第2章 代数式 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第2章 代数式单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．若，则的值是（ ） A．5 B． C．8 D． 2．下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列多项式中，是二次三项式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某数的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式是5次单项式的是（　　） A． B． C． D． 7．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的60包茶叶．如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 8．代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 9．观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第个图形共有（   ）个点组成 A． B． C． D． 10．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．代数式的系数是 ，次数是 ． 12．合并同类项： ． 13．若实数x、y满足方程，则代数式的值是 ． 14．为加快人工智能等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新生产设备后，生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，则更新设备后每天生产 件产品（用含x 的式子表示）． 15．已知a是的相反数，b比最小的正整数大4，是相反数等于它本身的数，则的值是 ． 16．若，且，，则 ． 17．当时，的值是；当时，的值 18．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“幸运数”，并把数M分解成的过程，称为“成功分解”．例如，因为，23和25的十位数字相同，个位数字之和为8；所以575是“幸运数”． （1）最小的“幸运数”是 ； （2）把一个“幸运数”M进行“成功分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被9整除，则M的值为 ． 三、解答题（共8小题，合计66分） 19．（8分）已知：， (1)求的值； (2)求的值． 20．（8分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求的值． 21．（8分）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 22．（8分）已知代数式，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”，计算的结果是． (1)求代数式． (2)若是最大的负整数，求的值． 23．（8分）如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆． (1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)求当，，时剩下的铁皮面积（取3）． 24．（8分）定义一种新运算：对于实数、，有（其中，均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为，其中，叫做线性数的一个数对 (1)若，则 ， ； (2)已知：，则，求的值． 25．（8分）观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 26．（10分）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于31的“相对关系值”为1． ①的最大值为 ； ②直接写出所有的值．（用含的式子表示） 试卷第2页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 代数式单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．若，则的值是（ ） A．5 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，求代数式的值的应用，能得出是解此题的关键．根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】解： 故选B． 2．下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念，根据有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念逐项判断即可求解，掌握有理数的分类、绝对值的意义及整式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：①有理数分为正整数、负整数、、正分数、负分数，该选项错误，不合题意； 如果 ，那么，该选项错误，不合题意； ③是六次单项式，该选项错误，不合题意； ④是四次二项次，该选项错误，不合题意； ⑤是多项式，该选项错误，不合题意； ⑥与是同类项，该选项正确，符合题意； ∴正确的只有个， 故选：． 3．下列多项式中，是二次三项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式，用到的知识点：多项式的次数由组成多项式的单项式的最高次数决定；组成多项式的单项式叫做多项式的项，有几项就是几项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定． 【详解】解：A. 是三次二项式，不符合题意； B. 是三次二项式，不符合题意； C. 是二次三项式，符合题意； D. 是一次三项式，不符合题意； 故选：C． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据合并同类项的法则，以此判断即可求出答案． 【详解】解：A、因为，故错误，不符合题意； B、因为，故错误，不合题意； C、因为，故正确，符合题意； D、因为，故错误，不合题意； 故选：C． 5．某数的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式．数的平方为，的5倍是，再表示与1的差，最后表示出差的一半，即可． 【详解】解：某数的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是． 故选：D． 6．下列各式是5次单项式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的次数的定义：单项式中所有字母指数的和为单项式的次数．利用单项式中所有字母指数的和为单项式的次数逐一判断即可． 【详解】解：A、单项式的次数是次，本选项不符合题意； B、单项式的次数是次，本选项符合题意； C、单项式的次数是次，本选项不符合题意； D、是多项式不是单项式，其次数是3次，本选项不符合题意； 故选：B． 7．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的60包茶叶．如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，解题的关键是理解利润（售价进价）数量． 由题意得，进货成本，销售额，根据题意列式求解即可． 【详解】解：由题意得，进货成本，销售额， 故 ∵， ∴， ∴这家商店盈利． 故选：A． 8．代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 【答案】C 【分析】本题考查了代数式表示的意义，根据代数式的表示意义，即可求解，掌握代数式的表示是解题的关键． 【详解】解：根据题意，表示的意义是y与5的差的5倍， 只有C符合题意， 故选：C ． 9．观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第个图形共有（   ）个点组成 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律变化类问题，根据第个图形有个点，第个图形有个点，第个图形有个点，第个图形有个点，可得第个图形有个点，据此解答即可求解，根据图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第个图形有个点， 第个图形有个点， 第个图形有个点， 第个图形有个点， ， ∴第个图形有个点， 当时，共有个点， 故选：． 10．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 2、 填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．代数式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数和次数的定义； 单项式的系数指单项式中的数字因数，次数指单项式中所有字母的指数和，据此可得答案． 【详解】解：代数式的系数是，次数是， 故答案为：，． 12．合并同类项： ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的运算法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变解答即可．本题考查了合并同类项的运算法则，熟练运用合并同类项的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为． 13．若实数x、y满足方程，则代数式的值是 ． 【答案】10 【分析】此题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由已知等式求出，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由，得到， 则， 故答案为：10 14．为加快人工智能等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新生产设备后，生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，则更新设备后每天生产 件产品（用含x 的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据更新生产设备后，生产效率比更新前提高了列式求解即可． 【详解】解：由题意得，更新设备后每天生产件产品， 故答案为：． 15．已知a是的相反数，b比最小的正整数大4，是相反数等于它本身的数，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查相反数的定义．掌握最小的正整数是，相反数等于它本身的数是，据此即可求解．． 【详解】解：∵a是的相反数，b比最小的正整数大4，是相反数等于它本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 16．若，且，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值及求代数式的值，根据题意得出是解题关键． 根据已知条件，结合绝对值的性质和乘方的意义得到m，n的值，再分别代入中计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 又，， ∴，或，． ∴当，时，； 当，时，． 故答案为：或． 17．当时，的值是；当时，的值 【答案】 【分析】本题考查的是代数式求值，先根据题意得出是解答此题的关键． 直接将代入得出，进而将代入得出答案即可． 【详解】解：∵当时，的值为； ， ， 当时，有， 故答案为：2023． 18．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“幸运数”，并把数M分解成的过程，称为“成功分解”．例如，因为，23和25的十位数字相同，个位数字之和为8；所以575是“幸运数”． （1）最小的“幸运数”是 ； （2）把一个“幸运数”M进行“成功分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被9整除，则M的值为 ． 【答案】 187 或或 【分析】本题考查了整式加减的应用等知识点，正确理解“幸运数”的定义是解题关键． （1）根据“幸运数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，则，，得到，根据，自然数M的个位数字不为0，以及，可得n为7或6或5，然后根据能被9整除，分别求出m、n的值，由此可得． 【详解】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，，当两个数的和一定时，差越大积越小， ∴根据“幸运数”的定义，可得最小的“幸运数”为， 故答案为：． （2）由题意，设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为，且m为1至9的自然数， ∴， ∴， ， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴n为7、6、5或者4． ∵， ∴n为7或6或5， ∴， ∵能被9整除． ∴当时， ， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时， ； 当时， ， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时， ； 当时， ， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时， ； 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，合计66分） 19．（8分）已知：， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2020 【分析】本题考查了代数式求值． （1）利用整体代入计算即可求解； （2）由已知得到，，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 20．（8分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值的意义，得到，分类讨论代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 当时，原式； 当时，原式； 故的值为或． 21．（8分）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）合并同类项即可化简，再代入计算即可得出答案； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，代入，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 22．（8分）已知代数式，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”，计算的结果是． (1)求代数式． (2)若是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算及化简求值； （1）根据题意利用计算结果减去代数式即可； （2）将（1）中及代入计算，进而根据题意得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知    （2） ∵是最大的负整数， ∴，   则原式 23．（8分）如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆． (1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)求当，，时剩下的铁皮面积（取3）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确理解图形面积的计算方法列得代数式是解题的关键． （1）先用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出结果； （2）把，，代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，，时， ． 24．（8分）定义一种新运算：对于实数、，有（其中，均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为，其中，叫做线性数的一个数对 (1)若，则 ， ； (2)已知：，则，求的值． 【答案】(1)， (2)151 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值： （1）根据新定义计算即可求得答案； （2）根据新定义运算求得，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： ， 则有， ， ． 25．（8分）观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②3 【分析】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键． （1）利用已知等式找出规律可得，将变形为即可证明； （2）①结合（1）中结论，利用裂项相消法求解；②结合（1）中结论，利用裂项相消法求解． 【详解】（1）解：根据已知等式可得第n个等式为：， 理由如下： ； （2）解：① ； ② ． 26．（10分）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于31的“相对关系值”为1． ①的最大值为 ； ②直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或6 (3)①3；②或或或 【分析】本题考查了绝对值的意义，化简绝对值．分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，和6关于2的“相对关系值”为，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）①由题意知，，然后分当时；当时；当时；当，时，化简绝对值，然后求解即可；②由题意知，，，……，，分当时；当，时；当，时；当时； 当，时；当，时，分别计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，和6关于2的“相对关系值”为， 故答案为：； （2）解：由题意知，，即， 解得，或， ∴a的值为或6； （3）①解：由题意知，， 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则，； 当，时，，则； 综上所述，的最大值为3， 故答案为：3； ②解：由题意知，，，……，， ∴当时，，解得，； 同理，，……. ， ∴； 当，时，，此情况不成立； 当，时，则，，……，， ∴； 当时，由题意得，，，……，， ∴，即， 同理，，…...，， ∴； 当，时，，此情况不成立； 当，时，，即， 同理，，，……，， ∴； 综上所述，的值为或或或． 试卷第2页，共15页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$