4.2.1 随机变量及其与事件的联系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

本教案聚焦随机变量及其与事件的联系，涵盖随机变量概念、离散型与连续型随机变量的区分及事件表示。通过足球点球大战进球数的思考问题导入，从现实情境抽象数学对象，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境导入激活数学眼光，用概念表格梳理知识体系，即时练与例题结合强化数学思维。通过点球大战、乒乓球比赛等实例，引导学生用数学语言表达现实问题，变式探究深化理解。助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供逻辑清晰、资源丰富的教学支持。

4．2　随机变量 4．2.1　随机变量及其与事件的联系 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．　2.能写出离散型随机变量的取值范围，并能解释其表示的事件．　3.理解随机变量之间的关系． 思考　足球比赛的点球大战中，每队选择5人点球，变量X表示这5人进球的个数，X＝0，1，2，3，4，5各表示什么？ 提示：X＝0，1，2，3，4，5表示5人点球进球的个数分别为0个，1个，2个，3个，4个，5个． 一　随机变量的概念(含离散型、连续型随机变量的概念) 概念 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的____________与之对应，就称X为一个随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示 取值 随机变量的取值由随机试验的________决定 取值范围 随机变量____________________________组成的集合，称为这个随机变量的取值范围 分类 离散型随机变量 随机变量的所有可能取值可以一一列举出来 连续型随机变量 随机变量可以在某个实数范围内连续取值，不能一一列举出来 [答案自填] 实数值　结果　所有可能的取值 【即时练】 1．下列随机变量中，是连续型随机变量的是(　　) A．某机场候机室中一天的旅客数量X B．某水文站观察到一天中江水的水位X C．某景区一日接待游客的数量X D．某大桥一天经过的车辆数X 解析：选B.A，C，D中的随机变量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量． 2．在下列随机变量中，是离散型随机变量的是(　　) ①某人上班途中共有5个红绿灯路口，此人某天上班遇到红灯的次数； ②某地区今后每一年的人口的出生数； ③某单位全体员工体检时每人的血糖值． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选A.①此人某天上班遇到红灯的次数是随机变量，且为离散型随机变量．②某地区今后每一年的人口的出生数是随机变量，且为离散型随机变量．③某单位全体员工体检时每人的血糖值是随机变量，且为连续型随机变量． (1)随机变量的辨析方法 ①随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． ②随机试验的结果的确定性．即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两个特点，则该变量即为随机变量． (2)判断离散型随机变量的方法 ①明确随机试验的所有可能结果． ②将随机试验的结果数量化． ③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．　 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b________； (2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝________． [答案自填] 互斥　1 　(对接教材例1)写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【解】　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11. (2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3，4，5，6，7.X＝3表示“取出标有1，2的两张卡片”；X＝4表示“取出标有1，3的两张卡片”；X＝5表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；X＝6表示“取出标有2，4的两张卡片”；X＝7表示“取出标有3，4的两张卡片”． 【变式探究】 1．(设问变式)若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，求出Y的取值范围，其中Y＝2表示什么含义？ 解：Y的取值范围为{1，2，3}．Y＝2表示“取出标有1，3或2，4的两张卡片”． 2．(综合变式)已知甲、乙2人进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X的取值范围，并写出表示的试验结果． 解：根据题意可知X的取值范围为{4，5，6，7}．X＝4表示“共比赛了4局，甲、乙2人中有1人连胜4局”．X＝5表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”．X＝6表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”．X＝7表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”． 解答用随机变量表示随机试验的结 果问题的关键点和注意点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．　 [跟踪训练1] 写出下列随机变量的取值范围． (1)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ； (2)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ； (3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟． 解：(1)ξ的取值范围为{1，2，3，4，5，6}． (2)ξ的取值范围为{3，4，5}． (3)ξ的取值范围为[0，59.5]. 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝__________________． [答案自填] P(Y＝at＋b) 　(对接教材例2)某商场的促销员是按照下述方式获取税前工资的：底薪500元，每工作1 h再获取35元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元． (1)当X＝80时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(Y ＞2 950)＝0.27，求P(X≤70)的值． 【解】　(1)由题意知当X＝80时，Y＝500＋35×80＝3 300. (2)X与Y之间的关系式为Y＝500＋35X. (3)当Y ＞2 950时，X＞70，即P(Y＞2 950)＝P(X＞70)＝0.27，所以P(X≤70)＝1－0.27＝0.73. 首先厘清随机变量之间的关系，然后根据已知条件计算出概率．　 [跟踪训练2] 一个袋中装有除颜色外其余均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值； (2)若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的取值范围，并判定η是否为离散型随机变量． 解：(1)列表如下： ξ 0 1 2 3 结果 取得3个黑球 取得1个白球、2个黑球 取得2个白球、1个黑球 取得3个白球 (2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的取值范围为{6，11，16，21}．显然，η为离散型随机变量． 1．(多选)(2024·山东东营高二统考期末)下列是随机变量的是(　　) A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号 B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间 C．A，B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间 D．某十字路口一天中经过的行人数 解析：选ABD.选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量，其他选项中都是随机变量．故选ABD. 2．(多选)(2024·贵州遵义高二统考期末)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某小区大门口一天出行的人数X B．某车站服务台一天内接到的电话次数X C．某人一天24小时内的血压监测值X D．某公园一天内跑步的人数X 解析：选ABD.对四个选项，人数、电话次数的取值都是随机的整数，满足题意；但血压监测值是不断变化的实数，不是离散型随机变量，不满足题意．故选ABD. 3．(教材P68练习AT2(1)改编)某项试验用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是(　　) A．2 B．2或1 C．1或0 D．2或1或0 解析：选C.由题意，该试验可能成功或不成功，故ξ的值可以是1或0.故选C. 4．已知P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝P(X＝4)＝0.3，则P(X>1)＝____________，P(|2X－5|＝1)＝________． 解析：依题意可知P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.8，P(|2X－5|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝2)＝0.3＋0.2＝0.5. 答案：0.8　0.5 1．已学习：(1)随机变量；(2)离散型随机变量；(3)连续型随机变量；(4)用随机变量的取值表示某个事件． 2．须贯通：离散型随机变量、连续型随机变量的判定方法，用随机变量表示随机试验结果的方法． 3．应注意：要注意随机变量之间的关系的等价性．　 学科网（北京）股份有限公司 $