江苏省扬州市邗江中学2023-2024学年高三10月学情检测数学试题

高三10月学情检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则　　 ． ． ． ． 2. 在中，若，，的面积为，则　　 ．12 ． ．2 ．4 3. 函数的单调递增区间是　　 ． ． ． ． 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则　　 ． ． ． ． 5. 已知，，且，则的最小值是　　 ．16 ．18 ．10 ．4 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的表面积为　　（假设上、下底面圆是封闭的） ． ． ． ． 7. 已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后函数为奇函数，则下列说法正确的是　　 ．的图象关于直线对称 ．的图象关于点对称 ．在上单调递增 ．在区间上是增函数，则的最大值为 8. 已知函数，若，，，，则，，的大小关系为　　 ． ． ． ． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有　　 ．若，则 ．若，则 ．若，则 ．若，则 10. 已知正方体的边长为1，点，，分别是棱，，的中点，下列说法正确的有　　 ． ．平面截正方体的截面面积为 ．平面 ．到平面的距离为 11. 已知的三个内角，，所对边的长分别为，，，若 ，则下列正确的是　　 ．的取值范围是 ．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 ．若是锐角三角形，则的取值范围是 ．若平分交于点，且，则的最小值为 12. 关于函数，下列说法正确的是　　 ．当时，函数在处的切线方程为 ．当时，函数在上单调递减 ．若函数在上恰有一个极值，则 ．当时，，满足 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 化简求值： ． 14. 在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 15. 设函数，则满足的的取值范围是 ． 16. 已知面积为的锐角其内角，，所对边分别为，，，且，则边的最小值为 　 　 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设命题：，，不等式恒成立；命题：，，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知，，设． （1），求函数的值域． （2）若，且，求的值． 19. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）若，求出的值； （2）若，且的面积，求的值． 20. 如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置平面． （1）证明：平面平面； （2）若，试判断线段上是否存在一点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积；若不存在，说明理由． 21. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 22. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．已知函数，，若，则曲线在点，处的曲率为． （1）求； （2）若函数存在零点，求的取值范围； （3）已知，，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三10月学情检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】解：集合，， 则． 故选：． 2. 在中，若，，的面积为，则　　 ．12 ． ．2 ．4 【答案】． 【解析】由题意可得：，解得． ， ． 故选：． 3. 函数的单调递增区间是　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】令，则该函数的减区间为，， 函数是定义域内的减函数， 由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，， 故选：． 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，， 则． 故选：． 5. 已知，，且，则的最小值是　　 ．16 ．18 ．10 ．4 【答案】． 【解析】由，可得， 即，即，又，， 故 ，当且仅当，时取等， 则的最小值是16． 故选：． 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的表面积为　　（假设上、下底面圆是封闭的） ． ． ． ． 【答案】． 【解析】青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体， ，， ， ， 则该青铜器的表面积为：． 故选：． 7. 已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后函数为奇函数，则下列说法正确的是　　 ．的图象关于直线对称 ．的图象关于点对称 ．在上单调递增 ．在区间上是增函数，则的最大值为 【答案】． 【解析】由题意可得最小正周期为， 所以，可得， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 又该函数为奇函数， 所以，可得， 因为， 故， 则， 对于，当时，，函数值不是最大值也不是最小值， 故的图象不关于直线对称，错误； 对于，当时，， 故的图象不关于点对称，错误； 对于，令，则， 即的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 故在区间上是增函数，则的最大值为，正确； 对于，结合知的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 即不是的单调递增区间， 故在上不单调递增，错误． 故选：． 8. 已知函数，若，，，，则，，的大小关系为　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】，所以在上是奇函数． ， 对求导得：， 令，， 当时，，在上单调递减， ，即， 在上单调递减， ，， 在上单调递增， ， 令，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又，，，， ， ， ， ， ， 故选：． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有　　 ．若，则 ．若，则 ．若，则 ．若，则 【答案】． 【解析】对于，若，左右两端同时乘以，可得，故正确； 对于，当时，，故错误； 对于，在上单调递增，又，则，故正确， 对于，令，，满足，但，故错误． 故选：． 10. 已知正方体的边长为1，点，，分别是棱，，的中点，下列说法正确的有　　 ． ．平面截正方体的截面面积为 ．平面 ．到平面的距离为 【答案】． 【解析】由点，，分别是棱，，的中点，结合平面的基本性质可得截面为正六边形， 且边长为，面积为，故正确； 由于，不垂直于，则不垂直于，即有不垂直于平面，故错误； 由正方体的对称性可得对角线平面，且平面过的中点， 可得到平面的距离为，故正确； 由正六边形可得，故正确． 故选：． 11. 已知的三个内角，，所对边的长分别为，，，若 ，则下列正确的是　　 ．的取值范围是 ．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 ．若是锐角三角形，则的取值范围是 ．若平分交于点，且，则的最小值为 【答案】． 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 即，又，所以， ， 因为， 所以，，所以， 所以，故错误； 因为，所以， 所以， ，当且仅当，即时取等号，， 的面积的最大值为，故正确； ， 是锐角三角形，， ，， ，，故正确； 由题意得：， 可得：， 可得：， 得 ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为，故正确． 故选：． 12. 关于函数，下列说法正确的是　　 ．当时，函数在处的切线方程为 ．当时，函数在上单调递减 ．若函数在上恰有一个极值，则 ．当时，，满足 【答案】． 【解析】对于：当时，，，， 所以切线的方程为，即， 所以切线方程为，故错误； 对于：当时，， ①当时，，，， ②当时，， 则， 则时，，单调递减，故正确； 对于，则， 令， 所以， 令，得或， 所以在，，单调递增，在，上单调递增， 故当时，有唯一零点，故正确； 对于：当时，， 当且仅当时，取等号， 又，当且仅当时取等号， 所以， 所以不存在，使得，故错误， 故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 化简求值： ． 【答案】6． 【解析】 ． 故答案为：6． 14. 在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 【答案】． 【解析】如图建系，设正方体的棱长为3， 则，，，， ，， 故直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 15. 设函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】令，则，由题意可得： ， 设，， 又易知，为上的奇函数， 又， 在上单调递增， 又， ， ， ，又为上的奇函数， ，又在上单调递增， ， ， 故满足的的取值范围是． 故答案为：． 16. 已知面积为的锐角其内角，，所对边分别为，，，且，则边的最小值为 　 　 ． 【答案】2． 【解析】， ， 由正余弦定理可得：， 化简得， 由余弦定理可得，即， 又，故， 所以，其中， 令，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 所以，所以， 即，当时，等号成立． 故答案为：2． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设命题：，，不等式恒成立；命题：，，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）对于命题：，，不等式恒成立， 而，，有的最小值为， ，即，得， 所以为真时，实数的取值范围是； （2）命题：，，使得不等式成立， 只需的最小值小于等于0即可， 而， 则当时，最小值为， 则由，得， 即命题为真时，实数的取值范围是， 依题意命题，一真一假， 若为假命题，为真命题，则，得； 若为假命题，为真命题，则，得， 综上，或． 18. 已知，，设． （1），求函数的值域． （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，， 所以 ， ，， 所以函数的值域为． （2）由题设， 又，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 19. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）若，求出的值； （2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，所以， （1）因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． （2），所以， ，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以． 20. 如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置平面． （1）证明：平面平面； （2）若，试判断线段上是否存在一点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）证明：在原图中，连接， ，， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形，， ，，四边形是平行四边形， ，， 在翻折过程中，，保持不变， ，保持不变， ，平面， 平面，平面平面． （2）由上述分析得在原图中，， ，， 折叠后，若，则， ， ，，平面， ，平面，，， ，，两两垂直， 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， ， ，，，， 设，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，，， 设直线与平面所成角为， 则，解得， ，，，是的中点， 轴与平面垂直，到平面有距离为， 三棱锥的体积为：． 21. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为， ，由得或（舍）， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，有最大值，即的最大值点； （2）由（1）可知，， 则每盘游戏出现音乐的概率为， 由题可知， ； （3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量，则的可能值为，50，100，150， ，；；， ， 令，则， 所以在单调递增；， 即有， 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知： 经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少． 22. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．已知函数，，若，则曲线在点，处的曲率为． （1）求； （2）若函数存在零点，求的取值范围； （3）已知，，，证明：． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析． 【解析】（1）解：，若，则， ，， 因为曲线在点，处的曲率为， 所以， 又，所以． （2）解：由（1）可得， 若函数存在零点，则方程在上有解， 即在上有解， ，，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 从而，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，， 所以，解得， 即实数的取值范围是，． （3）证明：由（2）得， 则，则， 又，则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$