微专题集训5 二次函数与一元二次方程、不等式-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训5　二次函数与一元二次方程、不等式 一、单项选择题 1．已知不等式mx2＋nx－<0的解集为{x|x<－或x>2}，则m－n＝(　　) A． B．－ C． D．－1 2．函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则实数m取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，＋∞) 3．关于x的不等式x2－4x－6－a≥0在[1，4]内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤－2} B．{a|a≥－2} C．{a|a≥－6} D．{a|a≤－6} 4．(2024·莱西期中)已知关于x的不等式ax2＋(1－3a)x＋2≥0的解集为A，设B＝{－1，1}，B⊆A，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 5．若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．(2024·鄂尔多斯期中)已知函数f(x)＝，若方程f2(x)＋bf(x)＋2＝0有8个相异实根，则实数b的取值范围是(　　) A．(－4，－2) B．(－4，－2) C．(－3，－2) D．(－3，－2) 7．(2024·江苏省海门中学检测改编)对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[－1.2]＝－2，[1.5]＝1，那么不等式4[x]2－16[x]＋7＜0成立的充分不必要条件是(　　) A．＜x＜ B．1≤x≤3 C．1≤x＜4 D．1≤x≤4 8．(2024·四川省成都市新都区检测)不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立的充要条件是(　　) A．m＞ B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1 二、多项选择题 9．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(－∞，a)∪(－1，＋∞) 10．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则(　　) A．x1x2＋x1＋x2＜0的解集为 B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－ C．x1＋x2＋的最大值为－ D．x1＋x2＋的最小值为 11．(2024·湖南长沙长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b＞0(a＞0)的解集是{x|x≠d，d∈R}，则下列四个结论中正确的有(　　) A．a2＝4b B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，则x1x2＞0 D．若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 12．已知两个变量x，y的关系式f(x，y)＝x(1－y)，则以下说法正确的是(　　) A．f(1，3)＝f(3，1)＝0 B．对任意实数a，都有f(a，a)≤成立 C．若对任意实数x，不等式f(x－a，x)≤－a＋4恒成立，则实数a的取值范围是[－5，3] D．若对任意正实数a，不等式f(x－a，x)≤－a＋4恒成立，则实数x的取值范围是(－∞，0) 三、填空题 13．(2024·北京人大附中月考)当x∈[0，3]时，不等式x2＋(a－4)x＋4＞0(a＞0)恒成立，则实数a的取值范围为________． 14．(2024·江苏省常州一中阶段质量调研)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋2a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值集合是________． 15．(2024·广东省佛山市九江中学第一次检测)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(2，3)，若对于任意x∈[－3，3]，不等式f(x)－t2＋t≤0恒成立，则t的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训5　二次函数与一元二次方程、不等式 1.B　2.C 3.D　关于x的不等式x2－4x－6－a≥0在[1，4]内有解等价于a≤(x2－4x－6)max，x∈[1，4].易知函数y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，所以当1≤x≤4时，－10≤y＝x2－4x－6≤－6.所以a≤－6.故选D. 4.B　由题意，得当x＝－1和1时，a(x2－3x)＋x＋2≥0成立，则可得－≤a≤.故选B. 5.D　令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.当2a＞1，即a＞时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0的解集为{x|1＜x＜2a}，则3＜2a≤4，解得＜a≤2；当2a＝1，即a＝时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0无解，所以a＝不符合题意；当2a＜1，即a＜时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0的解集为{x|2a＜x＜1}，则－2≤2a＜－1，解得－1≤a＜－.综上，a的取值范围是{a|－1≤a＜－或＜a≤2}.故选D. 6.D　令f(x)＝t，则方程f2(x)＋bf(x)＋2＝0⇔方程t2＋bt＋2＝0.作出函数f(x)＝的大致图象如图所示，根据图象可得，方程f2(x)＋bf(x)＋2＝0有8个相异实根，即方程t2＋bt＋2＝0有2个相异实根t1，t2，且t1，t2∈(1，2)，则 解得－3＜b＜－2.故选D. 7.B　不等式4[x]2－16[x]＋7＜0⇔(2[x]－1)(2[x]－7)＜0⇔＜[x]＜，因此[x]＝1或[x]＝2或[x]＝3，于是得1≤x＜2或2≤x＜3或3≤x＜4，即1≤x＜4，观察四个选项，显然选项B中[1，3][1，4)，而选项A，C，D中的集合均不真包含于[1，4)，所以不等式4[x]2－16[x]＋7＜0成立的充分不必要条件是1≤x≤3，故选B. 8.A　令f(x)＝x2－x＋m，则x2－x＋m＞0在R上恒成立等价于f(x)的图象全在x轴上方，而f(x)图象开口向上，所以Δ＜0，即(－1)2－4m＜0，解得m＞，即x2－x＋m＞0在R上恒成立等价于m＞，故x2－x＋m＞0在R上恒成立的一个充要条件为m＞.故选A. 9.ABC　对于一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0，其中a≠0， 当a＞0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，－1， 故不等式的解集为x∈(－∞，－1)∪(a，＋∞)； 当a＜0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)开口向下， 若a＝－1，不等式解集为∅； 若－1＜a＜0，不等式的解集为(－1，a)； 若a＜－1，不等式的解集为(a，－1). 10.ABC　∵不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，根据根与系数的关系，可得x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，则x1x2＋x1＋x2＜0可化为3a2＋4a＜0，解得－＜a＜0，∴A正确；x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝3(a＋)2－≥－，∴B正确；x1＋x2＋＝4a＋，∵a＜0，∴－4a－≥2＝，当且仅当－4a＝－，即a＝－时取等号，即4a＋≤－，故x1＋x2＋的最大值为－，∴C正确，D错误. 11.ABD　对于选项A，由题意得Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，故A正确.对于选项B，a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当a2＝，即a＝时，等号成立，故B正确.对于选项C，由一元二次方程根与系数的关系知，x1x2＝－b＝－＜0，故C错误.对于选项D，由一元二次方程根与系数的关系知，x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝2－c，所以|x1－x2|＝＝＝2＝4，解得c＝4，故D正确，故选ABD. 12.BC　对于A选项，f(1，3)＝1×(1－3)＝－2，f(3，1)＝3×(1－1)＝0，即f(1，3)≠f(3，1)，则A选项错误.对于B选项，f(a，a)＝a(1－a)＝a－a2＝－＋＝－(a－)2＋≤，则B选项正确.对于C选项，f(x－a，x)＝(x－a)(1－x)＝－x2＋(a＋1)x－a≤－a＋4恒成立，即x2－(a＋1)x＋4≥0恒成立，则Δ＝(a＋1)2－16≤0，解得－5≤a≤3，即实数a的取值范围是[－5，3]，则C选项正确.对于D选项，x2－(a＋1)x＋4≥0恒成立，令g(a)＝－ax＋x2－x＋4，当x＞0时，g(a)在(0，＋∞)上单调递减，所以当a＞0时，x2－(a＋1)x＋4≥0不恒成立；当x＝0时，g(a)＝4≥0恒成立；当x＜0时，g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝x2－x＋4＝x2－x＋＋＝＋＞0，所以当a＞0时，g(a)＞0恒成立.所以实数x的取值范围是(－∞，0]，则D选项错误，故选BC. 13.解析：由题得x2＋ax－4x＋4＞0，所以ax＞－x2＋4x－4.当x＝0时，0＞－4恒成立，a∈R.当x∈(0，3]时，a＞＝－(x＋)＋4.因为x∈(0，3]，所以x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)，所以－(x＋)＋4≤－4＋4＝0，所以a＞0.综上，实数a的取值范围为(0，＋∞). 答案：(0，＋∞) 14.解析：令f(x)＝x2－6x＋2a，易知此函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－＝3，因为一元二次不等式x2－6x＋2a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以这三个整数分别是2，3，4，则有即解得＜a≤4，由a∈Z，得a＝3或4，故a的取值集合是{3，4}. 答案：{3，4} 15.解析：由不等式f(x)＜0的解集是(2，3)，知2和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系，得2＋3＝－b，2×3＝c，即b＝－5，c＝6，所以f(x)＝x2－5x＋6.不等式f(x)－t2＋t≤0对于任意x∈[－3，3]恒成立，即f(x)≤t2－t对于任意x∈[－3，3]恒成立，由于函数f(x)＝x2－5x＋6图象的对称轴是直线x＝，故当x＝－3时，f(x)取最大值，f(x)max＝f(－3)＝30，所以只需t2－t≥30，即t2－t－30≥0，解得t≥6或t≤－5，故t的取值范围为(－∞，－5]∪[6，＋∞). 答案：(－∞，－5]∪[6，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$