微专题集训4 不等式与不等关系、基本不等式-【高考领航】2025年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训4　不等式与不等关系、基本不等式 一、单项选择题 1．(2024·四川乐山一调)已知x＞0，y>0，且(x－2)(y－4)＝8，则2x＋y的最小值为(　　) A．16 B．8＋4 C．12 D．6＋4 2．(2024·山东潍坊考试)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为(　　) A．4＋4 B．12 C．8＋4 D．16 3．(2023·河南省信阳市模拟)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 4．(2024·河南省郑州市回民高级中学段考)已知x>0，y>0，若x＋y＝2，则＋的最小值是(　　) A．9 B． C． D． 5．(2023·四川省乐山市模拟)已知函数f(x)＝x3－ax2－bx(a>0，b>0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 6．(2023·福建省宁德市模拟)已知0<α<β＜，a＝sin3α－sin3β，b＝3(ln sin α－ln sin β)，c＝3(sin α －sin β)，则(　　) A．b<c<a B．c<b<a C．c<a<b D．a<b<c 7．(2024·杭州部分重点中学考试)若a，b，c均为正实数，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 8．(2024·名师原创)已知x，y，z为实数，且4x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋2yz＝1，则2x＋y＋z的最小值为(　　) A． B． C．－ D．－ 二、多项选择题 9．(2023·湖南省邵阳二中模拟)如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列结论一定正确的是(　　) A．ab>ac B．cb2<ab2 C．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0 10．(2023·河北省衡水市模拟)已知<<0，则下列不等式一定成立的有(　　) A．>1 B．<0 C．< D．bc<ba 11．(2024·江苏省南京市调研)已知a>b>0，则(　　) A．> B．a－>b－ C．a3－b3>2(a2b－ab2) D．－>－ 12．已知a>0，b>0，且满足a≥＋，b≥＋，则a2＋b2的取值可以为(　　) A．10 B．11 C．12 D．20 三、填空题 13．(2024·湖北省襄阳五中测试)若正实数a，b满足2a＋b＝1，则＋的最小值是__________． 14．已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0)，若再添加m g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式： ①<；②<；③(a＋2m)(b＋m)<(a＋m)(b＋2m)；④<. 其中成立的有__________．(填序号) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题集训4　不等式与不等关系、基本不等式 1.A　2.C 3.C　∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1，由c＜cb＜ca＜1，得0＜a＜b＜1，∵＝aa－b＞1，∴ab＜aa，∵＝()a，0＜＜1，a＞0，∴()a＜1，即aa＜ba，综上可知，ab＜aa＜ba，故选C. 4.B　由x＋y＝2，得2x＋1＋2y＝5，由x＞0，y＞0，得2x＋1＞0，2y＞0，利用柯西不等式，得(2x＋1＋2y)≥(·＋·)2＝9，即＋≥，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值是.故选B. 5.D　函数f(x)＝x3－ax2－bx(a＞0，b＞0)，f′(x)＝x2－ax－b，由函数f(x)的一个极值点为1，可得f′(1)＝0，即－a－b＝0，得a＋b＝，所以ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故ab最大值为.故选D. 6.A　因为0<α<β＜，所以0＜sin α＜sin β＜1，a－c＝sin3α－3sin α－(sin3β－3sin β)，令f(x)＝x3－3x，x∈(0，1)，则f′(x)＝3(x＋1)(x－1)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，所以f(sin α)＞f(sin β)，所以a－c＞0，即a＞c；c－b＝3(sin α－ln sin α)－3(sin β－ln sin β)，令g(x)＝3(x－ln x)，x∈(0，1)，则g′(x)＝＜0，所以g(x)在(0，1)单调递减，所以g(sin α)＞g(sin β)，所以c－b＞0，即c＞b.综上，b＜c<a.故选A. 7.A　因为a，b，c均为正实数，所以＝≤＝＝＝ ≤ ＝，当且仅当＝2b且a＝c，即a＝b＝c时取等号，所以的最大值为.故选A. 8.D　因为4x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋2yz＝1，所以4x2＋(y＋z)2＋x(y＋z)＝1，所以(2x＋y＋z)2＝1＋3x(y＋z)≤1＋×，当且仅当2x＝y＋z＝±时取等号，所以(2x＋y＋z)2≤1，所以－≤2x＋y＋z≤，所以2x＋y＋z的最小值为－，故选D. 9.ACD　由c<b<a，且ac<0，得a＞0，c＜0.对于A，由c<b，a＞0得ac＜ab，故A正确.对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确.对于C，b－a＜0，c＜0，故c(b－a)＞0，故C正确.对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac(a－c)＜0，故D正确.故选ACD. 10.BD　由<<0，得c≠0，当c＞0时，0＞＞，即a＜b＜0；当c<0时，0＜＜，即a＞b＞0.综上，a＜b＜0＜c或a＞b＞0＞c，上述两种情况均可得0＜＜1，故A选项错误.当a＜b＜0＜c时，得＜0，当a＞b＞0＞c时，得＜0，故B选项正确.令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得＞，故C选项错误.由上述论证可知bc＜0＜ba恒成立，故D正确.故选BD. 11.AC　对于A，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，a＞b＞0，所以＞，故A正确. 对于B，由a－＞b－，得a－b＋－＞0，即(a－b)·＞0，因为a>b>0，所以a－b＞0，ab＞0，所以1－＞0，所以ab>1，而该式不一定成立，所以不等式a－＞b－不一定成立，故B不正确. 对于C，由a3－b3＞2(a2b－ab2)，得(a－b)(a2－ab＋b2)＞0，因为a－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即(a－b)2＋ab＞0，该不等式恒成立，故C正确. 对于D，由－＞－，得－>－，即＞，所以＋＞＋，该不等式不成立，故D不正确. 12.CD　因为a≥＋，b≥＋，所以a2≥4＋，b2≥5＋，故a2＋b2≥4＋＋5＋≥9＋2＝11，当且仅当a2＝4＋，b2＝5＋且＝时等号成立，而a＝b时a2≠b2，即等号不能同时成立. 所以a2＋b2＞11，故A，B错误，C，D正确.故选CD. 13.解析：设u＝2－2a，v＝2－b，则a＝，b＝2－v，又2a＋b＝1，所以u＋v＝3(u，v＞0)，则＋＝＋＝＋－＝(u＋v)－＝－≥(3＋2)－＝1＋－＝－，当且仅当v＝u，即v＝6－3，u＝3－3时等号成立，所以＋的最小值是－. 答案：－ 14.解析：对于①，由题意，可知＜，正确；对于②，因为m＜2m，所以<＝，正确；对于③，<＝，即(a＋m)(b＋2m)＜(a＋2m)(b＋m)，错误；对于④，＜＝＝＜，正确. 答案：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $$