3.1.3 直线与椭圆的位置关系 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.1.3　直线与椭圆的位置关系 一、知识梳理 1.点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔ ＋________；点P在椭圆外部⇔ ＋________． 2.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：联立 消去y可得一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆 位置关系 解的个数 Δ的取值 有两个不同的公共点 相　交 2 只有一个公共点 相　切 1 没有公共点 相　离 0 3.设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0) 或＋＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝____________________________或AB＝·.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的关于x(或y)的一元二次方程(韦达定理)得到. 二、课前自测 1.已知椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，经过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 2.已知经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点与右焦点的直线的方程为2x＋3y－6＝0，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.(多选题)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A.AF＋BF为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF 为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF 的面积为 4.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________． 5.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2) 求直线被椭圆截得的最长弦所在直线的方程． 三、课后练习 6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点且直线PF1与x轴垂直，直线PF2的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.已知椭圆C：＋ ＝1的右焦点是F，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则AF2＋2BF2的最小值是(　　) A.36 B.48 C.72 D.96 8.已知椭圆C：＋＝1，经过点M(1，1)的直线l交 椭圆C于A，B两点，且AM＝BM，则直线l的方程是(　　) A.3x－y－2＝0 B.x－3y＋2＝0 C.x＋3y－4＝0 D.3x＋y－4＝0 9. (多选题)已知椭圆的方程为＋y2＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A.直线AB与直线OM互相垂直 B.若点M的坐标为(1，－1)，则直线l的方程为x－4y－5＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D.若直线l经过椭圆的焦点，则1＜AB＜4 10.已知直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________． 11.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长________． 12.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与直线x＋2y＋8＝0交于P，Q两点，且PQ＝，求该椭圆的方程． 13.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，PQ＝，求该椭圆的方程． 14.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且其离心率为. (1) 求椭圆E的方程． (2) 过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆E交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.3　直线与椭圆的位置关系 一、知识梳理 1.点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔ ＋__＜1____；点P在椭圆外部⇔＋__＞1____． 2.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：联立 消去y可得一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆 位置关系 解的个数 Δ的取值 有两个不同的公共点 相　交 2 Δ＞0 只有一个公共点 相　切 1 Δ＝0 没有公共点 相　离 0 Δ＜0 3.设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0) 或＋＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝_ _或AB＝·.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的关于x(或y)的一元二次方程(韦达定理)得到. 二、课前自测 1.已知椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，经过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，则△ABF2的周长为(　D　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：由椭圆＋＝1，可得a＝2.由题意，知△ABF2的周长l＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8. 2.已知经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点与右焦点的直线的方程为2x＋3y－6＝0，则椭圆C的标准方程为(　A　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：根据题意，知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点在x轴上．在直线方程2x＋3y－6＝0中，令x＝0，可得y＝2，即直线与y轴的交点为(0，2)，即椭圆的上顶点的坐标为(0，2)，即b＝2；令y＝0，可得x＝3，即直线与x轴的交点为(3，0)，即椭圆的右焦点的坐标为(3，0)，即c＝3，则a2＝b2＋c2＝13，故椭圆C的标准方程为＋＝1. 3.(多选题)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(　AD　) A.AF＋BF为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF 为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF 的面积为 解析：设椭圆的左焦点为F′，则AF′＝BF，可得AF＋BF＝AF＋AF′为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB＋AF＋BF，因为AF＋BF为定值6，AB的取值范围是(0，6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6，12)，故B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B()，又知F(，0)，易知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y＝1与椭圆方程联立，可解得A(－，1)，B(，1)，所以S△ABF＝×2×1＝，故D正确． 4.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是__相交____． 解析：易知直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2，1)，将P(2，1)代入椭圆方程，得＋＜1，所以点P(2，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 5.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2) 求直线被椭圆截得的最长弦所在直线的方程． 解析：(1) 联立得5x2＋2mx＋m2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤ ，即实数m的取值范围是. (2) 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)，知5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．所以AB＝＝＝＝＝.所以当m＝0时，AB最大，此时直线的方程为y＝x. 三、课后练习 6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点且直线PF1与x轴垂直，直线PF2的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　C　) A. B. C. D. 解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，则由已知可设点P的坐标为(－c，y)，将其代入椭圆方程，可得y＝±.不妨设点P在第二象限，则P，所以直线PF2的斜率为k＝＝-＝-，即2b2＝3ac.又a2＝b2＋c2，所以2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2(舍去)．所以椭圆C的离心率为. 7.已知椭圆C：＋ ＝1的右焦点是F，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则AF2＋2BF2的最小值是(　D　) A.36 B.48 C.72 D.96 解析：由对称性，可知AF＋BF＝2a＝12，设BF＝m，则AF＝12－m，所以AF2＋2BF2＝(12－m)2＋2m2＝3(m－4)2＋96.由题意，可知a－c＜m＜a＋c，即2＜m＜10，所以AF2＋2BF2的最小值为96. 8.已知椭圆C：＋＝1，经过点M(1，1)的直线l交 椭圆C于A，B两点，且AM＝BM，则直线l的方程是(　C　) A.3x－y－2＝0 B.x－3y＋2＝0 C.x＋3y－4＝0 D.3x＋y－4＝0 解析：由题意，可知M为AB的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.把A，B两点的坐标代入椭圆方程，可得两式作差，可得＋＝0，所以＝－，即直线l的斜率为－.所以直线l的方程为y－1＝ －(x－1)，即x＋3y－4＝0. 9. (多选题)已知椭圆的方程为＋y2＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　BD　) A.直线AB与直线OM互相垂直 B.若点M的坐标为(1，－1)，则直线l的方程为x－4y－5＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D.若直线l经过椭圆的焦点，则1＜AB＜4 解析：由椭圆的方程为＋y2＝1，得a＝2，b＝1.对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则＋＝1， ＋＝1，两式作差，可得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，所以＝－＝－，则kAB·kOM＝－≠－1，故A错误；对于B，若点M的坐标为(1，－1)，则kAB＝ ，所以直线l的方程为y＋1＝ (x－1)，即x－4y－5＝0，故B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，点M的坐标为，则kOM＝，而kAB·kOM＝ ≠－，故C错误；对于D，易知椭圆的通径最短，为＝1，最长为长轴长4，又因为直线l的斜率存在且不经过原点，所以1＜AB＜4，故D正确． 10.已知直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是__(1，3)∪(3，＋∞)___． 解析：联立得(3＋m)·x2＋4mx＋m＝0，因为直线与椭圆有两个公共点，所以Δ＞0，即(4m)2－4m(3＋m)＞0，解得m＞1或m＜0.又因为m＞0且m≠3，所以m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)． 11.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长______． 解析：椭圆的方程可化为＋＝1，所以F(－，0)．又因为直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋.联立得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以AB＝·＝. 12.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与直线x＋2y＋8＝0交于P，Q两点，且PQ＝，求该椭圆的方程． 解析：因为椭圆的离心率e＝＝，所以b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2.所以椭圆的方程为x2＋4y2＝a2.联立得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ＝162－8(64－a2)＞0，得a2＞32.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－8，x1·x2＝32－.所以PQ＝ ·＝＝，解得a2＝36.所以b2＝9.所以该椭圆的方程为＋＝1. 13.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，PQ＝，求该椭圆的方程． 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)＞0，即m＋n－mn＞0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝.由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，所以－ ＋1＝0.所以m＋n＝2①.又PQ2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝＝，将m＋n＝2代入，得mn＝②.联立①②，解得或故该椭圆的方程为＋y2＝1或x2＋＝1. 14.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且其离心率为. (1) 求椭圆E的方程． (2) 过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆E交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由． 解：(1) 由条件，可知椭圆的焦点在x轴上，且a＝2.由＝，得c＝.所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆E的方程为＋＝1. (2) 存在．若存在点Q(m，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2，等价于k1＋k2＝0.由题意，知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．联立得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.因为直线l与椭圆E有两个交点，所以Δ＞0，即(－16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)．令k1＋k2＝＋＝0，则(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0.当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，化简，得＝0，所以m＝1.当k＝0时，也成立．所以存在点Q(1，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$