精品解析：福建省安溪第八中学2024-2025学年高三上学期8月份质量检测数学试题

福建省安溪第八中学2024-2025学年高三年上学期8月份质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设集合，且，则（ ） A. B. C. 8 D. 6 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）. 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 6 新生儿数量y 1723 1523 1465 1200 1062 956 经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且，据此预测2023年新生儿数量约为（ ）（精确到0.1）（参考数据：） A. 773.2万 B. 791.1万 C. 800.2万 D. 821.1万 5. 若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 若，为锐角，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（    ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，，，且 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 已知，，，则的最小值为________. 14. 设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角. （1）若，求的大小； （2）求的最小值. 16. 已知各项均为正数的数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等差数列，求数列的前n项和． 17. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，，. 18. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，P是线段AD上一点. （1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且，证明：平面； （2）若E到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求AP的长. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若是的一个极大值点，求的取值范围； （3）令且是的两个极值点，是的一个零点，且互不相等.问是否存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省安溪第八中学2024-2025学年高三年上学期8月份质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设集合，且，则（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可. 【详解】由，可得或， 即或，而， ∵， ∴，可得. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算及除法运算化简可得，再根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为， 由，所以， 即， 则. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列式，利用换底公式和特殊角的函数值求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以，所以. 故选：C 4. 下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）. 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 6 新生儿数量y 1723 1523 1465 1200 1062 956 经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且，据此预测2023年新生儿数量约为（ ）（精确到0.1）（参考数据：） A. 773.2万 B. 791.1万 C. 800.2万 D. 821.1万 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，，得回归直线方程，再代入可得结果. 【详解】由题意得，， 所以， ， 当时，. 故选：A. 5. 若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设过点P的直线与曲线相切点，斜率相等列等式可得方程有3个不同的实数根，最后结合零点存在定理列式计算即可. 【详解】设过点P的直线与曲线相切于点，则=， 其中表示直线的斜率，即，整理，得. 过点P可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根. 设，则.由，得或，易知和是的两个极值点. 方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点， 所以，即，解得. 故选:B． 6. 设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. 7. 若，为锐角，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得，从而求得的最小值. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 即，得， 由于，为锐角，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故选：A 8. 已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（    ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先得到椭圆在处的切线方程为，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q的坐标，求出当切线斜率不存在时，，当切线斜率存在时，设为，由与圆相切得到，求出椭圆两切线方程，得到，求出，求出的最大值. 【详解】当点坐标为时，此时切线的斜率不存在， 不妨设，此时中令得：， 所以不妨令， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得： ， 所以， 把代入，得：， 于是 则椭圆的切线斜率为， 所以椭圆的切线方程为，整理得：， 方程两边同除以，得到， 当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为， 中令，可得， 故当切线斜率不存在，切线也满足， 综上：椭圆在处的切线方程为， 故过的两切线分别为和， 联立可得：，此时，同理可得时，， 当切线的斜率存在时，设为， 因为与相切，所以，即， 与联立得： ，设， 则过的椭圆的切线方程为和， 联立得：， ， 则， 综上：的最大值为4. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分直线的倾斜角为锐角、钝角讨论，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，结合抛物线定义、图形性质可得答案. 【详解】当的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以，则，所以直线的倾斜角； 当直线的倾斜角为钝角时， 如图所示，由抛物线（）的焦点为， 准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以，则， 则的倾斜角为. 故选：BC. 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，，，且 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，根据单调区间可判断；B选项，由中心对称得代入计算得到可判断；C选项，直接解方程求出3个根，可判断；D选项，设出切点，计算切线方程，得到有三个不同的解，构造函数，计算极值可得解. 【详解】对于A，，，函数在上为减函数， 则，对， 所以，解得，故A正确； 对于B，函数的对称中心为，则，即，解得，故B错误； 对于C，当时，，则即， 化简得，其3个根为，，，所以，故C正确； 对于D，当时，，设切点为，则，切线的斜率， 则切线方程为， 将点代入上式，整理得， 过点可作曲线的三条切线， 即方程有三个不同的解， 令， 则，可得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 在处取得极大值，极大值为， 由方程有三个不同的解， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，令，得到，从而求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得， 故. 故答案为： 13. 已知，，，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将所求式子化简整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】 （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 14. 设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则__________. 【答案】2021 【解析】 【分析】利用赋值法求解，令，则，再令，结合题意中条件求得，可求得，进而可得结果. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，则，故，因此. 则， 即. 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意. 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法： （1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解； （2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角. （1）若，求的大小； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出的大小. (2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 在中， ， 进而， ， ， 又不为直角，则，， ，. 【小问2详解】 由(1)知， 转化为，又，，. ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 16. 已知各项均为正数的数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等差数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由得到是等比数列，再按照等比数列的通项公式求解即可； （2）先由，，成等差数列求出，再按照错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，得，∵，∴ 所以，又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由成等差数列可知，， 所以． 所以，① ，② 由①-②，得， ， 故. 17. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，，. 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）由正态分布的性质可求得，由此可估计进入面试的人数． （2）由已知得的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案. 【小问1详解】 因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此，进入面试的人数大约为16. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10， 则； ； ； ； ； . 所以. 18. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，P是线段AD上一点. （1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且，证明：平面； （2）若E到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求AP的长. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 因为，且，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2），或. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，通过比例线段证明，可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点的位置即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取的中点，连接，则，且， 因为四边形与四边形为全等的等腰梯形，所以， 四边形为等腰梯形，且，， ，，又，所以， 因为平面，且为两条相交直线，所以平面， 平面，所以平面平面. 平面平面, 过在平面内作的垂线，垂足为，则平面， ，. 过作，易得两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，， 设（），所以，，. 设平面的一个法向量，则 ， 令，解得，，所以， 设PF与平面所成角的大小为，则 ， 解得，且满足题意， 所以，或. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若是的一个极大值点，求的取值范围； （3）令且是的两个极值点，是的一个零点，且互不相等.问是否存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由. 【答案】（1）单调递减区间为，，单调递增区间为， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）令，即可判断有两个不等实根，，不妨设，再对、、的大小关系分类讨论，即可得到，从而求出的范围； （3）求出函数的导函数，即可得到，，再确定，根据等差数列的定义求出即可. 【小问1详解】 由得， 当，时，， 令，解得，，， 所以当或时， 当或时， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为，. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 令， 则． 所以有两个不等实根，，不妨设． ①当或时，不是的极值点，此时不合题意； ②当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以不是的极大值点， ③当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以不是的极大值点， ④当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点． 所以，即， 所以，所以的取值范围． 【小问3详解】 由，知， 由，故， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 不妨设的两个极值点分别为，． 因为互不相等，是的一个零点，所以， 所以， 所以存在，使成等差数列， 即存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，且． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $