微专题集训12 函数与方程-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训12　函数与方程 一、单项选择题 1．(2024·深圳高中一调)已知函数f(x)＝－log2 x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 2．(2024·河南南阳一中段考)已知函数f(x)＝81ln x－()x－3－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2024·黑龙江八校联考)已知f(x)＝e－x－ln x－2x，若x0是函数f(x)的一个零点，则x0＋ln x0的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．e＋1 4．(2024·福建三明一中月考)已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x－2|＝x有两个不同的解x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A．x1＜1，x2＞3 B．x1＞1，x2＜3 C．x1＞1，x2＞3 D．x1＜1，x2＜3 5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2 x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c则(　　) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 6．(2024·辽宁省实验中学月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝4x－1，则h(x)＝(x－1)f(x)－1在[－1，3]上所有零点之和为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 7．(2024·皖豫名校联考)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2f( f(x)－1)－1的零点个数为(　　) A．7 B．8 C．10 D．11 8．(2024·贵阳市统考)已知函数f(x)＝ax2－ex有三个零点，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C．(，e2) D．(，＋∞) 二、多项选择题 9．(2024·安徽马鞍山统考)已知函数f(x)＝(x2＋x)ex＋ln x的零点为x0，下列判断正确的是(　　) A．x0＜ B．x0＞ C．ex0＋ln x0＜0 D．x0＋ln x0＜0 10．已知函数f(x)＝，则以下结论正确的是(　　) A．f(2024)＝0 B．方程f(x)＝x－1有三个实根 C．当x∈[4，6)时，f(x)＝|x－5|－1 D．若函数y＝f(x)－t在(－∞，6)上有8个零点xi(i＝1，2，3，…，8)，则xif(xi)的取值范围为(－16，0) 三、填空题 11．(2024·乌鲁木齐质监(一))已知函数f(x)＝ex＋e2－x＋asin (x＋)有且只有一个零点，则实数a的值为________． 12．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x＜0时，f(x)＝x2，则方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为________． 13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则－(a＋b)c的取值范围为________． 14．(2023·甘肃二诊)已知函数y＝f(x)满足：当－2≤x≤2时，f(x)＝－x2＋1且f(x)＝f(x＋4)对任意x∈R都成立，则方程16f(x)＝4|x|＋1的实根个数是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训12　函数与方程 1.C　2.B 3.A　由题意可知，f(x0)＝e－x0－ln x0－2x0＝0，所以e－x0－x0＝x0＋ln x0，不妨设g(x)＝x＋ln x，(x＞0)，故g(e－x)＝e－x＋ln e－x＝e－x－x，从而g(e－x0)＝g(x0)，易知g(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，故e－x0＝x0，即ln e－x0＝ln x0，－x0＝ln x0，所以x0＋ln x0＝0.故选A. 4.C　令f(x)＝e|x－2|－x，则函数f(x)的图象在R上连续，∵f(1)＝e－1＞0，f(2)＝1－2＝－1＜0，f(3)＝e－3＜0，f(4)＝e2－4＞0，∴f(1)f(2)＜0，f(3)f(4)＜0，∴函数f(x)在区间(1，2)，(3，4)上各有一个零点，即1＜x1＜2，3＜x2＜4，故选C. 5.B　函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为方程f(x)＝0，g(x)＝0，h(x)＝0的根，方程f(x)＝0，g(x)＝0，h(x)＝0的根分别为直线y＝－x与y＝2x，y＝log2 x，y＝x3的图象的交点的横坐标.在同一坐标系中分别作出y＝2x，y＝log2 x，y＝x3和y＝－x的图象，如图所示，则a＜c＜b.故选B. 6.A　如图所示，又函数h(x)＝(x－1)f(x)－1的零点即为y＝f(x)的图象与y＝的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1，0)对称，从左至右，交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，所以x1＋x4＝2，x2＋x3＝2，所以零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＝4.故选A. 7.B　令g(x)＝0，得f(f(x)－1)＝.令f(x)－1＝t，则f(t)＝，作出函数f(x)的大致图象如图所示. 则f(t)＝有4个实数根t1，t2，t3，t4，其中t1∈(－3，－2)，t2∈(－2，－1)，t3∈(－1，0)，t4∈(1，2).若t∈(－3，－2)，则f(x)－1＝t有1个实数根；若t∈(－2，－1)，则f(x)－1＝t有1个实数根；若t∈(－1，0)，则f(x)－1＝t有4个实数根；若t∈(1，2)，则f(x)－1＝t有2个实数根，故f(x)－1＝t共有8个实数根，即函数g(x)有8个零点，故选B. 8.D　因为f(x)＝ax2－ex有三个零点，所以关于x的方程ax2－ex＝0有三个不等根，易知x＝0不是该方程的根，故当x≠0时，参变分离可得a＝.设g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝ex，当x＜0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.又g(x)＝>0恒成立，所以可作出函数g(x)的大致图象如图所示，由题意知，直线y＝a与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，所以a＞g(2)＝，故选D. 9.ABD　由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝(x2＋3x＋1)ex＋，因为f′(x)＝(x2＋3x＋1)ex＋＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.对于A，因为f()＝ －ln 2＞1－ln 2＞0，所以x0＜，故A正确；对于B，因为f()＝e－1＜e－1＝e－(e＋1－e)＜e－(e＋1－e)＜0，所以x0＞，故B正确；对于C，因为x0＞，则ln x0＞－1，ex0＞1，所以ex0＋ln x0＞0，故C错误；对于D，因为x0＜，所以x0＋ln x0＜－ln 2＜0，故D正确.故选ABD. 10.ACD　对于A，f(2024)＝f(2022)＝f(2020)＝…＝f(0)＝f(－2)＝|－2＋1|－1＝0，故A正确.对于B，f(x)＝和y＝x－1的图象如图所示，故方程f(x)＝x－1有四个根，故B错误.对于C，当x∈[4，6)时，f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝f(x－6)＝|x－6＋1|－1＝|x－5|－1，故C正确.对于D，y＝f(x)－t有8个零点，即y＝f(x)的图象与直线y＝t有8个交点，此时xif(xi)＝txi＝t[(－1)×2＋1×2＋3×2＋5×2]＝16t.又t∈(－1，0)，故16t∈(－16，0)，xif(xi)的取值范围为(－16，0)，故D正确.故选ACD. 11.解析：因为f(x＋1)＝ex＋1＋e1－x＋asin(x＋)＝e(ex＋e－x)＋acosx，所以函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)只有一个零点，所以由对称性可得，该零点就是x＝1，所以f(1)＝2e＋a＝0，故a＝－2e. 答案：－2e 12.解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当－1≤x＜0时，f(x)＝x2，由此画出f(x)在区间[－2，6]上的图象如图所示.f(x)＋＝0⇒f(x)＝－，由图可知，y＝－与f(x)的图象有4个交点，其中两个关于直线x＝1对称，两个关于直线x＝5对称，所以方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为2×1＋2×5＝12. 答案：12 13.解析：如图，根据题意有a＋b＝2×(－2)＝－4，－log2 c＝log2 d，即log2 dc＝0，解得dc＝1，故－(a＋b)c＝＋4c.又f(0)＝4，当－log2 c＝4时有c＝，故c∈.故y＝＋4c≥2 ＝4，当且仅当＝4c，即c＝时取等号.又当c＝时，y＝16＋＝；当c＝1时，y＝1＋4＝5＜，故－(a＋b)c的取值范围为. 答案： 14.解析：由题意可知函数y＝f(x)是以4 为周期的偶函数.由于16f(x)＝4|x|＋1，所以f(x)＝|x|＋，故原方程的实根就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝|x|＋的图象的交点的横坐标.因为当－2≤x≤2时，f(x)＝－x2＋1且f(x)＝f(x＋4)对任意x∈R都成立，所以当2≤x≤6时，－2≤x－4≤2，f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)2＋1＝－x2＋2x－3，由得作出y＝f(x)和y＝|x|＋的图象如图所示，由图可知，当0≤x≤2时，两函数图象只有一个交点，当2＜x≤6时，两函数图象只有一个交点，又两个函数均为偶函数，故两个函数图象有4个交点，所以原方程有4个根. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $$