4.2.1 随机变量及其与事件的联系、4.2.2 离散型随机变量的分布列 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 4.2.2　离散型随机变量的分布列 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解随机变量及其与事件的联系. 2.理解离散型随机变量的概念. 3.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其意义. 4.理解离散型随机变量分布列的概念及性质,会求离散型随机变量的分布列. 5.理解两点分布的意义,能够利用两点分布解决实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　随机变量及其与事件的联系 1.随机变量 随机变量的取值由随机试验的结果决定 定义 一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有_________确定的实数值与之对应,就称X为一个随机变量  表示 随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围 2.随机变量与事件的联系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且: (1)当a≠b时,事件X=a与X=b　 ;  (2)事件X≤a与X>a相互　　　　,因此P(X≤a)+P(X>a)=　　.  唯一 互斥 对立 1 3.离散型随机变量 取值 特点 一一列出 对于离散型随机变量所有可能的取值都能一一列举出来 4.随机变量之间的关系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量. 由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b). X与Y一一对应 名师点睛 判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的方法 (1)明确试验的所有可能结果; (2)将随机试验的试验结果数量化; (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列举出来,那么该随机变量是离散型随机变量,否则不是. 过关自诊 1.下面是离散型随机变量的是(　　) A.电灯泡的使用寿命X B.小明射击1次,击中目标的次数X C.测量一批电阻两端的电压,在10 V~20 V之间的电压值X D.一个在y轴上随机运动的质点,它在y轴上的位置X B 2.在掷一枚质地均匀的骰子试验中,“朝上的点数”是一个随机变量,它的取值有(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.2个 B.4个 C.6个 D.7个 C 知识点二　离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 离散型随机变量的分布列满足: (1)pk≥0,k=1,2,…,n;(2) pk=p1+p2+…+pn=　 　　.  1 名师点睛 1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了离散型随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础. 2.由于离散型随机变量的各个可能取值之间彼此互斥,因此,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 3.当X与Y都是离散型随机变量而且Y=aX+b(a≠0)时,X与Y的分布列分别如下表所示,它们的第二行的概率值是一样的. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn Y=aX+b ax1+b ax2+b … axk+b … axn+b P p1 p2 … pk … pn 2.两点分布 一般地,如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p 1-p 其中0<p<1,则称随机变量X服从参数为p的两点分布(或0-1分布). 常被称为成功概率 名师点睛 两点分布又称为伯努利分布. 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)离散型随机变量的分布列中每个随机变量取值对应概率都相等.(　　) (2)在离散型随机变量的分布列中,所有概率之和为1.(　　) (3)已知X服从两点分布,事件X=0与事件X=1是相互独立的.(　　) × 分布列中的每个随机变量所代表的随机事件并非都是等可能发生的事件. √ 由分布列的性质可知,该说法正确. × 因为X服从两点分布,所以事件X=0与事件X=1不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件. 2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X 0 1 P a 0.4 则实数a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.0.4 C.0.6 D.1 C 解析 根据两点分布概率的特点,知a=1-0.4=0.6. 3.已知随机变量η的分布列如下: η 1 2 3 4 5 6 P 0.1 0.05 0.3 0.2 0.12 0.23 则P(η=3)=　　　　　.  0.3 解析 由离散型随机变量的分布列,可知P(η=3)=0.3. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　随机变量及其事件的联系 角度1.随机变量的取值及试验结果 【例1】 [北师大版教材例题]已知在10件产品中有2件不合格品.试验E:从这10件产品中任取3件,观察不合格品的件数. (1)写出该随机现象可能出现的结果; (2)试用随机变量来描述上述结果. 解 (1)依题意知这10件产品中有2件不合格品,8件合格品. 因此,从10件产品中任取3件,所有可能出现的结果是:“没有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”. (2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数,则X所有可能的取值为0,1,2,对应着任取3件产品所有可能的结果. 即X=0表示“没有不合格品”; X=1表示“恰有1件不合格品”; X=2表示“恰有2件不合格品”. 规律方法　用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点 (1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义. (2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果. 变式训练1[人教A版教材习题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)抛掷2枚骰子,所得点数之和; (2)某足球队在5次点球中射进的球数.  解 (1)能用离散型随机变量表示. 点数之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. X=k表示掷出的点数之和为k(k=2,3,4,…,12). (2)能用离散型随机变量表示. 进球个数Y的可能取值是0,1,2,3,4,5. Y=k表示射进k个球(k=0,1,2,3,4,5). 角度2.随机变量之间的关系 【例2】 某快递员按下述方式获取税前月工资:底薪1 200元,每送一件商品获取3元,从该快递公司中任选一名快递员,设其月送商品件数为X件,获取的税前月工资为Y元. (1)当X=1 200时,求Y的值; (2)写出X,Y之间的关系式; (3)若P(X≤2 000)=0.6,求P(Y>7 200)的值. 解 (1)当X=1 200时,Y=1 200×3+1 200=4 800. (2)Y=3X+1 200. (3)当X≤2 000时,Y≤7 200, ∴P(X≤2 000)=P(Y≤7 200)=0.6, ∴P(Y>7 200)=1-P(Y≤7 200)=1-0.6=0.4. 规律方法　如果X是一个随机变量,a,b∈R且a≠0,那么Y=aX+b也是一个随机变量,且P(Y=at+b)=P(X=t). 变式训练2已知Y=3+2X,若P(Y>7)=0.3,则P(X≤2)=　　　　　.  0.7 解析 因为P(Y>7)=P(3+2X>7)=P(X>2)=0.3, 所以P(X≤2)=1-0.3=0.7. 探究点二　离散型随机变量的分布列 角度1.求离散型随机变量的分布列 【例3】 一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3个,以ξ表示取出的3个球中的最大号码,写出随机变量ξ的分布列. 解 随机变量ξ的可能取值为3,4,5. 当ξ=3时,即取出的三个球中最大号码为3,则其他两个球的编号只能是1,2, 当ξ=4时,即取出的三个球中最大号码为4,则其他两个球只能在编号为1,2,3的3个球中取2个, 当ξ=5时,即取出的三个球中最大号码为5,则其他两个球只能在编号为1,2,3,4的4个球中取2个,故有 因此ξ的分布列如下表所示. 规律方法　求离散型随机变量分布列时应注意的问题 (1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要清楚ξ取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率. (2)在求离散型随机变量ξ的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确. 变式训练3[人教A版教材例题]一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台,B品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 角度2.离散型随机变量分布列的性质 【例4】 设随机变量X的分布列为P(X= )=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值; (2)求P(X≥ ). 解 分布列可改写为 规律方法　利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题: (1)X=Xi(i=1,2,…,n)的各个取值表示的事件是互斥的. (2)不仅要注意 ,而且要注意pi≥0,i=1,2,…,n. 变式训练4若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 4a-1 3a2+a 求常数a及相应的分布列. 探究点三　两点分布 【例5】 已知一批200件的待出厂产品中,有1件次品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列. 规律方法　两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)两点分布中的两个结果一个对应1,另一个对应0; (3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0)); (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它. 变式训练5[人教A版教材习题]篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他一次罚球得分的分布列. 解 设该运动员一次罚球得分为X,其分布列为 X 0 1 P 0.3 0.7 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A.某景点一天的游客数X B.某寻呼台一天内收到寻呼次数X C.水文站观测到江水的水位数X D.某收费站一天内通过的汽车车辆数X 6 ABD 1 2 3 4 5 2.[北师大版教材习题]同时抛掷两枚均匀的骰子,设X表示掷出的点数之和,则X=4表示的随机试验结果是(　　) A.一枚掷出3点,一枚掷出1点 B.两枚都掷出2点 C.两枚都掷出4点 D.一枚掷出3点,一枚掷出1点或两枚都掷出2点 6 D 1 2 3 4 5 3.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 6 D 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 4.随机变量η的分布列如下: η 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2 则x=　　　　　,P(η≤3)=　　　　　.  6 0.1 0.55 解析 由分布列的性质得0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得x=0.1. P(η≤3)=P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)=0.2+0.1+0.25=0.55. 1 2 3 4 5 5.随机变量ξ服从两点分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,则P(η=-2)=　　　　　.  6 0.2 解析 当η=-2时,ξ=0,所以P(η=-2)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.2. 1 2 3 4 5 6.[北师大版教材习题]从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试. (1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率; (2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列. 6 1 2 3 4 5 6 故有P(ξ=3)=; 故有P(ξ=4)=; ξ 3 4 5 P P(ξ=5)=. 解 设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识,可得X的分布列为P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=. X的分布列如下表所示. X 0 1 2 P X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=. (2)P(X≥)=P(X=)+P(X=)+P(X=1)=,或 P(X≥)=1-P(X≤)=1-()=. pi=1 解 由分布列的性质可知3a2+a+4a-1=1, 即3a2+5a-2=0,解得a=或a=-2, 因为即a>,故a≠-2. 所以a=,此时4a-1=,3a2+a=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 解 由题意知,X服从两点分布,P(X=0)=,所以P(X=1)=1-. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P X -1 0 1 P 1-q q-q2 则q等于(　　) A.1 B.- C.1+ D. 解析 由离散型随机变量X的分布列的性质知 解得q=. 故选D. (2)根据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 解 (1)至少有一名女生的概率为1-=1-. $$