微专题集训6 函数的概念及其表示-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

第二单元　函数 微专题集训6　函数的概念及其表示 一、单项选择题 1．(2023·黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟)函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A． B．(－∞，) C． D．(－∞，1) 2．(2023·河南洛阳一高模拟)若函数f(x)的定义域为[0，16]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．[1，4] B．(1，4] C．[1，14] D．(1，14] 3．(2024·济南十一校联考)已知函数f(x)＝则f(9)＝(　　) A．2 B．9 C．65 D．513 4．(2023·重庆模拟)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝x2－1(x＞1) C．f(x)＝x2－1(x≥1) D．f(x)＝x2－1(x≥0) 5．(2023·江苏南京模拟)设函数f(x)＝则f(8)＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 6．(2024·福建漳州联考)已知函数f(x)＝若实数a满足f( f(a))＝1，则实数a的所有取值的和为(　　) A．1 B．－ C．－－ D．－2 7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为{0，1} B．f(x)的值域为[0，1] C．∃x∈R，f( f(x))＝0 D．对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 8．(2023·山东济南模拟)已知函数f(x)＝若f(a2－4)＞f(3a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．(－4，1) D．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是R C．f(x)为单调递增函数 D．若f(x)＝4，则x＝±2 10．(2024·山东潍坊期中)已知函数f(x)＝其中a∈R，下列关于函数f(x)的判断正确的为(　　) A．当a＝2时，f()＝4 B．当|a|＜1时，函数f(x)的值域为[－2，2] C．当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1(2－4) D．当a＞0时，不等式f(x)≤2ax－在[0，＋∞)上恒成立 三、填空题 11．(2024·陕西西北工业大学附属中学第二次适应性考试)设f(x)＝若f(a)＝f(ea)，则f()＝__________． 12．(2023·陕西省二检)已知函数f(x)＝则f( f(x))＜2的解集为________． 13.(开放题)计算机绘图是相对于手工绘图而言的一种高效率、高质量绘图技术，利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，我们把图象形似如图所示图形的函数称为m形函数．写出一个定义域为[－2，2]且值域为[0，2]的m形函数________． 14．函数f(x)＝当λ＝5时，不等式f(x)＜－1的解集是________，若函数f(x)的值域是R，则实数λ的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元　函数 微专题集训6　函数的概念及其表示 1.A　2.B 3.A　因为f(x)＝所以f(9)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝1＋1＝2，故选A. 4.C　　f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，令t＝＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)，故选C. 5.C　由f(x)＝得f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C. 6.C　作出y＝f(x)及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f(x)与y＝1有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2. 令f(a)＝－4，则由图可得log2 a＝－4，解得a＝2－4＝； 令f(a)＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2 a＝0，解得a＝－2－或a＝－2＋或a＝1； 令f(a)＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2(a≤0)或log2 a＝2，解得a＝－2－或a＝22＝4. 所以实数a的所有取值的和为＋(－2－)＋(－2＋)＋1＋(－2－)＋4＝－－，故选C. 7.D　由题意知f(x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，所以当f(x)＝0时，f(f(x))＝f(0)＝1，当f(x)＝1时，f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x)＝f(x＋T)＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确，故选D. 8.B　由题意知f(x)＝易知函数f(x)在(－∞，m]，(m，＋∞)上单调递增，且m－m＝－(m－m)2，所以函数f(x)在R上单调递增.则由f(a2－4)＞f(3a)，得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)，故选B. 9.ABC　因为f(x)＝所以函数的定义域为R，故A正确；当x≥2时，x2≥4，当x＜2时，x＋2＜4，所以f(x)的值域为R，故B正确；当x＜2时，y＝x＋2＜4为增函数，当x≥2时，y＝x2≥4为增函数，且f(x)连续，故f(x)＝为R上的增函数，故C正确；当f(x)＝4时，若x＜2，则x＋2＝4，解得x＝2(舍去)，若x≥2时，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，故x＝2，故D不正确. 10.AC　对于A，当a＝2时，f()＝2f()＝2×(2－4×)＝4，故A正确； 对于B，由于当0≤x≤1时，函数的值域为[0，2]，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，由于x－m∈(0，1]，所以f(x－m)∈[0，2]，因为|a|＜1，所以am∈(－1，1)，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)∈(－2，2)，综上，当|a|＜1时，函数f(x)的值域为(－2，2]，故B错误； 对于C，由B得当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，故当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1f(x－n＋1)＝2n－1·(2－4)＝2n－1(2－4)＝2n－1·(2－4)，故 C正确； 对于D，取a＝，x＝，则f()＝2－4×＝1，2a＝2×()＝2×()＝2×(2－8)＝2×2－2＝，不满足f(x)≤2a，故D错误. 11.解析：根据题意作出函数f(x)的图象，如图所示，若f(a)＝f(ea)，(观察图象，知a，ea必有一个落在区间(0，1)上，一个落在区间(1，＋∞)上) 必有0<a<1<ea或0<ea<1<a，当a>1时，ea>1，不能成立，则必有0<a<1<ea，则有＝ln ea，变形可得＝a，解得a＝，则f＝f(e)＝ln e＝. 答案： 12.解析：易得函数f(x)在R上单调递增.因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x＜1时，f(x)＝2ex－1＜2，且13＋1＝2e1－1＝2，所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1，此时f(x)＝2ex－1，即2ex－1＜1，解得x＜1－ln 2，所以f(f(x))＜2的解集为(－∞，1－ln 2). 答案：(－∞，1－ln 2) 13.解析：根据题意，结合对称性，不妨选择二次函数作为基础函数，由题图可知，该函数为偶函数，可以认为其有3个零点，－2，0，2，且x∈[－2，0]时图象的对称轴为直线x＝－1，f(－1)＝2，x∈[0，2]时图象的对称轴为直线x＝1，f(1)＝2，则满足条件的函数可以是f(x)＝2(－2≤x≤2)或f(x)＝2|x|(2－|x|)(－2≤x≤2)或f(x)＝2|sinx|(－2≤x≤2)等，答案不唯一. 答案：f(x)＝2|x|(2－|x|))(－2≤x≤2)(答案不唯一，f(x)＝2|x|(2－|x|)(－2≤x≤2)或f(x)＝2|sin x|(－2≤x≤2)也可) 14.解析：当λ＝5时，不等式f(x)＜－1⇔或，解得－4＜x＜－1或x＞8.∴不等式f(x)＜－1的解集是(－4，－1)∪(8，＋∞). 若函数f(x)的值域是R.则只要当x≤2时，(x2＋λx＋3)min≤1，记g(x)＝x2＋λx＋3(x≤2)，下面求g(x)的最小值.由于二次函数y＝x2＋λx＋3的图象的对称轴为直线x＝－，∴当－＜2，即λ＞－4时，g(x)min＝g(－)＝3－；当－≥2，即λ≤－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋2λ.因此或解得－4＜λ≤－2或λ≥2或λ≤－4，∴λ的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞). 答案：(－4，－1)∪(8，＋∞)　(－∞，－2]∪[2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$