微专题集训14 抽象函数-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训14　抽象函数 一、单项选择题 1．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f(－)＝，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－2，0)∪(0，2) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2) 3．(2024·山西太原考试)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)既是奇函数又是增函数，f(3)＝2，则f(2x－1)＜－2的解集为(　　) A．{x|x＜－2} B．{x|x＜－3} C．{x|x＜－1} D．{x|x＜0} 4．函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有＜1成立．如果f(m)＞m，则实数m的取值集合是(　　) A．{0} B．{m|m＞0} C．{m|m＜0} D．R 5．(2024·四川绵阳诊断)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　) A．f(－1)＜f(－20.1)＜f(log2 5) B．f(log2 5)＜f(－1)＜f(－20.1) C．f(log2 5)＜f(－20.1)＜f(－1) D．f(－20.1)＜f(－1)＜f(log2 5) 6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0，3)上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．f(10)＜f(e)＜f(ln 2) B．f(e)＜f(ln 2)＜f(10) C．f(ln 2)＜f(10)＜f(e) D．f(ln 2)＜f(e)＜f(10) 7．(2024·江西宜春丰城中学开学考试)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 8．(2024·山西三晋名校联盟阶段测试)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(2)＝2，f(x)＋f(2－x)＝2，f(5x)＝2f(x)，且当0≤x1＜x2≤2时，f(x1)≤f(x2)，则f()＋f()＝(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，且x≥1时，函数f(x)单调递增，则(　　) A．f(1)＝0 B．f(x)是周期函数 C．方程f(x)＝0有唯一实数解 D．函数f(x)在(－∞，0)内单调递减 10．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是周期函数 C．f()＝－1 D．x∈[－1，0)时，f(x)＝x 11．(2024·衡水中学三调)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，对任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，则下列说法正确的有(　　) A．f(0)＝1 B．f′(x)必为奇函数 C．f(x)＋f(0)≥0 D．若f(1)＝，则f(n)＝ 12．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝1－x，则(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)在(－1，1)上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(x)的图象关于点(2，0)对称 三、填空题 13．(2024·湖北荆荆宜三校联考)设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则g(k)＝________． 14．设f(x)的定义域为R，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)＋f(－x)＝2，若f(1)＝3，则＝__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训14抽象函数 1.C2.c 3.D因为2x+1)是奇函数，所以一2x+1)=一2x十1)，令x=1,则f (-1)=-3),又3)=2，所以-1)=-2，由2x-1)<-2,可得2x-1) <(一1).令=2x+1,则函数t=2x+1是R上的增函数，所以由复合函数的单调 性可知，函数x)是R上的增函数，即函数x)是R上的增函数，所以2x一1 <一1，解得x<0,所以2x一1)<一2的解集为xx<0},故选D, 4.C因为对于任意的≠x2,都有f(x1)一f(x2)x1一x2<1,当x1>x2 时)一2)<：一x2,即x)一<x2)一2，当<x2时)一2)>灯一x2 即)一x1>x2)一x2,即g(x)=x)一x在定义域R上单调递减，又y=x)是定义 域为R的奇函数，所以0)=0，所以g(0)=0)一0=0，则m)>m,即m)一m >0,即g(m)>g(0),所以m<0,即不等式m)>m的解集为{mlm<0}.故选C. 5.C根据题意，x)是定义在R上的偶函数，则-1)=1)，一2.1)=f (2.)因为x)在(0，+∞)上单调递减，且1<21<2<1og25,所以f (1)>20.)>1og25),即有1og25)≤(-20.1)≤(-1)故选C. 6.Ax+6)=x),∴.x)的周期为6.又y=x+3)为偶函数，∴x+3)=f (-x+3),10)=4+6=4)=f1+3)=-1+3》=f2.1<e2》<2,0<n2 <1,0<n2<1<。2<2.又在0,3)止单调递减，2<e2<2, 2) 2 即10)<e)<fn2),故选A. 7.Cx)为定义在R上的奇函数，且1一x)=1+x),所以x十1)=一f1 (x-1),所以x+2)=一x),所以x+4)=一x+2)=-[一x=x),故x)是 以4为周期的周期函数.则1)+2)+…+50)=121)+2)+3)+4)】+1)+ 2).由x+2)=-x,得4)+2)=0,3)+1)=0，所以1)+2)+3)+f (4)=0.因为x)为定义在R上的奇函数，所以0)=0.因为2)=一0)=0,1) =2,所以1)+2)=2，所以1)+2)+…+50)=f1)+2)=2.故选C. 8.A在5x)=2x)中，取x=25可得2)=225)，又2)=2，所以25)= 1.又x)+2一x)=2,所以25)+85)=2，所以85)=1.因为当0≤x<x2≤2时， ·独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 )≤fx2),所以当x∈f(285)时，fx)=1,所以98)=1，f58=1.又f11000)= 121200)=14机140)=1818)=116矾58)=116，所以(11000+98)=116+1 1716.故选A 9.AC令x=0,则1)=一1)，则1)=0，故A正确：.1+x)=一1一x), ∴1十x)十1一x)=0,∴x)的图象关于点(1,0)对称，又x≥1时，函数x)单调 递增，∴x)在R上单调递增，故)不是周期函数，故B,D错误；，fx)在R 上单调递增，且1)=0，.方程x)=0,有唯一实数解x=1,故C正确故选AC 10.AB因为定义在R上的函数x)满足一x)=),所以x)是偶函数，故 A正确：又x)=x+2),所以x)是以2为周期的周期函数，故B正确：992) =50-12)=f-12)=12)=12,故C错误：设x∈lals4alco1(-1,0),则-x ∈rc]als4 allcol(0,1),所以一x)=一x,又fx)是偶函数，则x)=一x,即 当x∈lals4 allcol(一1，O)时，x)=一x,故D错误.故选AB. 11.BCD对于A,令x=y=0,则由x十y)十x一y)=2x)·y)可得20) =2(0),故0)=0或0)=1，故A错误.对于B,当0)=0时，令y=0,则/1 (x)十x)=2x)0)=0,则x)=0,故f(x)=0,函数fx)既是奇函数又是偶函数： 当0)=1时，令x=0,则)十f(一y)=2孔y),一)=)，x)为偶函数，则 x)为奇函数综上可知f(x)必为奇函数，B正确.对于C,令x=y,则2x)十O) =2fx),故2x)+0)≥0x∈R,令t=2x,则t∈R,∴.t)+0)≥0，即有x) +0)≥0，故C正确.对于D,若1)=12，令x=1,y=0,则1)十1)=2f (1)0),则0)=1，令x=y=1,则2)+0)=2(1)，即2)+1=12,2)= -12,令x=2,y=1,则3)+1)=22)1)，即3)+12=-12,3)=-1， 令x=3,y=1,则4)+2)=23)1)，即4)-12=一1,4)=-12，令x =4,y=1,则5)+3)=24)1)，即5)-1=-12，.5)=12，令x=5,y =1,则6)+4)=25)1)，即6)-12=12，.∴6)=1，令x=6,y=1,则f (7)+5)=26)·1),即7)+12=1，∴7)=12…由此可得0n∈N)具有周期 性，且周期为6，又1)+2)+f3)+4)十5)+6)=0，故∑202m=m=337× [1)十2)+3)+4)+5)十6)]+1)=12，故D正确，故选BCD. 12.解析：ACD对于A,因为定义在R上的奇函数x)满足x十2)=一f (x),所以x+2+2)=一x十2)=一[一x]=x),所以x)是周期为4的周期函 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.Com○ 您身边的互联网+教辅专家 数，故A正确： 对于B,当x∈[一1,0)时，一x∈(0,1]，则一x)=1-(一x)=1十x,因为f (x)为奇函数，所以一x)=一x),所以一x)=1十x,所以x)=一1一x,故当x ∈[-1,0)时，函数x)=一1一x单调递减，且当x一0时，x)一-1，当x∈(0， ]时，函数x)=1一x单调递减，且当x→0时，x)一1，所以x)在(-1,1)上不 是单调递减的，故B错误： 对于C,因为fx)是周期为4的周期函数，所以x+6)=x+2)=一x)=f (一x),所以x一3+6)=一(x一3)儿，即x十3)=3一x),所以x)的图象关于直 线x=3对称，故C正确： 对于D,因为x+4)=f)=一-x),所以x+4)+一)=0，所以x-4 +4)十几一(x一4)月=0，所以x)+4一x)=0,所以x)的图象关于点(2,0)对称， 故D正确.故选ACD 13.解析：由g(c十1)为偶函数，得函数g()的图象关于直线x=1对称，则有 g(一x)=g(2十x):由函数g(十2)为奇函数，得函数g()的图象关于点(2,0)对称， 则g(4十x)=一g(一x),所以g(4十x)=一g(x十2).设t=x十2，则gt+2)=一g(0,g 十4)=一g(+2)=g(),从而函数g()是周期为4的周期函数.由函数g(x)的图象 关于点(2,0)对称，得g(1)+g(3)=0,且g(2)=0.由g(2)=g0),得g0)=0,所以 g(4)=0,所以g1)+g(2)十g3)十g(4)=0,所以∑2023k=1g()=g(1)+g(2)+…+g (2023)=505×1als4aco1(g(1)+g(2)+g(3)+g(4))+g1)+g(2)+g3) =505×0+0=0. 答案：0 14解析：因为1一x)=1十x),所以x)的图象关于直线x=1对称，一x) =x+2),x)=2一x),因为x)十-x)=2,所以2-x)+x十2)=2，用x一2 替换x可得falvs-4 alcol2-(x一2))+x)=2,即4-x)十x)=2,所以-x) =4一x),所以)=x十4)，所以函数x)是周期为4的周期函数.因为x)的图 象关于直线x=1对称，x)+(一x)=2,1)=3,所以一1)=一1,0)=1，f (2)=0)=1,3)=-1)=-1,4)=0)=1,2023)=-1)=-1,2028)=f (0)=1,2030)=2)=1.所以1)+2)+3)+4)=3+1-1+1=4,2023)+f (2028)+2030)=1,所以f1)+2)+…+2022)=505×4+3+1=2024,所以f ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.Com○ 您身边的互联网+教辅专家 (1)+f(2)+f(3)++f(2022)f(2023)+f(2028)+f(2030)=20241 =2024 答案：2024 ·独家授权侵权必究◆