x＋cos x D．f(x)＝xex 12．(2023·福建莆田一检)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得f(x)的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin2 x B．y＝tan x C．y＝，x∈(－2，＋∞) D．y＝ex－ln x 三、填空题 13．(2024·江西赣州期末)设曲线y＝x2在点A(1，)处的切线与曲线y＝xln x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________． 14．(2024·江西省五校联考)已知函数f(x)＝x3－ax2同时满足下列两个条件：①在[1，＋∞)上单调递增；②曲线y＝f(x)在(1，＋∞)上存在斜率为1的切线．则实数a可以为________．(写出符合要求的一个值即可) 15．已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，则直线l的方程为________． 16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f(－2023)＋f′(－2023)＋f(2023)－f′(2023)＝________． 四、解答题 17．(2023·淮南模拟)已知函数f(x)＝x2－ln x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．(2023·北京市东城区模拟)已知函数f(x)＝ax2－xln x. (1)当a＝0时，求f(x)的单调递增区间； (2)设直线l为曲线y＝f(x)的切线，当a≥时，记直线l的斜率的最小值为g(a)，求g(a)的最小值； (3)当a＞0时，设M＝{y|y＝f′(x)，x∈(，)}，N＝{y|y＝f′(x)，x∈(，)}，求证：MN. 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第三单元导数 微专题集训15导数的概念、几何意义及运算 1.C2.A 3.C依题意，fx)=aer+1,则f(0)=a十1，因为函数x)=aer+x的图象在 点(0，a)处的切线过点(2,5)，所以a+1=5一a2一0，解得a=1.故选C 4.B设直线y1=x十m与曲线y2=ex-2m切于点o,e-2m),因为y2=e-2, 所以c-2n=1,得xo=2n,所以切点为(2n,1)代入直线方程得1=2n十m,即12m +n=12.故选B. 5.D因为直线1与曲线y=ex相切，切点为M,),可知直线1的方程为 y=e(c一)十e=ex十(1一)e,又直线I与曲线y=(x十3)2也相切，切点为W (x3,'2), 可知直线1的方程为y=2(x2+3x一x2)十(2+3)2=2x2十3)x-x22十9，所以 22ex1=2(x2+3),(1-x1)ex1=-x+9,)两式相除，可得2(1一)=3一x2: 所以2一2=1 6.A由y=x2+2nx,得y'=2x+2x(x>0),令2x+2x=4,得x=1,则直线 y=4x十m与曲线y=x2+2nx相切于点(1,4+m),所以4+m=1+2n1=1,得 m=一3.所以直线y=4x-3是曲线y=x3-x十13的切线，由y=x3-x十13，得 y=3x2-n,设切点为(t,3-t+13),则32-n=4,且3-t+13=41-3,联立 消去n,并整理可得=8，得f=2,所以n=8,所以n一m=8一（一3）=11.故选 A 7.C如图所示，若使PQ取得最小值，则曲线y=一sinx(x∈0，)在点P 处的切线与直线x一2y一6=0平行，对函数y=一simx求导得y'=一cosx,令y =12,可得cosx=一12，.0≤x≤元，解得x=23故选C. 01=-s1n -2y-6=-0 8.D由fx)=mer-6x2=0,得m=6x2ex,令g(x)=6rx2ex,则g'(x)=12x 6x2x,当x<0或x>2时，g'(x)<0:当0<x<2时，g'x)>0,所以g(x)在（一∞， 0)和(2，+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，且g(0)=0,g(2)=242,y=g (x)的图象如图所示.因为曲线y=x)在不同的三点(x1,x),(x2,x2),(,f ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.Com○ 您身边的互联网+教辅专家 (3)处的切线均平行于x轴，所以m=6x2x有三个不同的解，故m∈ avs4alco10,f24e2月 g(x)=fur? e 一=m -20246810x 9.AB因为y=一9x2,若设P(xo,yo),则由导数的几何意义得一209x=tan3π4 =一1，解得x0=±3，从而%=±3，即点P的坐标为(3,3)或（一3，一3） 10,BCDf'(xo)的几何意义是x)在x=xo处的切线的斜率，由题图知f'(2)>f” (3)>0,故A错误，B正确，设A(2,2),B(3,3),则3)-2)=f(3)一/ (2)3一2=kAB,由题图知f(3)<kB<f(2),即f3)<3)一2)<f(2),故C,D 正确 11.ABC对于A,x)=-x3+3x+4,fx)=一3x2+3,f"x)=-6x,当x∈(0， 34)时，"(x)<0,故A为凸函数： 对于B,x)=lnx十2x,f(x)=1x+2,f"(x)=-1x2,当x∈(0,34)时，f"(x) <0,故B为凸函数： 对于C,fx)=sinx十cosx,f(x)=cosx一sinx,f"(x)=一simx一cosx=-2sin (十4)，当x∈(0,3π4)时，"(x)<0,故C为凸函数： 对于D,w)=xe,f)=(x+1)e,f"x)=(x+2)e, 当x∈(0,3五)时，"(x)>0,故D不是凸函数 12.ACD对于A,y=sin2x=1-cos2x2,y=sin2x∈[-1,1]，存在x=4, x2=3严4满足题意；对于B,y=tanx,y'=1cos2x>0恒成立，不满足题意；对 于C,y=x-1x+2),x∈(-2，+∞)，y=f(-3(x+2)23(x+2)2),x∈1， 十o),存在=一54，x2=2满足题意；对于D,y=e一lnx,y=c一lx,函数 y'=e-lx在(0，+∞)上单调递增，且yx=f13e)-3<-1,y'x=1=e一1 >1,所以存在，2∈(0，十o∞)，使得yavs4 alcol(x=xl=一1，y'x=x2=1 满足题意故选ACD 13.解析：由y=12x2得y=x,所以曲线y=12x2在点A(1,12)处的切线的斜 率为1.设P(xo,yo),由y=xnx得y=1十lnx,所以曲线y=xnx在点P处的切 线斜率为1+lnxo,所以1十lnxo=1,解得xo=1,代入y=xnx,可得yo=0,故 P1,0). ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：(1,0) 14解析：根据题意，得f(x)=3x2一2ax.若x)在[1，十∞)上单调递增，则f(x) ≥0在1，十∞)上恒成立，所以3x2-2a≥0在[1，十∞)上恒成立，所以a≤3x2 在[1，+∞)上恒成立，则a≤(3x2)mim,x∈[1，十∞).令g(x)=32x,x∈[1，+o), 易知g(x)在[1，+∞)上单调递增，所以g(xm=g(1)=32,所以a≤32.由曲线y =x)在(1，+∞)上存在斜率为1的切线，可得3x2-2ax=1在(1，+∞)上有解， 即3x-1x=2a在(1，+∞)上有解.令hx)=3x-1x,x∈(1，+∞)，则h'(x)=3十 1x2>0在(1，十∞)上恒成立，所以x)在(1，十∞)上单调递增，所以h(x)>3×1一11 =2,所以2a>2,所以a>1.综上可知，1<a≤32. 答案：32（答案不唯一） 15.解析：设直线1与曲线C1相切于点(t,e,对函数y=er求导得y'=e,则 直线l的斜率为k=e',所以直线I的方程为y一e'=e'(x一t),即y=ex十(1一t) e',联立y=f14y=ex+(1-t)et消去y得e2x2-4ex+4(t-1)e=0,则由d= 16c2-16(t-1)e+2=0,可得e-2-t+1=0, 令0=e-2一t+1,则f(0=e-2-1, 令f)=0,可得1=2. 当t<2时，f()<0,此时函数y=)单调递减： 当t>2时，f()>0,此时函数y=)单调递增. 所以0mm=2)=0,则1=2. 所以直线1的方程为y=e2x一e2 答案：y=e2x一e2 16.解析：函数x)=r(3122十cosx=3)simx十2x4+2cosx十12，其定义域为R, 令gx)=3smx十2x4+2cosx,显然g(-x)=3sm(-x）+2(-x)4+2cos (一x)=一3sinx十2x4+2cosx=一g(x),即函数g)是R上的奇函数，又x) =gx)+12,因此(-x)十x)=g(一x)+12+g(x)+12=1, 则(-2023)+2023)=1 由g(一x)=一g(x)两边求导得-g(一x)=一g(x), 即g(-x)=g'x),而f)=g'() 于是得f(x)一f(一x)=g(x)一g(一)=0， ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则f(-2023)-f(2023)=0, 所以-2023)+f(-2023)+f2023)-f(2023)=1. 答案：1 17.解：(1)由题意可得1)=1，且f(x)=2x-1x,f(1)=2-1=1,则所求切 线方程为y一1=1×(x一1)，即y=x (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标分别为(，)，(2，)， 则，x2∈f12),1),不妨设<x2 结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1一1x1)(2x2一1x2)=一1， 又函数f(x)=2x一1x在区间12)，)上单调递增，函数的值域为[一1,1] 故-1≤2x1-1x1<22-1x2≤1，据此有2x1-f(1x11x2)=1, 解得=12,2=1las4alco1x1=一1，x2=-12)舍去)， 故存在两点(12,1n2+14),(1,1)满足题意 18.解：(1)当a=0时，fx)=一xnx,定义域为0，+oo) f(w)=-lnx-1,令fx)=0,得x=le, 当x∈(0,1e)时，f(x)>0,则fx)单调递增： 当x∈(1e,+∞)时，f(x)<0,则x)单调递减 所以x)的单调递增区间为(0，le) (2)h(x)=f(x)=2ax-In x-1, 则(x)=2a-1x=2ax-1x 当a≥e2时，令h(x)=0,得x=12a 当x∈(0,12a时，h(x)<0,h(x)单调递减； 当x∈(12a,+o∞)时，h(x)>0,hx)单调递增 所以当x=12a时，hx)取得最小值， 故g(a)=h(12a)=ln(2a) 当a≥e2时，ln(2a)的最小值为1，所以g(a)的最小值为1. (3)证明：由(2)知f(x)在(14a,12a)上单调递减， 在(12a,34a)上单调递增， 又f(34a)=12-ln34a,f(14a)=-12-lnl4a, 所以M=(n(2a),12-ln34a), ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 N=(n(2a,-12-nl4a, 因为(-12-ln14a)-(12-ln34a)=ln34a-ln14a-1 =n3一1>0，所以MN. ·独家授权侵权必究◆