微专题集训13 函数模型及其应用-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训13　函数模型及其应用 一、单项选择题 1．(2023·绵阳模拟)某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价而发愁．通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单 价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销 售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息，你认为定价为多少时才能获得最大利润(　　) A．每桶8.5元 B．每桶9.5元 C．每桶10.5元 D．每桶11.5元 2.(2024·北京十三中月考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　) A．3.50 min B．3.75 min C．4.00 min D．4.25 min 3．(2024·福建莆田高三质量检测)经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v (单位：km/h)(40≤v ≤120)的数据如下表． v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝0.04v＋3.6，Q(v)＝0.5v＋a，Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120](单位：km/h)．为使百公里耗油量W(单位：L)最小，该型号汽车行驶的车道与速度为(　　) A．在外侧车道以80 km/h 行驶 B．在中间车道以90 km/h 行驶 C．在中间车道以95 km/h 行驶 D．在内侧车道以115 km/h 行驶 4．(2024·安徽安庆联考)海洋渔业发展迅猛，我国自主研发的大型海洋养殖船纷纷下海．网箱养殖需要人工创造适合鱼类生长的环境，研究人员发现在一段时间内，某网箱内氧的含量H(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为H＝ H0e－m t(H0为网箱内氧的初始含量且H0＞0，m为参数)，且经过20 h后，网箱内氧的含量减少H0.若当网箱内氧的含量低于初始含量的时需要人工增氧，则该网箱最长大约经过多长时间后需要人工增氧(参考数据：lg 2 ≈0.3)(　　) A．39 h B．33 h C．31 h D．27 h 5．(2023·江苏镇江高三模拟改编)2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．已知火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)质量m(单位：kg)的函数关系为v＝2ln(1＋)．已知某火箭的火箭(除燃料外)质量为3000 kg ，最大速度为9 km/s，若保持火箭(除燃料外)质量不变，为使最大速度达到10 km/s则需要再加注的燃料质量约为(参考数据：ln 90≈4.5，e5≈148)(　　) A．267 000 kg B．174 000 kg C．147 000 kg D．441 000 kg 6．(2023·北京第十二中学模拟)长江流域水库群的修建和联合调度极大降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾作用．每年洪水来临之际，为保证防洪需要，降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数(蓄满指数＝×100)来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：(ⅰ)调度后的每座水库的蓄满指数属于区间[0，100]；(ⅱ)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；(ⅲ)调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记x(0≤x≤100)为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：①y＝－x2＋6x，②y＝10，③y＝10，④y＝100sinx.则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　) A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍 8．茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，分别测得其放置1分钟、2分钟后的温度为80 ℃、68 ℃，现给出三个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝at＋b(a＜0)；②T＝loga t＋b(0＜a＜1)；③T＝20＋b·at(b＞0，0＜a＜1)．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的关系，依此计算，该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为(　　) (假设室温为20 ℃，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟 二、解答题 9．(2023·安徽芜湖第一中学模拟)每年三月中旬至四月上旬是最佳的赏花时期，某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，这些鲜花的花期为30天．园区从3月1号至30号开放，每天的旅游人数f(x)(单位：千人)与第x天的关系近似地满足f(x)＝8＋，游客人均消费g(x)(单位：元)与第x天的关系近似地满足g(x)＝143－|x－22|，1≤x≤30.且x∈N* (1)求该园区第x天的旅游收入p(x)(单位：千元)的函数解析式； (2)记(1)中p(x)的最小值为m，若最终总利润为0.3m千元，问该园区能否收回投资成本？ 10．(2024·广东深圳六校联考(二))环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．现对某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80 km/h(不含80 km/h )，经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位km/h )的下列数据： v/(km·h－1) 0 20 40 60 M/Wh 0 3000 5600 9000 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现给出以下三种函数模型供选择：M(v)＝v3＋bv2＋cv，M(v)＝800()v＋a，M(v)＝500 loga v＋b. (1)当0≤v＜80时，请选出符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式． (2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200 km 的国道，后一段是100 km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v的关系是N(v)＝2v2－10v＋200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少？最少为多少？(假设该汽车在两段路上分别匀速行驶) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训13　函数模型及其应用 1.D　2.B 3.A　由题可得符合题意的函数模型需满足在40≤v≤120时v都可取，且该函数模型应为增函数，故第二种函数模型不符合；若选择第一种模型，则Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据相差较大，故第一种函数模型不符合；若选择第三种函数模型，则Q(40)＝5.2，Q(60)＝6，Q(100)＝10，故第三种函数模型最符合实际，因此选择Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v.所以W＝×Q(v)＝0.0025v2－0.4v＋25＝0.0025(v－80)2＋9，当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80 km/h 行驶，故选A. 4.D　由题意可知当t＝20时，H＝H0e－20m＝H0－H0＝H0，所以e－20m＝，则－20m＝ln，得m＝－ln. 设经过x h后需要人工增氧，则H0＝H0e－mx，e－mx＝，所以－mx＝ln， 所以x·ln＝ln，解得x≈27， 所以最长大约经过27 h 后需要人工增氧，故选D. 5.B　由题意知当m＝3000时，v＝9，设此时燃料质量为M1，将m＝3000，v＝9代入v＝2ln(1＋)，得9＝2ln(1＋)，所以ln(1＋)＝4.5≈ln 90， 即＋1≈90，得M1≈267 000(kg)， 当v＝10时，设燃料质量为M2，则10＝2ln(1＋)，即1＋＝e5≈148，解得M2≈441 000(kg)， 所以需要再加注燃料质量约为M2－M1＝441 000－267 000＝174 000(kg).故选B. 6.B　对于①，y＝－x2＋6x＝－(x2－120x)＝－(x－60)2＋180，该函数在x＝60时函数值为180，超过了要求的范围，不符合题意. 对于②，y＝10为增函数，当x∈[0，100]时，y∈[0，100]，且≤10，故x≤10，符合题意. 对于③，y＝10，当x＝50时，10＝10＜50，不符合题意. 对于④，y＝100sinx在[0，100]上单调递增，设g(x)＝100sinx－x，x∈[0，100]，则g′(x)＝·cosx－1，易知g′(x)＝·cosx－1在[0，100]上单调递减，且g′(0)＝－1＞0，g′(100)＝cos－1＝－1＜0，所以存在x0∈[0，100]，使得g′(x0)＝0.当x∈[0，x0]时，g′(x)≥0；当x∈[x0，100]时，g′(x)≤0.故g(x)在[0，x0]上单调递增，在[x0，100]上单调递减，又g(0)＝0，g(100)＝0，故在[0，100]上g(x)≥0，即在[0，100]上100sinx≥x，故④符合题意，所以②④符合题意，从而选B. 7.B　设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)＝9lg＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg＝54，解得x2＝10－7，所以＝10， 因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍. 8.B　函数T＝at＋b(a＜0)是关于时间t(单位：分钟)的单调递减的线性函数，函数T＝loga t＋b(0＜a＜1)也是减函数，两者都有函数值为负的情形，有悖于生活常识，因为茶温是不会低于室内温度的，因此选择模型③.令T＝f(t)＝20＋b·at(b＞0，0＜a＜1)，则即解得所以T＝f(t)＝20＋75·()t.令20＋75·()t≤60，则()t≤，解得t≥＝＝≈2.814，故选B. 9.解：(1)p(x)＝f(x)·g(x)＝(143－|x－22|)＝x∈N*. (2)当1≤x≤22且x∈N*时，p(x)＝8x＋＋976≥2＋976＝1152，当且仅当8x＝，即x＝11时取等号，此时p(x)的最小值为1152千元. 当23≤x≤30且x∈N*时，p(x)＝－8x＋＋1312单调递减，所以当x＝30时，p(x)取到最小值，最小值为1116千元. 综上，p(x)的最小值m＝1116千元，因此0.3m＝334.8千元＝33.48万元＞30万元，能收回投资成本. 10.解：(1)对于M(v)＝500loga v＋b，当v＝0时，该解析式无意义，所以不符合题意； 对于M(v)＝800()v＋a，易得它是个减函数，这与M(40)＜M(60)矛盾. 故选择M(v)＝v3＋bv2＋cv. 根据提供的数据得 解得 所以当0≤v＜80时，M(v)＝v3－2v2＋180v. (2)设该汽车在国道上的行驶速度为v1，0≤v1＜80. 国道路段长为200 km，则行驶所用时间为 h， 则国道路段行驶所耗电量(单位：Wh)为f(v1)＝×M(v1)＝×(v－2v＋180v1)＝5×(v－80v1＋7200)＝5×(v1－40)2＋28 000， 因为0≤v1＜80，所以当v1＝40时， f(v1)取最小值，f(v1)min＝28 000. 设该汽车在高速路段的行驶速度为v2，80≤v2≤120. 高速路段长为100 km，则行驶所用时间为 h， 则高速路段行驶所耗电量(单位：Wh)为g(v2)＝×N(v2)＝×(2v－10v2＋200)＝200×(v2＋－5)＝ 200×(v2＋)－1000， 因为g′(v2)＝200(1－)，当v2＞10时，g′(v2)＞0， 所以g(v2)在[80，120]上单调递增， 所以g(v2)min＝g(80)＝200×(80＋)－1000＝15 250. 故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为 80 km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少， 最少为28 000＋15 250＝43 250(Wh). 学科网（北京）股份有限公司 $$