第26讲 角的平分线(三类知识点+七大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第26讲 角的平分线（七大题型） 学习目标 1、 知道角的平分线的性质； 2、 学会角的平分线的判定； 3、 掌握角的平分线的性质与判定综合。 一、角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点：用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 二、角的平分线的逆定理 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点：用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【即学即练1】如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出． 【解析】解：平分，于点，于点， 故选：C． 【即学即练2】如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案． 【解析】解：如图，过作于，    ∵，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为4． 故选D 【即学即练3】如图，在中，，平分，交于点，，，则点到的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 由条件可先求得的长，再根据角平分线的性质可知到的距离等于，可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴点到线段的距离为， 故选：D． 【即学即练4】如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【解析】解：∵，，， ∴平分， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 【即学即练5】如图，在中，和的平分线相交于点，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得，，，根据角之间的关系得，即可得； （2）过点作，，垂足分别为，根据角平分线的性质得，，根据即可得． 【解析】（1）解：∵分别平分，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为．   平分， ， 同理得． ． 又， 平分． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 题型1：角的平分线的性质 【典例1】．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出． 【解析】解：平分，于点，于点， 故选：C． 【典例2】．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【解析】解：如图，过点D作于E， 是的角平分线，， ， 由垂线段最短可得， ， ． 故选：A． 【典例3】．如图，A、B、C分别为某经济开发区中的三地，每两地之间都修建了一条笔直的公路，现在要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（    ）． A．AC、BC两边高线的交点处 B．两内角平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处 D．AC、BC两边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查角平分线性质．角平分线上的点到线段两端的距离相等，利用性质即可得到本题答案． 【解析】解：∵要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等， ∴将加油站建在两内角平分线的交点处即可到三边的距离相等， 故选：B． 【典例4】．在中，的平分线交于点D，且，则D到的距离为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是灵活运用角平分线的性质解决问题． 作出图形，过点D作于E，先求出的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得解答． 【解析】解：如图，过点D作于E， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【典例5】．如图，平分，于点E，，，则的面积等于（ ） A．28 B．21 C．14 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形面积公式，是解题的关键． 作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：作交的延长线于F， 平分，，， ， 的面积， 故选：C． 【典例6】．如图，在中，是的平分线，于E，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． 先根据角平分线的性质得出，再由即可得出结论． 【解析】解：是的平分线，且, 是等腰直角三角形， 故答案为∶2． 题型2：面积问题 【典例7】．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，过作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出面积即可． 【解析】解：过作于， 是边上的高，平分，， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：20． 【典例8】．如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】33 【分析】本题考查的是角平分线的性质，割补法求解三角形的面积，熟记角平分线的性质定理是解本题的关键． 如图，连接，由、分别平分和，可得点O到、、的距离都相等，再利用可得答案． 【解析】解：如图，连接，    ∵、分别平分和， ∴点O到、、的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 【典例9】．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【典例10】．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【解析】解：如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴ ∴． 故答案为：4． 【典例11】．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 【典例12】．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【解析】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 题型3：角的平分线的判定 【典例13】．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的判定定理解答即可． 【解析】∵于点，于点，， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【典例14】．如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【解析】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【典例15】．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解． 【解析】解：过点E作于点D，于点F，于点G， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角， ∴， ∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=， ∴∠EBA+∠BAE==， ∴∠AEB==． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键． 【典例16】．如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证： (1)； (2) 平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理 （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【解析】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，，， 平分． 题型4：尺规作图 【典例17】．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案． 【解析】解：由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：C． 【典例18】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质． 作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算． 【解析】解：作于H， 由题中作法得平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【典例19】． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断． 【解析】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵，故③正确； ∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等， ∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 题型5：角的平分线的判定与性质 【典例20】．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【解析】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【典例21】．如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数． 【解析】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G， ∵的平分线与的平分线相交于点E， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例22】．如图，四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD. 【解析】解：∵BD⊥CD，∠A＝90° ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CBD+∠C＝90°， ∵∠ADB=∠C ， ∴∠ABD＝∠CBD， 由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小， 此时，DP＝AD＝3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【典例23】．如图，，点是的中点，平分，若，连接，则 ．    【答案】 【分析】作于，根据平行线的判定定理，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据中点的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据角平分线的判定定理，得出是的角平分线，再根据角平分线的定义，计算即可得出答案． 【解析】解：如图，作于，    ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的判定和性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【典例24】．如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【解析】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【典例25】．在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明得出，即可得证； （2）由角平分线的性质定理得出，即可证明，，由等腰三角形的性质得出，即可证明，． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴，即， ∴平分； （2）解：由（1）可得：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴； ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 【典例26】．如图，和均是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④：⑤平分．其中结论正确的个数是（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明即可判断①，进而得出，根据三角形的外角的性质即可判断④，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，根据角平分线判定定理，即可判断⑤，没有条件可以判断②③，即可求解． 【解析】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴ 即 ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴，故④正确； 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故⑤正确； 不能证明，，故②；③，不一定成立， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型6：最值问题 【典例27】．如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值． 【解析】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，， ∴ ，， 在与中， ∵ ， ，， ∴ ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∵， ∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大． 【典例28】．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【解析】解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 【典例29】．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等．连接，并延长至，由直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，当时，最小，则可得出答案． 【解析】解∶ 连接，并延长至， ∵，为的中点， ∴， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上运动， 当时，最小， ∴， 故答案为：3． 题型7：线段的垂直平分线与角的平分线 【典例30】．如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见详见 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线段性质得到，，进而得到，，根据，得到，即可得到，再根据三角形外角的性质进一步得出，即可证明； （2）先证明，过点作，垂足为，根据的面积为求出，根据（1）可知平分，，，根据角平分线的性质即可求出． 【解析】（1）解：∵所在的直线垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， ∴平分， 又∵，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． 【典例31】．如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，，再利用证出，得到，，即可证明结论． 【解析】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）如图，由（1）知， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴线段垂直平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，熟练掌握角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定是解题的关键． 【典例32】．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，． （1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到，再根据等角对等边可得到； （2）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 【解析】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）， 即， ∵， ， ∴． 一、单选题 1．如图，点在平分线上，，，则点到的距离为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作于点，    ∵是的平分线，，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【解析】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案． 【解析】解：过点C作CN⊥OA， ∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6， ∴S△COM=， ∴， ∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB， ∴CN=CM=3． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键． 4．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先证明平分，然后根据四边形内角和求得度数，则结果可求． 【解析】∵， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解． 【解析】解：作DF⊥AC于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=3， ∵S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴， ∴AC=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（    ）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】过作，垂足为，利用角平分线的性质证出，再利用全等的性质和勾股定理建立等式运算求解即可． 【解析】解：过作，垂足为 ∵为角平分线，， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴整理可得： ∴ 解得： 故选： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟悉利用角平分线的性质证三角形全等是解题的关键． 7．下列说法正确的有（    ） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即得答案． 【解析】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确； 在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误， 三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确； 综上，正确的说法是①④，有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键． 8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可. 【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90° ∵AD=AD， ∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意； ∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF， ∵AG=AG，DG=DG ∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意； 根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．如图，在中，，，BD是的平分线，设、的面积分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：如图，过点D作交AB于点E，由BD是的平分线，得，由于，，又∵，∴． 答案：A 易错：B 错因：误以为． 满分备考：性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等． 10．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明； ②与不能得出全等的结论，无法证明； ③若，无法推出； ④利用三角形面积的公式即可证明； ⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明． 【解析】①∵ ∴， ∵内角和外角的平分线交于点 ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，故①正确． ②与只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推出，故②错误 ③若，则，则，无法推出，故③错误 ④的面积为乘以点到线段的距离乘以 的面积为乘以点到线段的距离乘以 点到线段的距离与点到线段的距离相等 ∴，故④正确 ⑤过点E作于N，于D，于M，如图， ∵平分， ∴ ∵平分， ∴ ∴， ∴平分， 设， ， ， 则， ， ∵， ∴， ∴∘， ∵， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 故选C 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解． 二、填空题 11．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线上任意一点到角的两边距离相等即可求解． 【解析】解：∵P是平分线上一点，，， ， 故答案为：． 12．在的网格中，的位置如图所示，则到两边距离相等的点是 ． 【答案】M 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键，根据角平分线的性质判断即可． 【解析】解：根据角平分线上的点到两边的距离相等， 故满足条件的点是点M， 故答案为：M． 13．如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此得到，由此求出的长，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【解析】解：∵平分交于点D，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：4． 14．如图在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．由垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，根据角平分线的性质，求得的长是解题的关键． 【解析】解：∵垂直平分， ∴，， ∵在中，，平分交于点D， ∴， ∴． 故答案为：． 15．阅读作图过程，并解答问题： ①在，上分别截取，，使； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，如图所示． 已知点为射线上一点，于点，点在边上，连接． 若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及角平分线作图、垂线段最短：根据题意，得是的平分线，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答． 【解析】解：∵根据题意，得是的平分线， ∴点P到的距离为5， 则的最小值为5， 故答案为：5 16．如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为和．过点作于，则 （填“、、”）；的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，先利用角平分线的性质，即可得出与的数量关系；证明，从而可得，再证明，从而可得，然后结合图形利用面积的和差关系进行计算即可解答．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】解：如图， ∵是的角平分线，，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的面积分别为和， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的面积为． 故答案为：；． 17．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【解析】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 18．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【解析】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题的关键． 三、解答题 19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线性质定理可得，再证明，即可得到答案． 【解析】证明：∵平分， ∴ ， 在和中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查角平分线性质定理，三角形的性质和判定，灵活应用知识点结合图形思考分析是解题重点． 20．已知：如图，于，于，若，；求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，证是解题关键． 【解析】证明：∵，， ∴ 在和中： ∴， ∴ 又∵，， ∴平分 21．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键； （1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； （2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 【解析】（1）解：作图如图所示， 则为所求作的角平分线 （2）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 22．如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的判定和性质即可证明； （2）过点P作，垂足为G．利用角平分线的性质得到，再利用证明，推出，根据线段的和与差计算求解即可． 【解析】（1）证明：，， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，过点P作，垂足为G． 平分，， ，． 在与中， ． ． 在与中， ， ， ． ，， ， ． 23．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，连接，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． （1）证明，即可得结论； （2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题． 【解析】（1）证明：， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ， ，， 平分． 24．我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点B，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边只有一个交点F，且，则，就把三等分了．求证：． 图1                    图2 【答案】证明详见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明得到，再由角平分线的判定定理得到，由此可证明． 【解析】证明：如图所示，连接 ， ， ，， ， ， ，，， ， ． 25．如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，当时，延长至，使得，连接、， ①求证：平分； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，得到，则 由三角形外角的性质可得； （2）①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N，利用四边形内角和定理求出，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则由角平分线的判定定理即可证明平分；②设，则，求出，则由含30度角的直角三角形的性质得到，则，由全等三角形的性质得到；证明，得到，进一步证明，得到，则，解得，由此可得． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； ②设，则， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．如图1，点和点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且，点和点分别在第四象限和第一象限，且，，点的坐标为，且满足． (1)求点的坐标； (2)求的度数； (3)如图2，点，分别在轴正半轴和轴负半轴上，且，直线交于点，交的延长线于点，判断，，的数量关系并证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）如图中，作于，于．只要证明，推出（全等三角形对应边上的高相等），推出平分，再证明，即可解决问题； （3）结论：；过B作y轴的平行线交的延长线于H，只要证明，以及，即可解决问题； 【解析】（1）解：， 又 ，， ∴， ，， 点坐标为． （2）解：如图1中，作于，于． ，，， ， ， （全等三角形对应边上的高相等）， 平分， ，则， 即， ， ， ． （3）解：结论：． 理由：如图2中，过点作轴交的延长线于． ，，， ， ， ， ， ，， ∴，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，掌握非负数的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)是一个固定的值， 【分析】（1）证，即可得证； （2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证； （3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解． 【解析】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于，于． 由（）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 又，， 平分， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 角的平分线（七大题型） 学习目标 1、 知道角的平分线的性质； 2、 学会角的平分线的判定； 3、 掌握角的平分线的性质与判定综合。 一、角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点：用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 二、角的平分线的逆定理 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点：用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【即学即练1】如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【即学即练2】如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 【即学即练3】如图，在中，∠B=90°，平分，交于点，，，则点到的距离为（　　）． A． B． C． D． 【即学即练4】如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【即学即练5】如图，在中，和的平分线相交于点，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 题型1：角的平分线的性质 【典例1】．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例2】．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3】．如图，A、B、C分别为某经济开发区中的三地，每两地之间都修建了一条笔直的公路，现在要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（    ）． A．AC、BC两边高线的交点处 B．两内角平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处 D．AC、BC两边垂直平分线的交点处 【典例4】．在中，的平分线交于点D，且，则D到的距离为 ． 【典例5】．如图，平分，于点E，，，则的面积等于（ ） A．28 B．21 C．14 D．7 【典例6】．如图，在中，是的平分线，于E，，则的长为 ． 题型2：面积问题 【典例7】．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【典例8】．如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【典例9】．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【典例10】．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ． 【典例11】．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【典例12】．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 题型3：角的平分线的判定 【典例13】．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    【典例14】．如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【典例15】．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【典例16】．如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证： (1)； (2) 平分． 题型4：尺规作图 【典例17】．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【典例18】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例19】． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 题型5：角的平分线的判定与性质 【典例20】．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【典例21】．如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【典例22】．如图，四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例23】．如图，，点是的中点，平分，若，连接，则 ．    【典例24】．如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【典例25】．在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【典例26】．如图，和均是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④：⑤平分．其中结论正确的个数是（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 题型6：最值问题 【典例27】．如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【典例28】．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例29】．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为 题型7：线段的垂直平分线与角的平分线 【典例30】．如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【典例31】．如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【典例32】．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)． (2)． (3)． 一、单选题 1．如图，点在平分线上，，，则点到的距离为（ ）    A． B． C． D． 2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 4．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（    ）． A．4 B．5 C．6 D． 7．下列说法正确的有（    ） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，BD是的平分线，设、的面积分别为、，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ． 12．在的网格中，的位置如图所示，则到两边距离相等的点是 ． 13．如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 14．如图在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，若，，则 ． 15．阅读作图过程，并解答问题： ①在，上分别截取，，使； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，如图所示． 已知点为射线上一点，于点，点在边上，连接． 若，则的最小值为 ． 16．如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为和．过点作于，则 （填“、、”）；的面积为 ． 17．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 18．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 三、解答题 19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：． 20．已知：如图，于，于，若，；求证：平分． 21．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 22．如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，连接，求证： (1)； (2)平分． 24．我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点B，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边只有一个交点F，且，则，就把三等分了．求证：． 图1                    图2 25．如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，当时，延长至，使得，连接、， ①求证：平分； ②若，，求的长度． 26．如图1，点和点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且，点和点分别在第四象限和第一象限，且，，点的坐标为，且满足． (1)求点的坐标； (2)求的度数； (3)如图2，点，分别在轴正半轴和轴负半轴上，且，直线交于点，交的延长线于点，判断，，的数量关系并证明． 27．在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$