精品解析：江苏省新高考基地学校2024届高三下学期第五次大联考数学试题

2024届新高考基地学校第五次大联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 设等比数列的前项和为，则（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 25 6. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. “＂是“＂的充分不必要条件 10. 某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 11. 在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与平面所成的角相等 B. C. 二面角的大小可能为 D. 若，则球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线的切线斜率的最小值为__________. 13. 已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则__________；若，则的离心率为__________. 14. 在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）若是单调函数，求的取值范围. 16. 设数列的前项的和为. （1）若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； （2）若，求证：. 17. 某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品” （1）从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望. 18. 如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于. （1）求的方程； （2）设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点，过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届新高考基地学校第五次大联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性化简集合，即可根据交运算的定义求解. 【详解】， 所以， 故选：A． 2. 在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用幂函数奇偶性和单调性可解 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 3. 在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：，结合组合数的性质分析求解. 【详解】由题意可得：，则， 可得，所以. 故选：D． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦正弦的二倍角公式、同角的三角函数关系式化简等式，最后利用正切的二倍角公式进行求解即可. 【详解】， 故选：B 5. 设等比数列的前项和为，则（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 6. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图像变换规律得到，由正弦函数的对称性可得，从而求得的最小值. 【详解】关于轴对称， 则，又因为，则当时，. 故选：C 7. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长 以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 8. 已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件找到变量之间的关系，结合平面向量的坐标表示求解即可. 【详解】 设，，， 联立方程组得到，消可得， 解得，因为，所以， 而， 而， 解得，此时，， ，故D正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理利用给定条件消去变量，然后利用得平面向量的坐标表示结合韦达定理到所要求的定值即可． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. “＂是“＂的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，对于A：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于B：根据加法运算结合共轭复数分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的概念结合充分必要条件分析判断. 【详解】设， 对于选项A：因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 所以，故B正确； 对于选项C：若，例如，满足， 但，，即，故C错误； 对于选项D：若，则都是实数，且，即充分性不成立； 若，例如，且， 但不是实数，无法比较大小，即必要性不成立； 综上所述：“＂是“＂的充分不必要条件，故D正确． 故选：ABD. 10. 某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得，分类讨论最大值，结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 且， 则， 不妨设最大， 1.若，则不成立，故A错误； 2.若，例如，满足题意，故B正确； 3.若，例如，满足题意，故C正确； 4.若，则， 可得，可知该方程组无正整数解，故D错误； 故选：BC． 11. 在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与平面所成的角相等 B. C. 二面角的大小可能为 D. 若，则球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取的中点得平面，平面，根据可判断A；可判断B；做， 得即为的平面角，若，则，推出矛盾可判断C；根据，求出正方体的外接球半径可判断D. 【详解】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心， 连接，则平面， 因为是的中点，所以，所以平面， 点是是的中点，，所以， 又，所以，所以，故A正确； 对于B，， ， ，故B正确； 对于C，因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 做，交于点， ，平面， 所以平面，平面，所以， 所以即为的平面角，若， 则，而在直角三角形中，斜边， 这是不可能的，故C错误； 对于D，若，则，， 所以，外接球半径， ，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线的切线斜率的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合基本不等式求解即可. 【详解】设切线斜率为，由斜率的几何意义得， 而，当且仅当时取等， 此时解得，即切线斜率最小值. 故答案为： 13. 已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则__________；若，则的离心率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据两点斜率公式即可求解，利用点差法可得，即可由离心率公式求解. 【详解】设，则， 设，则，则， 故，结合，可得 故答案为：， 14. 在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形边长和内角的特点，建立直角坐标系，设出圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的一般方程，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】如图建系，， 设的外接圆的方程为， ， 即， ，即 ， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）若是单调函数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，借助导数可得其单调性，即可得其极小值； （2）求出导数后，分是单调递增函数与单调递减函数讨论即可得. 【小问1详解】 当时，，， 令，由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 故的极小值为； 【小问2详解】 ， 若在上单调递增，则恒成立， 即对恒成立，则恒成立，又，故， 若在上单调递减，则恒成立， 即对恒成立，则恒成立，故， 综上所述，的取值范围为. 16. 设数列的前项的和为. （1）若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； （2）若，求证：. 【答案】（1）或 （2）因为①， 所以②， 所以由②①得，， 所以时，， 所以由得， 所以， 显然也符合上式， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）由等差数列前n项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和公差来表示即可求解. （2）先由，进而由累乘法结合求出即可由得解. 【小问1详解】 由题意知，故， 解得，所以或. 【小问2详解】 略 17. 某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品” （1）从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）利用正态分布、条件概率公式计算可得答案； （2）求出的所有可能取值及相应的概率，利用期望公式可得答案. 【小问1详解】 ， 记事件为该产品为合格品，事件为该产品是一等品， ， 该产品是一等品的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 的数学期望， 或由的二项分布. 18. 如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）过作于点，由平面平面， 平面平面平面， 平面， 又底面平面， ，平面， 所以底面平面，， 又为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，利用面面垂直的性质定理得平面，值域线面垂直的判定定理性质定理可得答案； （2）设，利用求出，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， ， ， 如图建系，， ， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以， 设直线与平面所成角为， . 【点睛】 19. 已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于. （1）求的方程； （2）设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点，过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：. 【答案】（1） （2）设， 直线方程为，直线的方程为， ， 设过且与双曲线相切的直线为， 联立，得， ，即， 设直线的斜率分别为，则， 方程， ， 同理方程， ， ，， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）设，根据等轴双曲线概念得，利用点到直线的距离公式即可求解. （2）设，再由坐标得到直线的方程，继而可得坐标，设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得坐标，继而可得，即，即，即可求证. 【小问1详解】 设， 为等轴双曲线上一点， ， 双曲线渐近线为， ， ， 的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线的相切关系.本题中设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得，则，又，得，即，即，即可求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $