江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二上学期10月阶段测试数学试题

江苏省靖江高级中学2023-2024学年度第一学期阶段测试 高二数学试卷 一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．过点，且倾斜角为的直线方程是　　 2．“”是“直线和直线平行”的　　 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 3．已知直线直线，若则　　 4．已知椭圆，则与椭圆相交且以点为弦中点的直线所在方程为　　 5．若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是　　 或 6．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论： ①焦距长约为300千米； ②长轴长约为3988千米； ③两焦点坐标可以约为； ④离心率约为． 则上述结论正确的是　　 ①②④ ①③④ ①④ ②③④ 7．已知椭圆的左右焦点分别为点在椭圆上，其中若则椭圆的离心率的取值范围为　　 8．已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则实数的取值范围是　　 二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知直线，则下列结论正确的是　　 直线的倾斜角是 过与直线平行的直线方程是 点，到直线的距离是2 若直线，则 10．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，，，下列结论正确的是　　 ， 11．已知椭圆的左，右焦点分别为，且,点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是　　 的最小值为 椭圆的短轴长可能为2 椭圆的离心率的取值范围为 若，则椭圆的长轴长为 12．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点在椭圆上，且满足直线与椭圆交于另一个点，若点在圆上,则以下说法正确的是　　 椭圆的离心率为 面积的最大值为 圆在椭圆的内部. 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在平面直角坐标系内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则 . 14．已知是圆上的动点，满足直线恒过点,是圆上的动点，则的取值范围为 . 15．已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为　　． 16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线围成的图形的面积　　2（选填“”、“ ”或“” ，曲线上的动点到原点的距离的取值范围是 　　． 四．解答题（共6小题,共70分） 17．已知直线，． （1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系． 18.在平面直角坐标系中，已知射线，．过点作直线分别交射线，于点，． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 19．在平面直角坐标系中，已知四点，，，． （1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由． （2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标． 20. 已知椭圆的右焦点为 （1）若求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且求的取值范围. 21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为,且经过点,过椭圆的左顶点作直线轴,点为直线上的动点(点不与点重合),点为椭圆右顶点,直线交椭圆于点. （1）求椭圆C的方程； （2）求证：; （3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是请说明理由 22．已知椭圆的焦点在轴上，右焦点为，经过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为． （1）求椭圆的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断是否存在常数，使得直线经过轴上的定点？若存在，求的值和该定点；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省靖江高级中学2023-2024学年度第一学期阶段测试 高二数学试卷 一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．过点，且倾斜角为的直线方程是　　 【答案】 【解析】解：由直线方程的点斜式得， 整理得． 故选： 2．“”是“直线和直线平行”的　　 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】解：当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为，和，不满足条件， 当时，满足， 即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，综上，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：． 3．已知直线直线，若则 【答案】 【解析】解： 故选： 4．已知椭圆，则与椭圆相交且以点为弦中点的直线所在方程为　　 【答案】 【解析】解：设，， 由题意知，则， 两式相减得：，整理得：， 所以，直线方程为：，即， 故选： 5．若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是　　 或 【答案】 【解析】解：设， 故可以看作点到直线 与直线距离之和的5倍， 的取值与，无关， 这个距离之和与点在圆上的位置无关， 如图所示：可知直线平移时， 点与直线，的距离之和均为，的距离， 即此时圆在两直线内部， 当直线与圆相切时，， 化简得， 解得或（舍去）， ． 故选：． 6．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论： ①焦距长约为300千米； ②长轴长约为3988千米； ③两焦点坐标可以约为； ④离心率约为． 则上述结论正确的是　　 ①②④ ①③④ ①④ ②③④ 【答案】 【解析】解：由题意可得，月球半径约为， 则，，解得，， 故焦距长约为300公里，故①正确，长轴长约为3976公里，故②错误， ， 则两焦点坐标可以约为故③正确， 椭圆的离心率，故④正确． 故选： 7．已知椭圆的左右焦点分别为点在椭圆上，其中若则椭圆的离心率的取值范围为　　 【答案】 【解析】解：设在椭圆上，，所以四边形为矩形，， 令 解得： 故选： 8．已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则实数的取值范围是　　 【答案】 【解析】解：椭圆，即有， 设椭圆上两点，、，关于直线对称，中点为，， 则，① ② ①②得：， 即， ． ，代入直线方程得，； 因为，在椭圆内部， ，即， 解得． 故选： 二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知直线，则下列结论正确的是　　 直线的倾斜角是 过与直线平行的直线方程是 点，到直线的距离是2 若直线，则 【答案】 【解析】解：直线，化为：， ．设直线的倾斜角为，可得，解得，因此不正确； ．设过与直线平行的直线方程是， 把点代入可解得， 因此过与直线平行的直线方程是，因此正确； ．点，到直线的距离，因此正确； ．直线与的斜率乘积，因此与不垂直，因此不正确． 故选：． 10．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，，，下列结论正确的是　　 ， 【答案】 【解析】解：根据题意，圆和圆交于不同的两点，， 两圆方程相减可得直线的方程为：，即， 分别把点，，，两点坐标代入得：，，所以选项正确， 上面两式相减得：，即，所以选项正确， 两圆的半径相等， 由圆的性质可知，线段与线段互相平分，则有，， 变形可得，，正确,故错误． 故选：． 11．已知椭圆的左，右焦点分别为，且,点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是　　 的最小值为 椭圆的短轴长可能为2 椭圆的离心率的取值范围为 若，则椭圆的长轴长为 【答案】 【解析】解：对于，因为， 所以 当三点共线时取等号，故正确 对于，假设椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，代入点的坐标得 则点在椭圆外，假设不成立，故错误. 对于，因为点在椭圆内部，所以 又 ，故正确. 对于若，则是线段的中点，所以，所以所以椭圆的长轴长为. 故选：． 12．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点在椭圆上，且满足直线与椭圆交于另一个点，若点在圆上,则以下说法正确的是　　 椭圆的离心率为 面积的最大值为 圆在椭圆的内部. 【答案】 【解析】解：设故不正确. 当点在轴上时，面积的最大，此时正确。 正确 圆，圆在椭圆内部，所以点在椭圆内部，故正确. 故选：. 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在平面直角坐标系内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则 . 【答案】10 【解析】解： 由题意知过定点的直线与过定点的直线垂直，位于以为直径的圆上， 故，答案为10. 14．已知是圆上的动点，满足直线恒过点,是圆上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】解：取中点,由于垂径定理可得：在以为直径的圆上运动， , . 15．已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为　　． 【答案】 【解析】解：如图，由题意可得，为的中点， 由，得， 又， ， ，则，得， 故答案为：． 16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线围成的图形的面积　　2（选填“”、“ ”或“” ，曲线上的动点到原点的距离的取值范围是 　　． 【答案】； 【解析】解：由题意知，，，且曲线既关于原点对称又关于轴对称， 当，时，，，所以， 同理可得曲线在，，，四条直线内部， 所以， 所以， 所以当时，， 当时，， 所以，则， 故答案为：，． 四．解答题（共6小题,共70分） 17．已知直线，． （1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系． 【答案】（1）或； （2）当时，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，此时． 【解析】解：（1）时，直线的方程化为：， 联立，解得，即与的交点为． 当直线过原点时，直线的方程为； 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或． （2）设原点到直线的距离为， 则，解得：或， 当时，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，此时． 18.在平面直角坐标系中，已知射线，．过点作直线分别交射线，于点，． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1）设，，则线段的中点为，； 所以，且， 分别化为：，． 解得，； 所以直线的方程为：，化为：． （2）设，，． 时，，，． ，时，， 又，化为， 所以，解得． 所以， 当且仅当时取等号． 综上可得：当的面积取最小值时，直线的方程为：，化为． （3）设直线的方程为：，，． 联立，解得，，可得． 联立，解得，，可得． 所以， 设，则时，； 令，则， 时，． 时，， 而， 所以的最小值为：． 当且仅当时取等号． 所以，此时直线的方程为，即． 19．在平面直角坐标系中，已知四点，，，． （1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由． （2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标． 【答案】（1）四点，，，都在圆上 （2），． 【解析】解：（1）设经过，，三点的圆的方程为， 所以，解得，，， 所以经过，，三点的圆的方程为， 由于，故点也在这个圆上， 因此，四点，，，都在圆上． （2）因为，当且仅当点在线段上时取等号， 同理，，当且仅当点在线段上时取等号． 因此，当点是和的交点时， 它到，，，的距离之和最小， 因为直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为，． 20. 已知椭圆的右焦点为 （1）若求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且求的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明过程见解析； 【解析】解：（1）由题意得： 则椭圆的方程为 （2）由于，得到：设依题意，四边形为平行四边形， 整理得：， . 21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为,且经过点,过椭圆的左顶点作直线轴,点为直线上的动点(点不与点重合),点为椭圆右顶点,直线交椭圆于点. （1）求椭圆C的方程； （2）求证：; （3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是请说明理由 【答案】（1）； （2）证明过程见解析； （3）定值4. 【解析】解：（1）因为椭圆的离心率为,且经过点，则椭圆的方程为 （2）证明：设直线的斜率为，直线的方程为：设 与椭圆方程联立， 可得， 解得： （3）为定值. 22．已知椭圆的焦点在轴上，右焦点为，经过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为． （1）求椭圆的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断是否存在常数，使得直线经过轴上的定点？若存在，求的值和该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），定点. 【解析】解：（1）依题意，设，且，将点代入可得，，且， 解得，， 所以椭圆的离心率为， 所以椭圆方程为：， 所以，， 所以的面积； （2）由已知，直线的方程为， 当，，时， 直线的方程为，交轴于点， 当，，时， 直线的方程为，交轴于点， 若直线经过轴上定点，则， 即，直线交轴于点． 下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点， 联立消整理，得， 设，，，， 则，， 设点，，所以直线的方程：， 令，得， 因为， 所以， 所以直线过定点， 综上，存在实数，使得直线经过轴上定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$