4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版）

第四章　概率与统计 4.2　随机变量 4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　离散型随机变量的均值 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 知识点二　两点分布、二项分布的均值 3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分．已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析：因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 4．某树苗的成活率为p＝0.9. (1)求种植1棵该树苗时，成活棵数ξ的均值； (2)求种植5棵该树苗时，成活棵数η的均值． 解：(1)种植1棵该树苗时，成活棵数ξ的分布列为 则E(ξ)＝p＝0.9. (2)由题意，种植5棵该树苗时，成活棵数η服从二项分布，即η～B(5，0.9)． 则E(η)＝np＝5×0.9＝4.5. ξ 0 1 P 0.1 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 知识点四　离散型随机变量的均值的性质及应用 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 8．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是(　　) A.706元 B．690元 C．754元 D．720元 解析：由分布列可以得到需求量的期望是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)． ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 二、多项选择题 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列结论正确的是(　　) A.a＝0.1 B．E(X)＝6 C．E(2X＋1)＝12 D．P(X≥8)＝0.45 解析：由分布列的性质可得2a＋0.25＋0.1＋0.25＋a＋0.1＝1，所以a＝0.1，此时2a＝0.2，a＋0.1＝0.2，所以E(X)＝2×0.2＋4×0.25＋6×0.1＋8×0.25＋10×0.2＝6，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝13，P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝10)＝0.25＋0.2＝0.45.故选ABD. X 2 4 6 8 10 P 2a 0.25 0.1 0.25 a＋0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 9．设离散型随机变量X的取值范围为{1，2，3}，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3)．又X的均值E(X)＝2，则a＋b＝_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 10．5名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有1名志愿者．设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X的数学期望为_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 四、解答题 11．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： (1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用教材版本相同的概率； (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 13.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列和数学期望． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 14．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表所示： 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元． 已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X(单位：万元)的分布列及基地的预期收益； (2)判断该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由． 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 解：(1)设下周一无雨的概率为p(0≤p≤1)，则p2＝0.36，∴p＝0.6. 基地收益X的取值范围是{20，15，10，7.5}， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.6×(1－0.6)＝0.24， P(X＝10)＝(1－0.6)×0.6＝0.24，P(X＝7.5)＝(1－0.6)2＝0.16. ∴基地收益X的分布列为 ∴E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， ∴基地的预期收益为14.4万元． X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元． ∵E(Y)－E(X)＝1.6－a， ∴当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不应额外聘请工人；成本低于1.6万元时，应该额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，是否额外聘请工人均可以． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 　　　　　　　　　　　　　 R 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的数学期望E(X)＝(　　) A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(5,2) D．3 解析：由已知条件可得E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).故选A. 2．某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．则该学生取得A等级的课程数ξ的均值为______． 解析：ξ的取值范围是{0，1，2，3}，因为P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(6,125)，P(ξ＝1)＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(37,125)，P(ξ＝2)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(58,125)，P(ξ＝3)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(24,125)，所以E(ξ)＝0×eq \f(6,125)＋1×eq \f(37,125)＋2×eq \f(58,125)＋3×eq \f(24,125)＝eq \f(9,5). eq \f(9,5) 知识点三　超几何分布的均值 5．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为(　　) A.eq \f(3,10) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,15) D.eq \f(8,15) 解析：次品数X的分布列为 X 0 1 2 P 2,7)eq \f(C,Ceq \o\al(2,10)) 1,3)eq \f(CCeq \o\al(1,7),Ceq \o\al(2,10)) 2,3)eq \f(C,Ceq \o\al(2,10)) 所以E(X)＝0×2,7)eq \f(C,Ceq \o\al(2,10)) ＋1×1,3)eq \f(CCeq \o\al(1,7),Ceq \o\al(2,10)) ＋2×2,3)eq \f(C,Ceq \o\al(2,10)) ＝eq \f(3,5). 6．一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq \f(3,5).不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E(ξ)． 解：由题意，得eq \f(3,n)＝eq \f(3,5)，∴n＝5，∴5个球中有2个白球． 解法一：取到白球的个数ξ的取值范围是{0，1，2}． P(ξ＝0)＝3,3)eq \f(C,Ceq \o\al(3,5)) ＝eq \f(1,10)，P(ξ＝1)＝2,3)eq \f(CCeq \o\al(1,2),Ceq \o\al(3,5)) ＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(2,2),Ceq \o\al(3,5)) ＝eq \f(3,10). E(ξ)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5). 解法二：取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，n＝3，M＝2的超几何分布， 则E(ξ)＝eq \f(nM,N)＝eq \f(3×2,5)＝eq \f(6,5). 7．已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) 若Y＝－2X，则E(Y)＝(　　) A．－eq \f(17,30) B.eq \f(17,30) C．－eq \f(17,15) D.eq \f(17,15) 解析：由随机变量分布列的性质，得eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6)，所以E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30).由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15). 一、单项选择题 1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为eq \f(2,3)，则此人试验次数ξ的均值是(　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(13,9) C.eq \f(5,3) D.eq \f(13,7) 解析：试验次数ξ的取值范围是{1，2，3}，则P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq \f(1,9).所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P eq \f(2,3) eq \f(2,9) eq \f(1,9) 所以E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9). 2．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq \f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq \f(1,3).当这4盏装饰灯闪烁一次时，出现红灯的数量ξ 的数学期望为(　　) A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(8,3) D．3 解析：依题意，ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，所以E(ξ)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).故选C. 3．已知随机变量X的分布列如下： X 2 3 5 P a b 2b－a 若E(X)＝4，则a＝(　　) A.eq \f(1,18) B.eq \f(1,12) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,6) 解析：由分布列的性质可得a＋b＋2b－a＝1，解得b＝eq \f(1,3)，由期望可得E(X)＝2a＋3×eq \f(1,3)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝eq \f(13,3)－3a＝4，解得a＝eq \f(1,9).故选C. 4．设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,3) eq \f(1,3) 又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝(　　) A.eq \f(7,6) B.eq \f(17,6) C.eq \f(17,3) D.eq \f(32,3) 解析：E(ξ)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,3)＝eq \f(17,6)，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq \f(17,6)＋5＝eq \f(32,3). 5．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中任意选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2 解析：记抽到自己准备的书的人数为X，则X的取值范围是{0，1，2，4}，P(X＝0)＝1,3)eq \f(C×3,Aeq \o\al(4,4)) ＝eq \f(3,8)，P(X＝1)＝1,4)eq \f(C×2,Aeq \o\al(4,4)) ＝eq \f(1,3)，P(X＝2)＝2,4)eq \f(C×1,Aeq \o\al(4,4)) ＝eq \f(1,4)，P(X＝4)＝4,4)eq \f(1,A) ＝eq \f(1,24)，则E(X)＝0×eq \f(3,8)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,4)＋4×eq \f(1,24)＝1.故选B. 7．设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P p1 p2 p3 则E(X)＝2的充要条件是(　　) A．p1＝eq \f(1,2)－p2 B．p2＝1－2p3 C．p1＝p3 D．p1＝p2＝p3 解析：由离散型随机变量X的分布列知，当E(X)＝2时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p1＋p2＋p3＝1，,p1＋2p2＋3p3＝2，))解得p1＝p3；当p1＝p3时，p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.故E(X)＝2的充要条件是p1＝p3，故C符合题意；当p1＝p3时，p2＝1－2p3，故B符合题意．故选BC. 三、填空题 8．已知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2)))，Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，且E(X)＝15，则E(Y)＝____． 解析：因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2)))，所以E(X)＝eq \f(n,2).又E(X)＝15，所以n＝30.由Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，得Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30，\f(1,3)))，故E(Y)＝30×eq \f(1,3)＝10. 解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝2，即14a＋6b＝2　①，又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1　②，由①②，可知a＝0，b＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3). eq \f(1,3) 解析：5名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同岗位，每个岗位至少1名，共有Ceq \o\al(2,5)Aeq \o\al(4,4)＝240种分法，分析知X的取值范围为{1，2}，且P(X＝1)＝1,5)eq \f(CCeq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3),240) ＝eq \f(3,4)，P(X＝2)＝2,5)eq \f(CAeq \o\al(3,3),240) ＝eq \f(1,4)，故E(X)＝1×eq \f(3,4)＋2×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4). eq \f(5,4) 解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为Ceq \o\al(2,50)＝1225，选出2人所使用教材版本相同的方法数为Ceq \o\al(2,20)＋Ceq \o\al(2,15)＋Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(2,10)＝350，故2人所使用教材版本相同的概率为P＝eq \f(350,1225)＝eq \f(2,7). (2)X的取值范围是{0，1，2}， P(X＝0)＝2,15)eq \f(C,Ceq \o\al(2,35)) ＝eq \f(3,17)，P(X＝1)＝1,20)eq \f(CCeq \o\al(1,15),Ceq \o\al(2,35)) ＝eq \f(60,119)，P(X＝2)＝2,20)eq \f(C,Ceq \o\al(2,35)) ＝eq \f(38,119). 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(3,17) eq \f(60,119) eq \f(38,119) 所以E(X)＝0×eq \f(3,17)＋1×eq \f(60,119)＋2×eq \f(38,119)＝eq \f(136,119)＝eq \f(8,7). 12．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值． 解：记事件E＝{甲组研发新产品成功}，事件F＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P(E)＝eq \f(2,3)，P(eq \o(E,\s\up11(－)))＝eq \f(1,3)，P(F)＝eq \f(3,5)，P(eq \o(F,\s\up11(－)))＝eq \f(2,5)，且事件E与F，E与eq \o(F,\s\up11(－))，eq \o(E,\s\up11(－))与F，eq \o(E,\s\up11(－))与eq \o(F,\s\up11(－))都相互独立． (1)记事件H＝{至少有一种新产品研发成功}，则eq \o(H,\s\up11(－))＝eq \o(E,\s\up11(－)) eq \o(F,\s\up11(－))， 于是P(eq \o(H,\s\up11(－)))＝P(eq \o(E,\s\up11(－)))P(eq \o(F,\s\up11(－)))＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)， 故所求的概率为P(H)＝1－P(eq \o(H,\s\up11(－)))＝1－eq \f(2,15)＝eq \f(13,15). (2)设企业可获利润为X万元，则X的取值范围是{0，100，120，220}． 因为P(X＝0)＝P(eq \o(E,\s\up11(－)) eq \o(F,\s\up11(－)))＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq \o(E,\s\up11(－))F)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)， P(X＝120)＝P(Eeq \o(F,\s\up11(－)))＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)， 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P eq \f(2,15) eq \f(1,5) eq \f(4,15) eq \f(2,5) 均值为E(X)＝0×eq \f(2,15)＋100×eq \f(1,5)＋120×eq \f(4,15)＋220×eq \f(2,5)＝140. 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有Ceq \o\al(2,8)＝28种，当X＝0时，两向量的夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝eq \f(8,28)＝eq \f(2,7). (2)X的取值范围是{－2，－1，0，1}，当X＝－2时，有2种情形；当X＝1时，有8种情形；当X＝0时，有8种情形；当X＝－1时，有10种情形． 所以X的分布列为 X －2 －1 0 1 P eq \f(1,14) eq \f(5,14) eq \f(2,7) eq \f(2,7) E(X)＝(－2)×eq \f(1,14)＋(－1)×eq \f(5,14)＋0×eq \f(2,7)＋1×eq \f(2,7)＝－eq \f(3,14). $