专题02 有理数及其运算（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

专题02有理数及其运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数中的新定义计算 【解惑】定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 【融会贯通】 1．若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 3．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 类型二、循环小数化为分数 【解惑】我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 【融会贯通】 1．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 2．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 3．【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都 可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将 化为分数形式 由于，设 ① 则 ② ②﹣①得，解得 ，于是得 =． 例2、将 化为分数形式 由于，设 ① 则 ② ②﹣①得，解得 ，于是得= ． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【尝试运用】（1）=     ，= ； 【思维延伸】写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如、，它们可分别写作、，像这样的循环小数称为混循环小数．我们在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：，请把混循环小数化为分数． 【视野拓宽】（2）若已知 =，则 = ． 类型三、绝对值“1”与“-1”化简 【解惑】阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 【融会贯通】 1．已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 2．阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 类型四、绝对值最值 【解惑】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【融会贯通】 1．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 2．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1) ； (2)x是所有符合成立条件的整数，则 ； (3)由以上探索思想，对于任何有理数x，的最小值为 ； (4)当x为整数时，的最小值为 ； (5)求的最小值． 3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 类型五、裂项求和 【解惑】观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【融会贯通】 1．观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 2．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，， 独立思考：（1）第5个式子为_________，第n个式子为__________． 实践探究；（2）在（1）中找出规律，并利用规律计算： 问题拓展（3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为2，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决：（4）求的值． 3．请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： ，，，… （1）第四个等式为_________________，第100个等式为______________； （2）根据你发现的规律计算：． （3）思考并计算： ① ②． 类型六、数列求和 【解惑】观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； … (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第个等式； (2)根据你上面所发现的规律、用含字母的式子表示第个等式； (3)请利用上述规律计算：． 2．观察： ， ， ， 由以上规律，请你猜想并计算： (1) (2) 3．阅读理解题： 【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，． （1）计算： ①______； ②______． （2）通过以上计算发现规律，得到______． 【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． （3）猜想出______（用n表示）． （4）依规律，直接求出的值为______． （5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______． 类型七、数轴动点求t 【解惑】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 2．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 3．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离2倍，我们就称点是【，】的美好点． 例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2.表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是【，】的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．    如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．       (1)点，，表示的数分别是，6.5，11，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是 ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 类型八、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如， 等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：__________，__________． (2)关于除方，下列说法错误的是（    ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数 (3)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？      试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幕的形式． ____________________； ____________________； ____________________． (4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幕的形式为____________________． (5)算一算：． 【融会贯通】 1．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作的圈次方，记作，读作的圈次方，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：________；________； (2)以下说法中，正确的有_________(多选题) A．任何非零数的圈次方都等于；     B．对于任何正整数，的圈次方等于； C．     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E． (3)一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (4)算一算：． 3．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【一览众山小】 1．小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 2．如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 3．对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 4．当 时，取得最小值为 ． 5．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 6．（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 7．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 8．对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为，3，，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点． (1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点； (2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则________，E表示的数是_______； (3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数； (4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数及其运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数中的新定义计算 【解惑】定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义分别求出，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选A． 【融会贯通】 1．若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了有理数的混合运算，利用新运算的规定列式运算即可．理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 解： ． 故选：D． 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入，求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：． 3．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型二、循环小数化为分数 【解惑】我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 【答案】(1)，，1 (2) 【分析】（1）仿照题目中的方法列方程求解即可； （2）设，则，从而可得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，，1； （2）解：设，则， ∴， 解得，， ∴． 【融会贯通】 1．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可知，循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此可得答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：． 2．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解把无限循环小数化为分数过程是解题的关键． （1）模仿题意的把无限循环小数化为分数过程来把无限循环小数化为分数，即可作答． （2）若是一个整数部分为0，小数部分都是循环的无限循环小数，得到关于的与有关的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， 由 所以 解得： ， 于是； （2）解：∵我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，）， ∴ 解得： ． 故答案为：． 3．【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都 可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将 化为分数形式 由于，设 ① 则 ② ②﹣①得，解得 ，于是得 =． 例2、将 化为分数形式 由于，设 ① 则 ② ②﹣①得，解得 ，于是得= ． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【尝试运用】（1）=     ，= ； 【思维延伸】写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如、，它们可分别写作、，像这样的循环小数称为混循环小数．我们在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：，请把混循环小数化为分数． 【视野拓宽】（2）若已知 =，则 = ． 【答案】（1）；； 思维延伸： （2） 【分析】（1）根据阅读材料设0.=x，方程两边都乘10，转化为10x=3+x，求出其解即可；设0.=y，方程两边都乘100，转化为100y=23+y，求出其解即可； 思维延伸：将先化成纯循环小数，即：，再将化为分数即可 （2）由，得到，再由，计算即可求解． 【详解】（1）设0.=x，即x=0.333… 将方程两边都×10，得10x=3.333…，即10x=3+0.333… 又因为x=0.333… ∴10x=3+x ∴9x=3，即x=，∴0.= 设0.=y， 同理：100y=23+y 解得y= 故答案为：； 思维延伸：∵ 设 ： 故 （2）∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次方程；理解题意，将无限循环小数转化分数的过程，转化为一元一次方程求解是解题的关键 类型三、绝对值“1”与“-1”化简 【解惑】阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 【答案】(1)①；②；③ (2)或 【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义； （1）①根据由，时，则，代入即可求解； ②根据由，时，则，代入即可求解； ③根据由，时，则，代入即可求解； （2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由，时，则， ∴； 故答案为：． ②由，时，则， ∴； 故答案为：0． ③由，时，则， ∴； 故答案为：． （2）当时， 都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论： ①当，，时， ； ②当，，时， ； 综上所述：或． 【融会贯通】 1．已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据，得到a、b异号，不妨设，则； （2）根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可； （3）先由题意得到，再根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 2．阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)，或 (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到，，，、、两正一负，进一步计算即可求解． 【详解】（1）已知，是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③、异号，． 故或0； （2）已知，，是有理数，当时， ①，，，； ②，，，； ③、、两负一正，； ④、、两正一负，． 故或； （3）已知，，是有理数，，， 则，，，、、两正一负， 则． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 类型四、绝对值最值 【解惑】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 【融会贯通】 1．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 2．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1) ； (2)x是所有符合成立条件的整数，则 ； (3)由以上探索思想，对于任何有理数x，的最小值为 ； (4)当x为整数时，的最小值为 ； (5)求的最小值． 【答案】(1)7 (2)，，，，，0，1，2 (3)3 (4)2 (5)997002 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数混合运算，数轴上两点间的距离，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的知识． （1）根据有理数加减运算法则和绝对值意义进行计算即可； （2）根据绝对值的意义，得出表示的是在数轴上x所对应的点到，2两点之间的距离之和，从而得出x表示的点在和2之间，即可得出答案； （3）根据绝对值的意义进行解答即可； （4）根据绝对值的意义得出表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和，然后根据绝对值的意义求出结果即可； （5）根据当时，取得最小值，然后求出最小值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：7． （2）解：∵表示的是在数轴上x所对应的点到，2两点之间的距离之和等于7，且， ∴x表示的点在和2之间， 又∵x为整数， ∴，，，，，0，1，2． 故答案为：，，，，，0，1，2． （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和， 当时，取得最小值， ∴的最小值为． 故答案为：3； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数，取得最小值， ∴时，的最小值为． 故答案为：2． （5）解：由4的结论可知：当时，取得最小值， ∴的最小值为： ． 3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)①3； ②或3 (2)①7；②不存在，理由见解析 (3)当的值等于时，取得最小值，最小值是 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解；②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解； （2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②根据两点之间距离的计算方法即可判定； （3）根据材料提示，运用两点之间距离的计算方法，绝对值的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ①和两点之间的距离为， ②∵， 或， 解得或， 故答案为：①3；②或3． （2）解：①∵， ∴，， ∴， 故答案为：． ②不存在x的值，使得等式成立． 理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，最小值为5， ∴不成立． ∴不存在x的值，使得等式成立． （3）解：根据题意可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当x的值等于时，取得最小值，最小值是11． 类型五、裂项求和 【解惑】观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 【融会贯通】 1．观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式发现计算规律是解题关键． （1）根据已知等式规律即可求解； （2）根据已知等式规律完成猜想即可； （3）根据已知等式规律即可求解． 【详解】（1）解：观察题中等式可知， , 故答案为：． （2）解：猜想：． 故答案为：． （3）解：由中的发现可知， ． 2．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，， 独立思考：（1）第5个式子为_________，第n个式子为__________． 实践探究；（2）在（1）中找出规律，并利用规律计算： 问题拓展（3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为2，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决：（4）求的值． 【答案】(1) ； (2)    (3)   (4) 【分析】(1)根据所给的式子的形式进行求解即可； (2)利用(1)的规律进行求解即可； (3)仿照(2)的解答方式进行求解即可； (4)把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可；本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】，，， （1）∵，，， ∴第5个式子为；第n个式子为， 故答案为：；． （2）根据（1）中找出规律，得 ． （3） ． （4） ． 3．请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： ，，，… （1）第四个等式为_________________，第100个等式为______________； （2）根据你发现的规律计算：． （3）思考并计算： ① ②． 【答案】（1），；（2）；（3）①；② 【分析】（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第4、第100个式子的表达式； （2）根据规律求出第n个式子，即可进行计算； （3）①类比（1）中的规律拆项，再乘即可； ②直接利用规律拆项相加即可． 【详解】解：（1）第四个等式为， 第100个等式为， 故答案为：，； （2）由题意可得： 第n个等式为：， 则 = = =； （3）① = = = =； ② = = = 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题． 类型六、数列求和 【解惑】观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②3 【分析】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键． （1）利用已知等式找出规律可得，将变形为即可证明； （2）①结合（1）中结论，利用裂项相消法求解；②结合（1）中结论，利用裂项相消法求解． 【详解】（1）解：根据已知等式可得第n个等式为：， 理由如下： ； （2）解：① ； ② ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； … (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第个等式； (2)根据你上面所发现的规律、用含字母的式子表示第个等式； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字变化归纳出第个等式为是解题的关键． （1）根据规律写出第个等式即可； （2）由（1）归纳出第个等式即可； （3）根据（2）的规律裂项相消进行计算即可． 【详解】（1）解：第个等式为：； （2）第个等式为； （3） 原式 ． 2．观察： ， ， ， 由以上规律，请你猜想并计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知从1到n的立方和为，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律结合原式，推出原式，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知， ∴ ； （2）解： ． 3．阅读理解题： 【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，． （1）计算： ①______； ②______． （2）通过以上计算发现规律，得到______． 【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． （3）猜想出______（用n表示）． （4）依规律，直接求出的值为______． （5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）①根据乘方的意义可知；②仿照题意进行求解即可； （2）根据题意可得； （3）观察可知； （4）根据（3）的规律代值计算即可； （5）根据题意把所求式子变形为，进一步得到，据此计算即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）； ； ； ……， 以此类推．， 故答案为：； （4）； （5） ． 类型七、数轴动点求t 【解惑】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 【答案】(1)14；1 (2) (3)2 【分析】本题考查数轴哦上两点间的距离，中点的定义， （1）利用提供的方法解题即可； （2）按照两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法推导出一般公式； （3）运用两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法解决问题即可． 【详解】（1）解：， P点所表示的数为， 古答案为：14；1； （2）； ∵P是的中点， ∴， ∴P表示的数为． （3）t秒后C点所表示的数为：，D所表示的数为， ， ∵M是的中点， ∴， ∴点M所表示的数为， ∴， ∴M的速度为． 2．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 3．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离2倍，我们就称点是【，】的美好点． 例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2.表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是【，】的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．    如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．       (1)点，，表示的数分别是，6.5，11，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是 ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 故答案为：． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图1，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为【，】的美好点，点在左侧，如图3，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为【，】的美好点，点在左侧，如图4，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为【，】的美好点，点在左侧，如图5，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为【，】的美好点，点在，左侧，如图6，    当时，，因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，    当时，，因此秒， 第八种情况，    为【，】的美好点，点在右侧， 当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 类型八、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如， 等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：__________，__________． (2)关于除方，下列说法错误的是（    ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数 (3)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？      试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幕的形式． ____________________； ____________________； ____________________． (4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幕的形式为____________________． (5)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3)， (4) (5) 【分析】（1）根据定义，进行求解即可； （2）根据定义，逐一进行判断即可； （3）仿照算式，进行计算即可； （4）仿照（3）中给出的算式，进行计算即可； （5）先进行乘方和除方运算，再进行乘除运算，最后算加减即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：； （2）A、，即：任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； B、对于任何正整数，，正确； C、，故，选项错误； D、负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数，正确； 故选C． （3）； ； 同理可得：； 故答案为：，； （4）； 故答案为：； （5）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的运算．理解并掌握除方运算，是解题的关键． 【融会贯通】 1．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 【答案】(1)， (2)：，， (3) (4) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解：依题意得：，， 故答案是：，； （2）依题意得：， ， ； 故答案为：，，； （3）依题意得：． 故答案为：； （4） 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作的圈次方，记作，读作的圈次方，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：________；________； (2)以下说法中，正确的有_________(多选题) A．任何非零数的圈次方都等于；     B．对于任何正整数，的圈次方等于； C．     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E． (3)一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (4)算一算：． 【答案】(1)， (2)ABD (3) (4) 【分析】（1）根据除方的定义，将原式变形求解； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的定义逐一判断即可； （3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式； （4）根据（3）中通项式将原式每一项展开，然后根据有理数混合运算的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，． （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；  所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1； 所以选项B正确； C、， 则  ； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； E．， ∴，故E选项错误； 故选：ABD． （3） （4）解：∵，， ∴ 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 3．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4）25 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 【一览众山小】 1．小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设这四个数字分别为：，，，且，故，，然后分类讨论，得到这4个数有可能的结果，从而判断出答案． 【详解】解：设这四个数字分别为：，，，且， 故，； 当时，得， 且 此时所以 当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5； 故选为：A． 2．如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 【答案】A 【分析】 此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数． 【详解】解：且， a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且， 可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数， 故选：A． 3．对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【答案】2 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 4．当 时，取得最小值为 ． 【答案】 1012 1023132 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，再根据绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，是数轴上表示的点与表示1的点之间的距离； 是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； …… 是数轴上表示的点与表示2023的点之间的距离； 即在数轴上找出表示的点，使它到表示1、2、3……2023各点的距离之和最小， 当时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：1012，1023132． 5．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 6．（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解除方的定义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义逐一判断即可； （2）根据除方的定义，结合有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解（1）A、设，则，说法正确，不符合题意； B、代表个1相除，结果仍为，说法正确，不符合题意； C、，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C； （2） 7．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【详解】解：①， ， ， ②， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． 8．对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为，3，，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点． (1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点； (2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则________，E表示的数是_______； (3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数； (4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示） 【答案】(1)3；6 (2)1；0 (3)点F表示的数是或 (4)点P，Q之间的距离为或或 【分析】（1）根据题干提供信息进行解答即可； （2）根据题意得出：，求出E表示的数即可； （3）分①若F在A、B之间，②若F在B的右侧两种情况进行讨论得出结果即可； （4）分四种情况进行讨论，①当点P和点Q在之间时，②当点P在之间，点Q在A点左侧时，③当点Q在之间，点P在点B右侧时，④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴A是B到C的3点， ∵，，， ∴B是A到D的6点； 故答案为：3；6． （2）解：根据题意得： ∴， ∴， ∴点E表示的数为，； 故答案为：1；0． （3）解：∵F是A到B的8点 ∴， ①若F在A、B之间： 则F：； ②若F在B的右侧： 则F：； ∴点F表示的数是或． （4）解：∵k为正整数， ∴点P到点A的距离大于等于点P到点B的距离， 即点P在数轴上一定在点A的右侧， 同理可知，点Q在数轴上一定在点B的左侧； ①当点P和点Q在之间时，如图所示： ∵，， ∴，， 同理，，， 则； ②当点P在之间，点Q在A点左侧时，如图所示： 由①可知，，， ∵，， ∴，， 则； ③当点Q在之间，点P在点B右侧时，如图所示： 由①可知，，， ∵，， ∴，， 则； ④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，如图所示： 由②③可知，，， ，， 则； 综上分析可知，点P，Q之间的距离为或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$