3.2.1 双曲线的标准方程 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.2　双 曲 线 3.2.1　双曲线的标准方程 一、知识梳理 1.平面内到两个定点F1，F2的距离之____________等于常数(小于F1F2的 正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2 叫作双曲线的焦点，两 个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 - = 1 - = 1 图　形 焦　点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝________ 二、课前自测 1.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，P是双曲线上一点且|PF1－PF2|＝4，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2.已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 3.(多选题)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.PF1－PF2＝±3 B.PF1－PF2＝±4 C.PF1－PF2＝±2 D.－＝±4 4.若双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则双曲线C的方程为_______________ 5.已知双曲线经过P(－，－)，Q两点，求该双曲线的标准方程． 三、课后练习 6.已知两定点F1(5，0)，F2(－5，0)，曲线C上的点P到点F1，F2的距离之差的绝对值是8，则曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 7.“3＜m＜5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　) A.22 B.16 C.14 D.12 9.(多选题)若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则下列结论正确的是(　　) A.n＝±5 B.n＝±3 C.焦点为(5，0)，(－5，0) D.焦点为(4，0)，(－4，0) 10.(多选题)已知M(－5，0)，N(5，0)是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使PM＝PN＋6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列曲线为 “黄金曲线”的是(　　) A.－＝1 B.＝1 C.＝1 D.x2＋y2＝9 11.已知双曲线－＝1的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为________． 12.若双曲线－＝1的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为________． 13.在相距1 000 m的A，B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差2 s，已知声速为340 m/s.以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面 直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________. 14.根据下面的条件，求双曲线的标准方程． (1) 与椭圆＋＝1有共同的焦点，且经过点(，4)； (2) c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 15.已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积． 16.如图，定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与 定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2　双 曲 线 3.2.1　双曲线的标准方程 一、知识梳理 1.平面内到两个定点F1，F2的距离之__差的绝对值___等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2 叫作双曲线的焦点，两 个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 - = 1 - = 1 图　形 焦　点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝_a2＋b2_ 二、课前自测 1.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，P是双曲线上一点且|PF1－PF2|＝4，则该双曲线的标准方程为(　C　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由双曲线的定义，可得c＝3，2a＝4，即a＝2，所以b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在y轴上．所以该双曲线的标准方程为－＝1. 2.已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　B　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 解析：设A(1，0)，B(－1，0)，则由已知，得|PA－PB|＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数.又AB＝2，且＜2，所以根据双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线． 3.(多选题)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　AC　) A.PF1－PF2＝±3 B.PF1－PF2＝±4 C.PF1－PF2＝±2 D.－＝±4 解析：由题意，得F1F2＝4.根据双曲线的定义，知选项AC正确． 4.若双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则双曲线C的方程为____x2－y2＝1_______ 解析：根据题意，设双曲线的方程为x2－＝1(b＞0)．因为1＋b2＝()2，所以b2＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1. 5.已知双曲线经过P(－，－)，Q两点，求该双曲线的标准方程． 解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为P(－，－)，Q两点在双曲线上，所以解得 即a2＝1，b2＝3.所以所求双曲线的标准方程为x2－ ＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为P(－，－)，Q两点在双曲线上，所以解得 (不合题意，舍去)．综上所述，所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 三、课后练习 6.已知两定点F1(5，0)，F2(－5，0)，曲线C上的点P到点F1，F2的距离之差的绝对值是8，则曲线C的方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：根据双曲线的定义，知点P的轨迹是以F1(5，0)，F2(－5，0)为焦点，2a＝8的双曲线．所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9.所以该双曲线的方程为－＝1. 7.“3＜m＜5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　A　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析：根据题意，当3＜m＜5时，m－3＞0，5－m＞0，则方程－＝1表示双曲线；反之，若方程－＝1表示双曲线，则必有(m－3)(5－m)＞0，解得3＜m＜5.故“3＜m＜5”是“方程－＝1表示双曲线”的充要条件． 8.已知点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　A　) A.22 B.16 C.14 D.12 解析：由双曲线的定义，知PF2－PF1＝6，又PF1∶PF2＝1∶3，所以PF1＝3，PF2＝9，进而易得△F1PF2的周长为22. 9.(多选题)若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则下列结论正确的是(　BC　) A.n＝±5 B.n＝±3 C.焦点为(5，0)，(－5，0) D.焦点为(4，0)，(－4，0) 解析：由题意，得34－n2＝n2＋16，即2n2＝18，解得n＝±3.显然选项BC正确． 10.(多选题)已知M(－5，0)，N(5，0)是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使PM＝PN＋6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列曲线为“黄金曲线”的是(　AD　) A.－＝1 B.＝1 C.＝1 D.x2＋y2＝9 解析：因为M(－5，0)，N(5，0)是平面上的两点，存在一点P，使PM＝PN＋6，所以点P的轨迹是以M(－5，0)，N(5，0)为焦点的双曲线的右支，其方程为－＝1(x≥3)．显然A是“黄金曲线”；曲线＝1上x∈[－2，2]，不存在x≥3的点P(x，y)满足方程－＝1，故B不是“黄金曲线”；曲线＝1上不存在x≥3的点P(x，y)满足方程－＝1，故C不是“黄金曲线”；方程x2＋y2＝9表示圆，其圆心为(0，0)，半径为3，与曲线－＝1有交点，满足题意，故D是“黄金曲线”． 11.已知双曲线－＝1的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为___18____． 解析：由双曲线－＝1，可得 a＝4.由双曲线的定义，可得点P到右焦点的距离等于 2a加上点P到左焦点的距离，故点P到右焦点的距离为 8＋10＝18. 12.若双曲线－＝1的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为___7或－2____． 解析：由题意，可知c＝3.当双曲线的焦点在x轴上时，m＞5，c2＝m＋m－5＝9，所以m＝7；当双曲线的焦点在y轴上时，m＜0，c2＝－m＋5－m＝9，所以m＝－2.综上所述，m＝7或m＝－2. 13.在相距1 000 m的A，B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差2 s，已知声速为340 m/s.以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面 直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为___－＝1_______. 解析：设M(x，y)为曲线上任意一点，则|MA－MB|＝340×2＝680＜1 000，所以点M的轨迹为双曲线．由题意，可得双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，且2c＝1 000，2a＝2×340，即c＝500，a＝340，所以b2＝c2－a2＝5002－3402＝134 400，a2＝115 600.所以炮弹爆炸点所在曲线的方程为－＝1. 14.根据下面的条件，求双曲线的标准方程． (1) 与椭圆＋＝1有共同的焦点，且经过点(，4)； (2) c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 解析：(1) 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的标准方程为－＝1. (2) 因为焦点在x轴上，c＝，所以设所求双曲线的方程为－＝1(0＜λ＜6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1. 15.已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积． 解析：由双曲线的标准方程为－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.由双曲线的定义，得|PF2－PF1|＝2a＝6，将此式两边平方，得 ＋－2PF1·PF2＝36，所以得 ＋＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝ ＝0，所以∠F1PF2＝90°.所以＝PF1·PF2＝×32＝16. 16.如图，定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与 定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解析：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心为F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心为F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，所以MF2－MF1＝3＜10＝F1F2.所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，b2＝c2－a2＝.所以动圆圆心M的轨迹方程为－＝1. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$