4.2.4 随机变量的数字特征（第1课时 离散型随机变量的均值）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解离散型随机变量的均值的概念. 2.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值. 3.掌握离散型随机变量的均值的性质及两点分布、二项分布和超几何分布的均值公式. 4.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　均值 一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)=　　　 　　　= xipi为离散型随机变量X的均值或 　　　　　　(简称为　　　　).  x1p1+x2p2+…+xnpn 数学期望 期望 名师点睛 1.均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它刻画的是随机变量取值的平均水平. 2.随机变量的均值与样本平均值的关系: 随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量, 它随样本的抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.随机变量X的均值反映了离散型随机变量的平均水平. 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.(　　) (2)随机变量的均值相同,则两个分布列也一定相同.(　　) × 离散型随机变量的均值是一个常数,它不具有随机性. 两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;反之不一定成立. × 2.已知随机变量X的分布列如下表: X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则E(X)的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.2.4 C.3.6 D.不确定 C 解析 由分布列的性质可知0.1+0.2+m+0.2=1,解得m=0.5,所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6. 知识点二　常见的均值 1.若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=　　　.  2.若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=　　　.  3.若离散型随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)=　　　.  p np 过关自诊 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚球不中得0分.某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分X的均值. 解X的可能值为0,1.P(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=1)=0.7.故X的分布列为 X 1 0 P 0.7 0.3 所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求离散型随机变量的均值 角度1.求离散型随机变量的均值 【例1】 [人教A版教材例题]猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000 规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 解 分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,则A,B,C相互独立. X的分布列如表所示. X 0 1 000 3 000 6 000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为E(X)=0×0.2+1 000×0.32+3 000×0.288+6 000×0.192=2 336. 规律方法　求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求概率:求X取每个值的概率; (3)写分布列:写出X的分布列; (4)求均值:由均值的定义求出E(X). 其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键. 变式训练1[北师大版教材习题]A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负的概率如下表: 现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设ξ,η分别表示A队、B队最后所得总分.求: (1)ξ,η的分布列;(2)E(ξ),E(η). 所以ξ的分布列为 角度2.二项分布、超几何分布的均值 【例2】 2021年我国已经开放三孩政策.为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度,某市选取80后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生三胎的有4人,不打算生三胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值; (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市80后中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为η,求随机变量η的分布列和均值. 规律方法　求常见的几种分布的均值的关注点 (1)关键:根据题意准确判断分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得均值. 变式训练2某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了6次球. (1)求恰有4次命中的概率; (2)求至多有4次命中的概率; (3)设命中的次数为X,求E(X). 解 (1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,则未命中的概率为1-0.7=0.3, 现投了6次球,恰有4次投中的概率为P= ×(0.7)4×(1-0.7)2=0.324 135. (2)至多有4次投中的概率为 =0.579 825. (3)由题意可知X~B(6,0.7),所以E(X)=6×0.7=4.2. 探究点二　离散型随机变量均值的性质 【例3】 已知随机变量X的分布列为 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　　.  变式探究 本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y). 规律方法　与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b(a≠0),a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值计算ξ的取值,求出对应的概率,再由定义法求得E(ξ). 探究点三　均值的实际应用 【例4】 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润. (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A); (2)求η的分布列及均值E(η). 解 (1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知, 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”. P( )=(1-0.4)3=0.216, P(A)=1-P( )=1-0.216=0.784. (2)η的可能取值为200元,250元,300元. P(η=200)=P(ξ=1)=0.4, P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4, P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2. 因此η的分布列为 E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240. η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 规律方法　1.实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 (1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. (3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 变式训练3[北师大版教材例题]根据气象预报,某地区近期暴发小洪水的概率为0.25,暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3 800元. 方案2:建一保护围墙,建设费为2 000元,但围墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水,此时遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元. 你会选择哪一种方案呢? 解 用X1,X2和X3分别表示3种方案的损失. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元,即X1=3 800, 故E(X1)=3 800(元). 采用方案2,遇到大洪水时,损失2 000+60 000=62 000(元);没有大洪水时,损失2 000元. 因此,E(X2)=62 000×0.01+2 000×(1-0.01)=2 600(元). 采用方案3,遇到大洪水时,损失60 000元;遇到小洪水时,损失10 000元;无洪水时,损失0元.因此,E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×(1-0.01-0.25) =3 100(元). 由此可见,平均而言方案2的损失最小,可供选择. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.已知随机变量X的分布列如下表,随机变量X的数学期望E(X)=1,则x的值为(　　) X 0 1 2 P 0.4 x y A.0.3 B.0.24 C.0.4 D.0.2 D 1 2 3 4 5 2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为(　　) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 C 解析 X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6; P(X=2)=0.4×0.6=0.24; P(X=1)=0.42×0.6=0.096; P(X=0)=0.43=0.064. 所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376. 1 2 3 4 5 3.(多选题)[2023广东汕头高二阶段练习]一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则(　　) A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量X服从超几何分布 C.P(X=2)= D.E(X)= BCD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.已知X的分布列为 设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是　　　　.  1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样.购买一瓶,若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ). 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 所以中奖人数ξ的分布列为 P(X=0)=P()=0.2, P(X=1 000)=P(A)=0.8×0.4=0.32, P(X=3 000)=P(AB)=0.8×0.6×0.6=0.288. P(X=6 000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192. 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 解 (1)ξ的可能取值为3,2,1,0. P(ξ=3)=, P(ξ=2)=, P(ξ=1)=, P(ξ=0)=. ξ 0 1 2 3 P 根据题意知ξ+η=3. 所以P(η=0)=P(ξ=3)=,P(η=1)=P(ξ=2)=, P(η=2)=P(ξ=1)=,P(η=3)=P(ξ=0)=. 所以η的分布列为 η 0 1 2 3 P (2)E(ξ)=3×+2×+1×+0×,E(η)=0×+1×+2×+3×. 解 (1)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (方法一)E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2. (方法二)∵ξ~H(10,3,4),∴E(ξ)==1.2. (2)由题意可知,全市80后打算生三胎的概率为P=,η的可能取值是0,1,2,3,且η~B(3,). P(η=k)=)k()3-k(k=0,1,2,3), ∴η的分布列为 η 0 1 2 3 P ∴E(η)=3×=1.2. P=×0.36+×0.71×0.35+×0.72×0.34+×0.73×0.33+×0.74×0.32 X -2 -1 0 1 2 P m 解析 由随机变量分布列的性质,得+m+=1,解得m=, 所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 即E(Y)=-2×(-)=. 解 由公式E(aX+b)=aE(X)+b(a≠0)及E(X)=-,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3 =2×(-)-3=-. 解析 因为E(X)=1,所以由题设知 解得 解析 由题意,知随机变量X服从参数为10,4,4的超几何分布,即X~H(10,4,4),故A错误,B正确;随机变量X的取值范围为{0,1,2,3,4},P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×,故C,D正确.故选BCD. X -1 0 1 P a 解析 由已知得+a=1, ∴a=. ∴E(X)=-=-. ∵E(Y)=2E(X)+1, ∴E(Y)=. 解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A,B,C,且A,B,C相互独立,那么 P(A)=P(B)=P(C)=. P(A)=P(A)P()P()=. 故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=k)=)k()3-k,k=0,1,2,3. P(ξ=0)=×()0×()3=, P(ξ=1)=×()2=, P(ξ=2)=×()2×, P(ξ=3)=×()3×()0=. ξ 0 1 2 3 P E(ξ)=0×+1×+2×+3×. $$