微专题集训9 指数与指数函数-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训9　指数与指数函数 一、单项选择题 1．若函数f(x)＝a＋m(a＞1)的图象恒过定点(n，10)(n＞1)，则m＋n＝(　　) A．13 B．9 C．4 D．10 2．已知a＝()－，b＝()－，c＝()－，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 3．若函数y＝()|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，0) C．[1，＋∞) D．(0，1] 4．函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是(　　) 5．(2023·江西六校联考)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式ax＋3a－1＜e－x成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·e－(P0为污染物总量)，要能够按规定排放废气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为(参考数据：取ln 5＝1.609，ln 2＝0.693)(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 7．(2023·安徽模拟)已知函数f(x)＝|3x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(b)＞f(c)，则下列结论中一定成立的是(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．3－a＜3c D．3a＋3c＜2 8．(2024·辽宁锦州两校联考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3 成立的x的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，1] C．[0，1) D．(0，1) 二、多项选择题 9．已知10a＝2，102b＝5，则下列结论正确的是(　　) A．a＋2b＝1 B．ab＜ C．10a＋b＞4 D．a＞b 10．若4x－4y＜5－x－5－y，则(　　) A．x＜y B．y－3＞x－3 C． lg (y－x)＞0 D．()y＜3－x 11．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)的图象关于y轴对称 B．对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＞0 C．对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＞0 D．函数f(x)与g(x)既无最小值，也无最大值 12．已知函数y＝f(x)和y＝f(－x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]称为函数y＝f(x)的“稳定区间”．已知区间[1，2023]为函数f(x)＝的“稳定区间”，则实数a的值可能是(　　) A．－ B．－ C．0 D． 三、填空题 13．函数f(x)＝()的单调递减区间为________． 14．已知常数a＞0，函数f(x)＝的图象经过点P(p，)，Q(q，－)，若2p＋q＝16pq，则a＝________． 15．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________． 16．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝|x＋a|－2(a∈R)，若函数y＝f(g(x))是偶函数，则a＝________；若函数y＝g( f(x))存在两个零点，则a的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训9　指数与指数函数 1.A　2.B 3.B　y＝()|1－x|＋m与x轴有公共点，即y＝()|1－x|与y＝－m有公共点，y＝()|1－x|的图象如图.由图可知0＜－m≤1⇒－1≤m＜0. 4.D　因为y＝＝且0＜a＜1，所以根据指数函数的图象和性质可知，当x∈(0，＋∞)时，函数单调递减，图象逐渐下降；当x∈(－∞，0)时，函数单调递增，图象逐渐上升.故选D. 5.C　令f(x)＝ax＋3a－1(x＞0)，g(x)＝e－x(x＞0)，当a≤0时，ax＋3a－1＜0，此时结论显然成立.当a＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)＜g(x)成立，则∴0＜a<.综上所述，实数a的取值范围是a＜，故选C. 6.C　由题意，因为P＝P0·e－，所以P0≥P0·e－，所以≥e－，ln≥－t，t≥ln＝ln 200＝ln(52×23)＝2ln 5＋3ln 2＝5.297，所以t≥15.891，故正整数n的最小值为16.故选C. 7.D　作出f(x)的图象，如图所示.因为a<b<c，且f(a)＞f(b)＞f(c)，所以a＜b＜0，且定存在b′＞0，使f(b)＝f(b′)，则b<c<b′故排除A，B；取a＝－1，c＝0，可排除C；当c＞0时，f(a)＝1－3a＞f(c)＝3c－1，所以3a＋3c＜2，当c≤0时，3a＜1，3c≤1，则3a＋3c＜2，故D一定成立. 8.D　因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，＝－，得1－a·2x＝a－2x，所以(2x＋1)(a－1)＝0恒成立，因为2x＞0，所以a＝1，所以f(x)＝＝1＋，x≠0，因为f(x)＞3，所以1＋＞3，得＞1，即＞0，所以x≠0，且(2x－1)(2x－2)＜0，得1<2x<2，解得0＜x＜1. 9.ABC　因为10a·102b＝10a＋2b＝10，所以a＋2b＝1，A正确；易知a>0，b>0，由基本不等式得a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号，又10a≠102b，即a≠2b，所以ab＜，B正确；10a＋b＝2＞4，C正确；由(10a)2＝102a＝4＜5＝102b，得a＜b，D错误.故选ABC. 10.AD　由4x－4y＜5－x－5－y，得4x－5－x＜4y－5－y.令f(t)＝4t－5－t＝4t－，由指数函数的单调性可得，f(t)在R上单调递增，由4x－5－x＜4y－5－y得f(x)＜f(y)，所以x＜y，则3－x＞3－y＝()y，故A，D正确；不妨令x＝1，y＝2，则x－3＞y－3，故B不正确；不妨令x＝0，y＝1，则x＜y，但lg(y－x)＝0，故C不正确，故选AD. 11.AB　f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，易知f(x)在R上单调递增，g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)为偶函数，易知g(x)在定义域R上不具有单调性，所以A，B正确，C错误，对于f(x)，x→＋∞时，f(x)→＋∞，x→－∞时，f(x)→－∞，所以f(x)无最值；对于g(x)，g(x)＝≥＝1，当且仅当ex＝1，即x＝0时等号成立，所以g(x)有最小值.所以D错误，故选AB. 12.AB　依题意，f(x)＝，f(－x)＝，f(x)与f(－x)在区间[1，2023]上单调性相同.当a≥0时，f(x)＝()x＋a在[1，2023]上单调递减，f(－x)＝2x＋a在[1，2023]上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f(x)＝，所以f(x)在(－∞，－log2(－a))上单调递减，在(－log2(－a)，＋∞)上单调递增，f(－x)＝，所以f(－x)在(－∞，log2(－a))上单调递减，在(log2(－a)，＋∞)上单调递增，所以或，得－2≤a≤－.故选AB. 13.解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝()u在R上为减函数，∴函数f(x)＝()的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间.又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]. 答案：(－∞，1] 14.解析：由条件可知＝，得＝，得＝－①；＝－，得＝－，得＝－6 ②.①×②得＝1，∵2p＋q＝16pq，∴＝1，又a＞0，∴a＝4. 答案：4 15.解析：当a<0时，f(a)<1⇔()a－7<1. ∴2－a<8，∴－a<3.∴－3<a<0. 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，∴0≤a<1. 故a的取值范围是(－3，1). 答案：(－3，1) 16.解析：函数f(x)＝3x，g(x)＝－2，因为y＝f(g(x))＝3－2为偶函数，所以f(g(－x))＝3－2＝f(g(x))，所以＝对x∈R恒成立，则a＝0.函数y＝g(f(x))＝－2，当a≥0时，g(f(x))＝3x＋a－2，在R上为增函数，至多有一个零点.不符合题意；当a＜0时，g(f(x))＝，故g(f(x))min＝g(f(log3(－a)))＝－2＜0，又x＜log3(－a)时，－3x－a＜－a，所以－a－2＞0，解得a＜－2，所以a的取值范围为(－∞，－2). 答案：0　(－∞，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $$