第17讲 正比例函数(三类知识点+十大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第17讲 正比例函数（十大题型） 学习目标 1、 知道正比例函数的概念及求其解析式； 2、 会画正比例函数的图像； 3、 掌握正比例函数的性质。 4、 会根据正比例函数的图像与性质进行应用。 一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、是的正比例函数； （2）、（为常数且≠0）； （3）、若与成正比例； （4）、（为常数且≠0）. 二、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 三、正比例函数的图象与性质（图像画法：列表；描点；连线） 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【即学即练1】已知函数 ()的图象经过点， 则的值为（  ） A．4 B． C．36 D． 【答案】A 【分析】此题考查了待定系数法求正比例的解析式．因为正比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得k． 【解析】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故选：A． 【即学即练2】已知是的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义可得，，从而可得答案． 【解析】解：由正比例函数的定义可得：，， 则． 故答案为：． 【即学即练3】已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【解析】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误； B、把代入，得，B选项错误； C、因为，所以y随x的增大而增大，C选项错误； D、 因为，所以图象经过第一、三象限， D选项正确． 故选D． 【即学即练4】已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，理解并掌握正比例函数的图像与性质是解题关键．在正比例函数中，当时，随的增大而增大，据此列不等式并求解即可． 【解析】解：根据题意，正比例函数的函数值随的增大而增大， 则， 解得． 故答案为：． 【即学即练5】对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可． 【解析】解：∵正比例函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 故答案为：12． 题型1：正比例函数的概念 【典例1】．下列问题中，两个变量成正比例的是（       ） A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽； C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． 【答案】C 【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答． 【解析】解：A、圆的面积S=πr2，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、长方形的面积S一定时，它的长a和宽b的关系S=ab，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C.正方形的周长C=边长×4=4a，是正比例函数，故此选项符合题意； D. 三角形的面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S=ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 【典例2】．下列函数是正比例函数的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正比例函数的定义对各选项进行判断． 【解析】解：A、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、为一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、是正比例函数，故此选项符合题意； D、的自变量的次数是，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义．一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，自变量的次数为1． 题型2：利用正比例函数的概念求参数的值 【典例3】．函数是正比例函数，则m的值为（       ） A． B．1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义，得m2=1，且m+1≠0，求解即可． 【解析】解：∵函数y=（m+1）xm2是正比例函数， ∴m2=1，且m+1≠0， 解得，m=1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如y=kx，且k≠0，叫正比例函数． 【典例4】．若函数是正比例函数，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义得出且，再求出即可． 【解析】解：函数是正比例函数， 且， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数，叫一次函数，当时，函数叫正比例函数． 【典例5】．若函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，则m的值为（       ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 【解析】解：由题意得：m2﹣9＝0， 解得：m＝3或m＝-3， ∵2m+6≠0， ∴m≠-3， ∴m＝3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数． 题型3：求函数的值与待定系数法 【典例6】．已知y与x成正比例，如果x=2时，y=1，那么x=3时，y为(　　) A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据y与x成正比例，如果x=4时，y=2，用待定系数法可求出函数关系式．再将x=3代入求出y的值． 【解析】解：∵y与x成正比例， ∴y=kx， x=4时，y=2， 即2=4k， 解得，则函数的解析式为， x=3时， 故选A 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【典例7】．若y与x成正比例，且当x＝3时，y＝6，则y与x之间的函数关系式为 __． 【答案】 【分析】首先设y＝kx，再代入x＝3，y＝6可得k的值，进而可得函数解析式． 【解析】解：设y＝kx， ∵当x＝3时，y＝6， ∴6＝3k， 解得：k＝2， ∴y＝2x， 故答案为：y＝2x． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如y＝kx（k≠0）的形式是正比例函数． 【典例8】．正比例函数经过点，则k的值是______． 【答案】3 【分析】把点（2，6）代入正比例函数y＝kx，可以求得k的值，本题得以解决． 【解析】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，6）， ∴6＝2k， ∴k＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【典例9】．变量x，y的一些对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 … 根据表格中的数据规律，当x＝11时，y的值是（       ） A．﹣22 B．﹣11 C．11 D．22 【答案】A 【分析】根据表格中变量x、y的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可． 【解析】解：由表格中变量x每增加1个单位，y就减少2个单位，且经过点(0，0)， 所以变量x、y的变化关系为正比例函数关系，即y=-2x， 当x=11时，y=-2×11=-22， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数值，根据表格中变量之间的变化关系和对应值得出函数关系式是解决问题的关键． 题型4：根据复合形式的正比关系求解析式 【典例10】．已知和成正比例，且时，，则y与x之间的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设出函数解析式，把当x=-2时，y=-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式． 【解析】解：∵和成正比例， ∴设 当x=-2时，y=-7代入解析式得， 解得， ∴ 整理得 ， 故答案为： 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用． 【典例11】．已知y与x之间成正比例关系，且当x = 1时，y =-3． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x =-2时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）把x =-2代入（1）中的解析式． (1) 解：y与x之间成正比例关系， 设 当x = 1时，y =-3 ； (2) 当x=-2时， 【点睛】本题考查正比例函数的定义，涉及待定系数法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【典例12】．．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4． (1)求y与x之间的关系式； (2)当x＝﹣1时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1＋y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式； （2）将x＝－1代入计算即可求出值． (1) 设y1＝ax，y2＝k（x﹣2）， ∴y＝ax+k（x﹣2） 由当x＝1时，y＝0．当x＝3时，y＝4可得， ， 解得：， ∴y与x之间的关系式为：y＝2x﹣2； (2) 当x＝﹣1时,． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法． 题型5：正比例函数的图像 【典例13】．画出下列正比例函数的图象： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象． 【解析】解：（1）当， 当， 如图，描点后连线得： （2）当， 当， 如图，描点后连线得： （3）当， 当， 如图，描点后连线得： 【点睛】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线． 【典例14】．已知：函数． (1)画出此函数的图象； (2)若点P（m，4）在图象上，求出m的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）把代入函数解析式求解即可． (1) 解：列表： x 0 1 y 0 -2 描点并连线 (2) 解：当点P（m，4）在图象上，则 解得： 【点睛】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键． 【典例15】．已知正比例函数的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像经过点（2，4）可求出k的值，得到函数解析式，将各点坐标代入验证即可． 【解析】由图像可知，正比例函数的图像经过点（2，4）， ∴4=2k， 解得：k=2， ∴函数解析式为y=2x， A.当x=-2时，y=2×(-2)=-4，故A错误； B.当x=-1时，y=2×(-1)=-2，故B错误； C.当x=4时，y=2×4=8，故C正确； D.当x=8时，y=2×8=16，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数，通过函数经过的点的坐标求函数解析式是解题的关键． 【典例16】．若一个正比例函数的图象经过A(2，﹣4)，B(m，﹣6)两点，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m的值． 【解析】解：设正比例函数解析式为：y＝kx， 将点A（2，﹣4）代入可得：2k＝﹣4， 解得：k＝﹣2， ∴正比例函数解析式为：y＝﹣2x， 将B（m，﹣6）代入y＝﹣2x，可得：﹣2m＝﹣6， 解得m＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法求出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程思想解决问题是解本题的关键． 【典例17】．如图，直线l是某正比例函数的图象，点，是否在该函数的图象上？ 【答案】点与点都在该函数图象上． 【分析】根据题意先设直线l的解析式为y=kx（k≠0），再把（-1，3）代入求出k的值，把A、B两点代入进行检验即可． 【解析】解：设直线l的解析式为y=kx（k≠0）， ∵直线过点（-1，3）， ∴3=-k，解得k=-3， ∴直线l的解析式为y=-3x． ∵当x=-4时，y=12；当x=3时，y=-9， ∴点A（-4，12），B（3，-9）在该函数的图象上． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【典例18】．根据下表写出y与x之间的一个关系式，并求出表中m，n的值 x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y n 6 0 ﹣6 ﹣12 ﹣18 m 【答案】，的值为-24，的值为12 【分析】根据表格中的数据，与 的比值不变，即可判断是一个正比例函数，设正比例函数的解析式为：，再根据已知点代入，即可求出解析式，进而可求出，的值 【解析】解：根据表中数据知：是的正比例函数． 设正比例函数的解析式为： 当时，， 与的关系式为． 当时，； 当时，． 的值为，的值为12． 【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，要注意正比例函数的特点，与 的比值不变 题型6：根据正比例函数的图像求参数 【典例19】．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________． 【答案】2 【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【解析】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 由题意，将点代入函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键． 【典例20】．如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可． 【解析】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限， ∴k﹣2＜0， 解得，k＜2． 故填：k＜2． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键． 题型7：正比例函数的性质 【典例21】．已知正比例函数（）的图象经过点（3，）． （1）求这个函数的解析式； （2）直接在图中画出这个函数的图象； （3）判断点A（4，）、点B（，3）是否在这个函数图象上； （4）已知图象上两点C（，）、D（，），如果，比较，的大小． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）点不在函数图象上，点在函数图象上；（4）． 【分析】（1）将点（3，）代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可； （4）根据正比例函数的性质或者结合图像分析即可． 【解析】（1）正比例函数（）的图象经过点（3，）， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）正比例函数经过原点，且是一条直线， 当时，， 则在图中找到， 作直线即可，如图： （3）将A（4，）、点B（，3）分别代入， ,则点不在函数图象上， ，则点在函数图象上； （4）， 随着增大而减小， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 【典例22】．正比例函数的图像是______，当时，直线过第______象限，随的增大而______. 【答案】     一条直线     一、三     增大 【分析】正比例函数的图象是一条过原点的直线，当k＞0时，过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，过二、四象限，y随x的增大而减小．据此解答即可. 【解析】解：正比例函数的图象是一条直线，当k＞0时，直线y=kx过第 一、三象限，y随x的增大而增大． 故答案为一条直线；一、三；增大． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，注意图像的特点：是一条经过原点的直线． 【典例23】．若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于k＜0时，函数y随x的增大而减小．又因为，所以． 【解析】解：∵k<0， ∴函数的y值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【典例24】．已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的解析式判断出函数的增减性，正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．再根据即可得出结论． 【解析】解： ， ∴y随x的增大而减小， ∵，是直线上的两个点，而 故选：B 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，掌握“正比例函数的增减性”是解本题的关键． 【典例25】．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（       ） A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限 C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义与性质判定即可． 【解析】解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意； B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意； C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点，说法正确，不合题意； D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的图像与性质，充分掌握正比例函数图象性质与系数之间的关系是解题关键． 【典例26】．点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在正比例函数y＝4x的图象上，当x1＜x2时，则y1与y2的大小关系是（       ） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【答案】A 【分析】由正比例函数的性质可知，当时，随的增大而增大，随着的减小而减小，结合，即可作答． 【解析】解：∵y＝4x中k＝4＞0， ∴y随x的减小而减小， ∵x1＜x2， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用图象的性质解答是解题的关键． 【典例27】．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值； （2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值． (1) 解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． (2) ∵函数的图象过第一、三象限， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键． 【典例28】．已知正比例函数的图象经过点(3，−6)． （1）求这个函数的解析式： （2）图象上有两点B（x1，y1）、C（x2，y2），如果，比较，的大小． 【答案】（1）y=-2x；（2）y1＜y2． 【分析】（1）利用待定系数法把（3，-6）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式； （2）根据正比例函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可判断． 【解析】解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx， ∵正比例函数的图象经过点（3，-6）， ∴-6=3•k， 解得：k=-2， ∴这个正比例函数的解析式为：y=-2x； （2）∵k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x1＞x2， ∴y1＜y2． 【点睛】本题考查了用待定系数求正比例函数的关系式，判断点是否在函数的图象上及正比例函数的性质，解（1）的关键是能正确代入即可；解（2）的关键是：熟记当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大． 题型8：正比例函数的定义、图像与性质综合题 【典例29】．对于函数y＝k2x(k是常数，k≠0)，下列说法不正确的是(    ) A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点(，k) C．该函数图象经过二、四象限 D．y随着x的增大而增大 【答案】C 【分析】由正比例函数定义可判断A，代入点(，k)可判断B，由k2是正数可判断C和D. 【解析】解：该函数符合正比例函数定义，则A正确；当x=，y= k2×=k，则B正确；由于k2是正数，故函数图像经过一、三象限，y随着x的增大而增大，则C错误，D正确； 故选择C. 【点睛】本题考查了正比例函数的定义. 【典例30】．若，当自变量取值减少1时，相应的函数值增加1，那么 . 【答案】 【分析】首先根据题意表示出x=2时，y=2(k+1)，因为自变量减少1，函数值相应增加1，可得x=1时，函数值是k+1，进而得到2（k+1）-（k+1）=-1，再解方程即可． 【解析】由题意得：x=2时，y=2(k+1)， 因为自变量取值减少1时，相应的函数值增加1， 当x=1时，函数值是k+1， 即2（k+1）-（k+1）=-1， 解得，k=-2. 故答案为：-2. 【点睛】此题主要考查了求正比例函数中的k，关键是弄懂题意，表示出x=1，x=2时的y的值． 【典例31】．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的减小而减小，则k的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，），再用待定系数法求出解析式即可． 【解析】解：因为y随x的减小而减小，所以当时，；当时，．把代入，得，解得． 【点睛】此题考查正比例函数的性质，根据y随x的减小而减小判断直线经过点（-3，-1）、（1，）是解答此题的关键． 【典例32】．若y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（-1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a＜b． 【解析】解：∵y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数， ∴m2-1=0，m-1≠0， 解得：m=-1， ∴m-1=-1-1=-2＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵A（1，a）和B（-1，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图象上，且1＞-1， ∴a＜b． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”． 题型9：正比例函数的几何应用 【典例33】．点在正比例函数图像上，过点作轴的垂线，垂足是，若，则此正比例函数的解析式是 . 【答案】或 【分析】设 由题意可得得到A的坐标，将之代入正比例解析式中求得k值，即可得解. 【解析】设 由题意可得 故点A的坐标为,设正比例函数解析式为， ， 解得， 所以这个函数的解析式为或 故答案为或. 【点睛】本题考查了正比例函数，能灵活应用待定系数法求解析式是解题关键. 【典例34】．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是(　　) A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2 【答案】D 【分析】如图，可知当直线在过点和点两点之间的时候满足条件，把、两点分别代入可求得的最小值和最大值，可求得答案． 【解析】解： 直线与正方形有公共点， 直线在过点和点两直线之间之间， 如图，可知，， 当直线过点时，代入可得，解得， 当直线过点时，代入可得，解得， 的取值范围为：， 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过和两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 【典例35】．平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【解析】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 【典例36】．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x；（2）点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）． 【解析】试题分析：（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标. 试题解析：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3 ∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2）， ∵正比例函数y=kx经过点A， ∴3k=﹣2解得k=-， ∴正比例函数的解析式是y=-x； （2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2）， ∴OP=5， ∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）． 点睛：本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． 题型10：分段函数图像的画法 【典例37】．当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可； 【解析】解：∵当时，， ∴此时函数在第一象限， ∵当时，， ∴此时函数过原点及第二象限， 故选： C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限． 一、单选题 1．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 【答案】B 【分析】本题考查正比例的概念，根据正比例的定义，分别分析判断即可．理解并掌握正比例的定义（两个量的比值一定，则这两个量成正比关系）是本题的关键． 【解析】解：一个人的体重和年龄不成正比例， ∴A不符合题意； 圆的周长直径（一定）， ∴圆的周长和直径成正比例， ∴B符合题意； 速度时间路程（一定）， ∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例， ∴C不符合题意； （长宽）长方形的周长（一定）， ∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例， ∴D不符合题意． 故选：B． 2．下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【解析】解：根据正比例函数的定义可知，A选项中的函数是正比例函数，B、C、D三个选项中的函数不是正比例函数， 故选A． 3．已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据的符号，即可得出结果． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴它的图象经过第二、四象限． 故选C． 4．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【解析】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 5．关于函数，下列说法错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象经过点 C．图象经过一、三象限 D．当时， 【答案】B 【分析】根据正比例函数的图象与系数的关系解答，对于，当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限． 【解析】A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意； B、当时，，图象经过，说法错误，符合题意； C、，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意； D、当时，，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质和定义，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题关键．     6．已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式． 【解析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入，得：， ∴正比例函数的解析式为. 故选B. 7．已知是关于x的正比例函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．任何实数 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如的函数是正比例函数列关于m的方程求解即可． 【解析】解：∵是关于x的正比例函数， ∴，且， 解得， 故选：C． 8．已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据可得，随的增大而减小，即可求解． 【解析】解：∵点，，都在正比例函数的图象上，， ∴可得，随的增大而减小， ∴. 故选：B． 9．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（　　）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义知，函数值与自变量的比值为定值，所以求得四个点的纵坐标与横坐标的比，即可知结果． 【解析】由于点A、B、D三个点的纵坐标与横坐标的比相等，即，但点C的纵坐标与横坐标的比 即点C与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及正比例函数的图象，掌握正比例函数的定义与图象是关键． 10．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3 C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1 【答案】A 【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小． 【解析】解：首先根据直线经过的象限，知：k3＜0，k4＜0，k1＞0，k2＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，知：|k1|＞|k2|，|k4|＞|k3|． 则k1＞k2＞k3＞k4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小． 二、填空题 11．已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． 设解析式为，代入点求出值得到解析式，再代入点坐标求出值即可． 【解析】解：设正比例函数解析式为， 在的图象上， ， ， 正比例函数解析式为：， 是直线上的点， ， ． 故答案为：6． 12．已知正比例函数y=kx的图像经过点(1，2)，则此正比例函数的解析式为 【答案】 【分析】根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，把点A的坐标代入函数解析式求出k值即可得解． 【解析】解：∵正比例函数y=kx的图像经过点(1，2)并将其带入， ∴k=2， ∴正比例函数解析式为：． 故答案为：y=2x． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，解决此题的关键是学会用待定系数法． 13．若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过第一、三象限，则得到，解不等式即可． 【解析】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14．已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键． 【解析】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．已知y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝7，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意设，把x＝2时，y＝7代入求出k的值，即可求解． 【解析】解：根据题意可得， 把x＝2时，y＝7代入可得，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k的值是解题的关键． 16．正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ． 【答案】或 【分析】根据题意确定A点纵坐标是2或者-2，设出正比例函数解析式，然后分情况将A点坐标代入解析式即可求出． 【解析】根据题意可得A点坐标或， 设正比例函数解析式为：y=kx， 代入解析式可得：k=或， ∴函数解析式是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数解析式，根据题意确定点A的坐标是解题的关键． 17．若点，在正比例函数的图像上，则 . 【答案】3 【分析】把点P与Q分别代入解析式，即可求出k的值. 【解析】解：把点，代入解析式，得 ，解得：， ∴k的值为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 18．如图，在平面直角坐标系中，，，且于点A，则所在的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】作轴于E，证明，求出，，从而求得点C坐标，设直线的解析式为，将点C坐标代入求得k的值，从而得解． 【解析】解：作轴于E，如图所示： ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为，将点C坐标代入得， ， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 三、解答题 19．下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数 【分析】根据正比例函数的概念：形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，判断即可． 【解析】解：由正比例函数的概念可知：（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数． 【点睛】本题考查了正比例函数、比例系数，解题的关键是掌握正比例函数的概念． 20．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    【答案】见解析 【分析】根据两点法画出函数图像即可求解． 【解析】解：如图所示，同一直角坐标平面内画出下列函数图像．    【点睛】本题考查了画正比例函数图像，数形结合是解题的关键． 21．已知是的正比例函数，并且当时． (1)求正比例函数的表达式； (2)判断点和点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在函数的图象上，点在函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案． 【解析】（1）解：设正比例函数表达式为 把，代入得，解得， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 把代入，得 ∴点不在函数的图象上，点在函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键． 22．已知与成正比例，当时， (1)求与的函数表达式； (2)当时，求函数值； (3)当时，求自变量的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案； （2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案； （3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案． 【解析】（1）解：∵与成正比例， ∴． ∴． ∵当时，， ∴． ∴． ∴与的函数表达式为； （2）当时，； （3）当时，． ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键． 23．已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x=﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范围是﹣＜x＜． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式； （2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可； （3）先求出函数值是-3和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了． 【解析】（1）设y=k（x﹣1）， 把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2， 所以y=2（x﹣1）， 即y=2x﹣2； （2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4； （3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3， 解得：x=﹣， 当y=5时，2x﹣2=5， 解得：x=， ∴x的取值范围是﹣＜x＜． 【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 24．如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【答案】(1) (2)小张购买这张消费卡实际花费元 【分析】本题主要考查正比例函数的应用， （1）依据题意，设解析式为，把代入，计算即可得解； （2）依据题意，结合（）令时，进而计算可以得解． 【解析】（1）解：由题意，设解析式为，把代入得： ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，结合（1）， 令时，． 小张购买这张消费卡实际花费元． 25．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)当时，求y的值； (3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据正比例函数的性质，求解即可． 【解析】（1）解：由题意，设：， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴当时，； （3）∵，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该函数的图象上，且， ∴． 26．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案． 【解析】解：（1）设正比例函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则正比例函数的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 设点的坐标为，则， 的面积是， ，即， 解得或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键． 27．如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的值为或 【分析】（1）根据题意，得到，由直线（），交边于点，可知与重合时，最小；与重合时，最大；将点的坐标代入解析式求出值即可得到答案； （2）根据题意，有三种情况：当直线交于时；当直线经过点时；当直线交于点时；分别求解即可得到答案； （3）由（2）中分类，结合，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7，分情况讨论即可得到答案． 【解析】（1）解：长方形边，， ， ∵直线（），交边于点， ∴直线（）经过一、三象限， ∴， 把代入（），得，解得， ∴的取值范围为； （2）解：根据题意，有三种情况： ①当直线交于时，联立，解得， ∴， ∴，即（）； ②当直线经过点时，； ③当直线交于点时，联立，解得， ∴，即（）； 综上所述，关于的解析式为； （3）解：能， ∵，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7， ①当直线交于时，， ∵， ∴，解得； ②当直线交于点时，， ∵， ∴，解得； 综上所述，直线（），将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7时，的值为或． 【点睛】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、正比例函数图象与性质、正比例函数的取值范围、不规则图形面积的间接表示、三角形面积等知识，读懂题意，熟记正比例函数图象与性质，数形结合，准确分类是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 38 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 正比例函数（十大题型） 学习目标 1、 知道正比例函数的概念及求其解析式； 2、 会画正比例函数的图像； 3、 掌握正比例函数的性质。 4、 会根据正比例函数的图像与性质进行应用。 一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、是的正比例函数； （2）、（为常数且≠0）； （3）、若与成正比例； （4）、（为常数且≠0）. 二、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 三、正比例函数的图象与性质（图像画法：列表；描点；连线） 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【即学即练1】已知函数 ()的图象经过点， 则的值为（  ） A．4 B． C．36 D． 【即学即练2】已知是的正比例函数，则 ． 【即学即练3】已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 【即学即练4】已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围为 ． 【即学即练5】对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 题型1：正比例函数的概念 【典例1】．下列问题中，两个变量成正比例的是（       ） A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽； C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． 【典例2】．下列函数是正比例函数的是（       ）． A． B． C． D． 题型2：利用正比例函数的概念求参数的值 【典例3】．函数是正比例函数，则m的值为（       ） A． B．1 C． D．不存在 【典例4】．若函数是正比例函数，则的值是（       ） A． B． C． D． 【典例5】．若函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，则m的值为（       ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 题型3：求函数的值与待定系数法 【典例6】．已知y与x成正比例，如果x=2时，y=1，那么x=3时，y为(　　) A． B．2 C．3 D．0 【典例7】．若y与x成正比例，且当x＝3时，y＝6，则y与x之间的函数关系式为 __． 【典例8】．正比例函数经过点，则k的值是______． 【典例9】．变量x，y的一些对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 … 根据表格中的数据规律，当x＝11时，y的值是（       ） A．﹣22 B．﹣11 C．11 D．22 题型4：根据复合形式的正比关系求解析式 【典例10】．已知和成正比例，且时，，则y与x之间的函数表达式为_________． 【典例11】．已知y与x之间成正比例关系，且当x = 1时，y =-3． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x =-2时，求y的值． 【典例12】．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4． (1)求y与x之间的关系式； (2)当x＝﹣1时，求y的值． 题型5：正比例函数的图像 【典例13】．画出下列正比例函数的图象： （1）； （2）； （3）． 【典例14】．已知：函数． (1)画出此函数的图象； (2)若点P（m，4）在图象上，求出m的值． 【典例15】．已知正比例函数的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（       ） A． B． C． D． 【典例16】．若一个正比例函数的图象经过A(2，﹣4)，B(m，﹣6)两点，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【典例17】．如图，直线l是某正比例函数的图象，点，是否在该函数的图象上？ 【典例18】．根据下表写出y与x之间的一个关系式，并求出表中m，n的值 x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y n 6 0 ﹣6 ﹣12 ﹣18 m 题型6：根据正比例函数的图像求参数 【典例19】．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________． 【典例20】．如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 _____． 题型7：正比例函数的性质 【典例21】．已知正比例函数（）的图象经过点（3，）． （1）求这个函数的解析式； （2）直接在图中画出这个函数的图象； （3）判断点A（4，）、点B（，3）是否在这个函数图象上； （4）已知图象上两点C（，）、D（，），如果，比较，的大小． 【典例22】．正比例函数的图像是______，当时，直线过第______象限，随的增大而______. 【典例23】．若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【典例24】．已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【典例25】．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（       ） A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限 C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大 【典例26】．点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在正比例函数y＝4x的图象上，当x1＜x2时，则y1与y2的大小关系是（       ） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【典例27】．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【典例28】．已知正比例函数的图象经过点(3，−6)． （1）求这个函数的解析式： （2）图象上有两点B（x1，y1）、C（x2，y2），如果，比较，的大小． 题型8：正比例函数的定义、图像与性质综合题 【典例29】．对于函数y＝k2x(k是常数，k≠0)，下列说法不正确的是(    ) A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点(，k) C．该函数图象经过二、四象限 D．y随着x的增大而增大 【典例30】．若，当自变量取值减少1时，相应的函数值增加1，那么 . 【典例31】．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的减小而减小，则k的值为 ． 【典例32】．若y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（-1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（       ） A． B． C． D． 题型9：正比例函数的几何应用 【典例33】．点在正比例函数图像上，过点作轴的垂线，垂足是，若，则此正比例函数的解析式是 . 【典例34】．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是(　　) A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2 【典例35】．平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【典例36】．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10：分段函数图像的画法 【典例37】．当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（       ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 2．下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．关于函数，下列说法错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象经过点 C．图象经过一、三象限 D．当时， 6．已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．已知是关于x的正比例函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．任何实数 8．已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 9．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（　　）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A．A B．B C．C D．D 10．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3 C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1 二、填空题 11．已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 12．已知正比例函数y=kx的图像经过点(1，2)，则此正比例函数的解析式为 13．若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 14．已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 15．已知y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝7，则y与x的函数关系式为 ． 16．正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ． 17．若点，在正比例函数的图像上，则 . 18．如图，在平面直角坐标系中，，，且于点A，则所在的直线解析式为 ． 三、解答题 19．下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 20．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    21．已知是的正比例函数，并且当时． (1)求正比例函数的表达式； (2)判断点和点是否在这个函数的图象上． 22．已知与成正比例，当时， (1)求与的函数表达式； (2)当时，求函数值； (3)当时，求自变量的值． 23．已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x=﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 24．如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 25．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)当时，求y的值； (3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系． 26．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 27．如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$