微专题集训10 对数与对数函数-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训10　对数与对数函数 一、单项选择题 1．(2024·南京六校调研)若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝log32 4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 2．(2024·江苏省镇江中学质检)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)，且f(2)·g(2)＜0，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象是(　　) 3．(2024·杭州市质检)已知a＞1，b＞1，且log2＝logb 4，则ab的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 4．(2024·河南部分学校联考)设a＝log2 3，b＝log4 x，c＝log8 65，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是(　　) A．(9，65) B．(3，65) C．[9，65] D．[3，65] 5．(2024·重庆一中期末)已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(3)＞0，则此函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 6．(2023·山东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log3 8)的解集为(　　) A． B． C． D． 7．(2024·乌鲁木齐质监(一))已知函数f(x)＝ln，a＝log2 3，b＝log3 4，c＝log5 8，则(　　) A．f(a)＜f(c)＜f(b) B．f(a)＜f(b)＜f(c) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(c)＜f(b)＜f(a) 8．(2024·安徽十校联考)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋a)，若存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，4) B．(0，1)∪(1，4) C．(0，1) D．[4，＋∞) 二、多项选择题 9．(2024·重庆二调)若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．a＋b＞4c D．ab＞4c2 10．若0＜c＜1，a＞b＞1，则(　　) A．loga c＞logb c B．abc＞bac C．alogb c＞bloga c D．a(b－c)＞b(a－c) 11．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 12．已知函数f(x)＝ln x2－2ln(x2＋1)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．函数f(x)的值域为(－∞，－1] C．当x＞0时，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．函数f(x)的增区间为(－∞，－1)，(0，1) 三、填空题 13．计算下列各式：(1)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2＝________． (2)＝________． 14．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________．(写出一个即可) 15．(2024·沈阳二中质检)已知f(x)＝2＋log3 x，x∈[1，81]，则y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为________． 16．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训10　对数与对数函数 1.D　2.A 3.C　因为log2＝logb4，所以log2 a·log2 b＝4，所以log2(ab)＝log2 a＋log2 b≥2＝4，当且仅当log2 a＝log2 b＝2，即a＝b＝4时取等号.所以(ab)min＝24＝16.故选C. 4.A　∵a＝log2 3＝log8 27＜log8 65＝c，∴a<b<c，∴log2 3<log4 x<log8 65，∴log2 3<log2x<log2 65，∴3<x<65，得9<x<65，即x的取值范围是(9，65)，故选A. 5.D　已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(3)＝loga 12＞0，则a＞1，所以此函数的单调递增区间即t＝x2＋2x－3＝(x＋3)·(x－1)在满足t＞0的条件下，函数t的单调递增区间.再利用二次函数的性质可得，在满足t＞0的条件下，函数t的单调递增区间为(1，＋∞)，故函数的单调递增区间为(1，＋∞)，故选D. 6.C　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(log(2x－5))＞f(log3 8)化为＞，即log3(2x－5)＞log3 8或log3(2x－5)＜－log3 8＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.故选C. 7.A　f(x)＝ln＝ln(－1＋)，由＞0，得定义域为{x|－3＜x＜2}，由复合函数的单调性可得f(x)在(－3，2)上单调递减，由＝＝＝＝＜1，c＞1得b＜c.又9＞8，即32＞23，所以3>2，log2 3＞，同理8＜5，log5 8＜，所以c＜a，于是b<c<a，再结合f(x)的单调性可得f(a)＜f(c)＜f(b).故选A. 8.A　对于函数f(x)＝loga(x2－ax＋a)，若存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立，即函数f(x)存在最小值，则u＝x2－ax＋a的图象与x轴没有交点，且函数y＝loga u在(0，＋∞)上单调递增，所以解得1＜a＜4，所以实数a的取值范围是(1，4).故选A. 9.BCD　令2a＝3b＝6c＝m，则a＝log2 m，b＝log3 m，c＝log6 m，∴＝logm 2，＝logm 3，＝logm 6，∴＋＝logm 2＋logm 3＝logm 6＝，A选项错误，B选项正确；a＋b＝(a＋b)·c＝c＞c(2＋2)＝4c，(∵a≠b，∴等号无法取到)C选项正确；＝＋＝＞，∴ab＞4c2，D选项正确.故选BCD. 10.AB　结合题中条件，可作出函数y＝loga x，y＝logb x(x＞0)的图象，如图，由图可知，当x＝c时，loga c＞logb c，A正确；因为0＜c＜1，a＞b＞1，所以＝()c－1＞()0＝1，所以abc＞bac，B正确；由A知logb c＜loga c＜0，又a＞b＞1，所以alogb c＜blogb c，blogb c＜bloga c，所以alogb c＜bloga c，C不正确；因为0＜c＜1，a＞b＞1，所以ac＞bc，所以－ac＜－bc，所以ab－ac＜ab－bc，即a(b－c)＜b(a－c)，D不正确，故选AB. 11.AC　对于A，当a＝0时，解不等式x2－1＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，C，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg(x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1的图象的对称轴x＝－≤2，解得a≥－4.但当a＝－4时，f(x)＝lg(x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误. 12.AD　对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝ln(－x)2－2ln[(－x)2＋1]＝ln x2－2ln(x2＋1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，所以A正确.对于B，不妨设x＞0，此时f(x)＝2ln x－2ln(x2＋1)＝2ln，由＝≤＝(当且仅当x＝1时取“＝”)，得0＜≤，所以f(x)≤2ln＝－2ln 2，因为f(x)为偶函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，－2ln 2]，所以B错误.对于C由f＝2ln＝ln，f＝2ln＝2ln≠f，可知当x＞0时，函数f(x)的图象不关于直线x＝1对称，所以C错误.对于D，当x＞0时，f(x)＝2ln，由函数y＝x＋(x＞0)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)，可知当x＞0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)，增区间为(0，1)，结合f(x)图象对称性可得f(x)的增区间为(－∞，－1)，(0，1)，所以D正确.故选AD. 13.解析：(1)原式＝lg(5×100)＋lg 8－lg 5－lg 26＋50＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 答案：(1)52　(2)1 14.解析：符合对数函数幂的对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2 x，nf(x)＝nlog2 x＝log2 xn＝f(xn). 答案：log2x(答案不唯一) 15.解析：由f(x)＝2＋log3 x，得y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3 x)2＋2＋log3 x2＝(2＋log3 x)2＋2＋2log3 x＝(log3 x＋3)2－3. ∵函数f(x)的定义域为[1，81]， ∴∴1≤x≤9，∴0≤log3x≤2， ∴当log3 x＝2，即x＝9时，ymax＝22.∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为22. 答案：22 16.解析：因为f(x)＝，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，所以－log3 m＝log3 n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3 m2＝2或log3 n＝2.若－log3 m2＝2，得m＝，则n＝3，此时log3 n＝1，满足题意，那么＝9.同理，若log3 n＝2，得n＝9，则m＝，此时－log3 m2＝4＞2，不满足题意.综上可得＝9. 答案：9 学科网（北京）股份有限公司 $$