专题01 有理数及其运算（6大知识点+10大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材北师大版

专题01 有理数及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03 数轴、相反数、绝对值 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 2.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 知识点04 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点05 有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06 科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【考点1 相反意义的量】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）零上，记作，零下，记作（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若3根红色木棍表示，则5根黑色木棍表示（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）吐鲁番沙漠植物园低于海平面80.97米，记作米，崆峒山是“丝绸之路”西出关中的要塞，它的海拔为2123米，记作（    ） A．0米 B．米 C．米 D．米 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【考点2 求一个数的绝对值、相反数、倒数】 【例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）的相反数是 ；绝对值是 ． 【变式1】（24-25七年级上·天津·期末）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有理数的相反数是 ，绝对值是 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）的倒数的相反数是 ，的绝对值是 ． 【考点3 有理数的比较大小】 【例3】（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： （用“”“”填空）． 【变式1】（24-25七年级上·广西梧州·期末）比较大小： ．（填“”或“”）． 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）比较大小： ．（填“>”或“<”） 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在比较大小： （填“>”“<”或“”) 【考点4 绝对值得非负性求解问题】 【例4】（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【变式3】（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【考点5 用科学记数法表示较大的数】 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【变式1】（24-25七年级上·重庆巫山·期末）据统计，2024年考研报名人数约有438万，较2023年减少，为自2015年来首次下降．把438万用科学记数法表示为 ． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）据综合测算，2024年“五一”假期徐州共接待游客571.78万人次，徐州各大商圈特色活动不断出新，充分释放消费活力．将数据万用科学记数法表示为 ． 【考点6 数轴上表示含绝对值乘方的有理数】 【例6】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）画出数轴并表示下列各数：0，，，，2 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上表示下列各数，并将各数用“＜”号连接起来： ，，，，，． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【变式3】（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【考点7 有理数的混合运算】 【例7】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2)． 【变式1】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2) 【变式3】（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【考点8 有理数的运算中的新定义型问题】 【例8】（24-25七年级下·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 【变式3】（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【考点9 有理数的运算中规律探究问题】 【例9】（23-24八年级上·吉林四平·期末）观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①    ②    ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：__________； (2)写出第个等式：__________； (3)根据上述规律，计算： 【变式2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 【变式2】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【考点10 有理数的运算中应用问题】 【例10】（25-26七年级上·湖北·期末）某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、． (1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨； (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)在“”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）出租车司机郑师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶运营，下表是郑师傅这天上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负，表示空载，表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 里程 载客 (1)郑师傅走完第7次里程后，它在地的__________（填“东”或“西”）面，离地有__________千米； (2)已知出租车行驶每千米的油耗约0.07升，郑师傅开始营运前油箱里有7升油，若剩余油量少于2升则需要加油，请通过计算说明郑师傅这天上午中途是否可以不加油； (3)已知载客时2千米以内收费7元，超过2千米后每千米收费1.6元，问郑师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 一、单选题 1．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）下列四个数中，绝对值最大的是（     ） A．2 B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．与 B．与) C．与 D．与 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖北·期末）已知a，b两个数在数轴上的对应点A，B如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广西梧州·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 7．（25-26七年级上·全国·期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ． 8．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，且，则点表示的数是 ． 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 .（填写序号） 10．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) (3) 12．（25-26七年级上·湖北·期末）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从甲地出发，约定向东走为正，当天某段时间内，他行驶的里程记录如下（单位：公里） (1)这段时间收工时，快递员在甲地的哪个方向？距甲地多远？ (2)若电动车每公里耗电度，每度电价为元，求快递员这段时间内的电费是多少元？ 13．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 14．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正，减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产_______辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______辆． (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得元，若超额完成任务则超出部分每辆另奖元；若未完成任务，则以计划任务量为基准，每少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 15．（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03 数轴、相反数、绝对值 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 2.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 知识点04 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点05 有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06 科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【考点1 相反意义的量】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）零上，记作，零下，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的定义，根据零上温度用正数表示，零下温度用负数表示即可． 【详解】解：由零上记作， 则零下应记作． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若3根红色木棍表示，则5根黑色木棍表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反意义的量，熟记正负数的概念是解决问题的关键． 根据正负数的概念，红色木棍表示正数，黑色木棍表示负数，即可得到答案． 【详解】解：∵ 红色木棍表示正数，黑色木棍表示负数，且3根红色木棍表示， ∴ 5根黑色木棍表示， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）吐鲁番沙漠植物园低于海平面80.97米，记作米，崆峒山是“丝绸之路”西出关中的要塞，它的海拔为2123米，记作（    ） A．0米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：海拔为2123米记作米， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，结合增产50千克记作“千克”，则减产30千克应记作“千克”，即可作答． 【详解】解：∵今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克” ∴今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作“千克”， 故选：A． 【考点2 求一个数的绝对值、相反数、倒数】 【例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，熟记和灵活运用相反数和绝对值的定义是解题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，得到答案即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：；． 【变式1】（24-25七年级上·天津·期末）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 3 /0.4 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：3；． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有理数的相反数是 ，绝对值是 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的相反数与绝对值，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值为它本身；零的绝对值为零；负数的绝对值为它的相反数；掌握这两个概念是解题的关键；根据相反数与绝对值的概念进行计算即可． 【详解】解：的相反数是；； 故答案为：；． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）的倒数的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查倒数，相反数，绝对值，熟练掌握相关的定义，是解题的关键．根据倒数，相反数，绝对值的定义，即可解答． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数是3，， ∴的倒数的相反数是3，的绝对值是． 故答案为：3；． 【考点3 有理数的比较大小】 【例3】（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： （用“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 将带分数转换为小数后比较两个负数的大小． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 【变式1】（24-25七年级上·广西梧州·期末）比较大小： ．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）比较大小： ．（填“>”或“<”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握有理数的大小比较及绝对值是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较大小，绝对值越大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为＜． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在比较大小： （填“>”“<”或“”) 【答案】 【分析】本题考查化简多重符号，去绝对值，有理数大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先化简多重符号，去绝对值，得到，，有理数大小比较的法则：正数大于一切负数，据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【考点4 绝对值得非负性求解问题】 【例4】（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：，，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故答案为：，． 【变式3】（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 【考点5 用科学记数法表示较大的数】 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·重庆巫山·期末）据统计，2024年考研报名人数约有438万，较2023年减少，为自2015年来首次下降．把438万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：438万． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）据综合测算，2024年“五一”假期徐州共接待游客571.78万人次，徐州各大商圈特色活动不断出新，充分释放消费活力．将数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 【考点6 数轴上表示含绝对值乘方的有理数】 【例6】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）画出数轴并表示下列各数：0，，，，2 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数．熟练掌握在数轴上用点表示数，是解题的关键． 画出数轴，在数轴直接表示出所给数的位置即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上表示下列各数，并将各数用“＜”号连接起来： ，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的大小，熟练掌握在数轴上表示有理数是解题的关键； 先将各数在数轴上表示出来，比较大小即可求解； 【详解】解：，，， 在数轴上表示为： 将各数用“＜”号连接起来：； 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、利用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方、绝对值，先将各个数进行计算，再表示在数轴上，比较即可得解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 【变式3】（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】(1)3，3； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查有理数的乘方，数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简各数，再进行分类即可； （2）把有理数在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上表示的有理数，从左到右，有小于号连接即可． 【详解】（1）解：，，0，是整数，有3个； ，，，，是负数，有3个， 故答案是：3,3； （2）解：如图所示： （3）解：． 【考点7 有理数的混合运算】 【例7】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括乘除、加减、绝对值和乘方运算，解题时需注意运算顺序：先乘方、乘除后加减，有括号和绝对值时先计算内部； （1）先计算除法与乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算绝对值，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序及乘法分配律的运用． （1）利用乘法分配律将分别与括号内的每一项相乘，再计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号内的运算，接着计算乘法，最后计算减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则进行计算即可； （2）先算乘方，再进行小括号内的计算，继而算乘除，最后进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算； （1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点8 有理数的运算中的新定义型问题】 【例8】（24-25七年级下·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确理解题目中给出的新定义，按照要求计算为解题关键． （1）根据题目中给出的新定义列式计算即可； （2）根据题目中给出的新定义列式按照有理数混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 【变式1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)40 【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键． （1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可； （2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据的运算法则列式计算即可； （2）先计算，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 【变式3】（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 【考点9 有理数的运算中规律探究问题】 【例9】（23-24八年级上·吉林四平·期末）观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式发现计算规律是解题关键． （1）根据已知等式规律即可求解； （2）根据已知等式规律完成猜想即可； （3）根据已知等式规律即可求解． 【详解】（1）解：观察题中等式可知， , 故答案为：． （2）解：猜想：． 故答案为：． （3）解：由中的发现可知， ． 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①    ②    ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：__________； (2)写出第个等式：__________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）解：∵①    ②    ③ 第4个等式是：． （2）由（1）归纳可得： 第个等式： （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的计算，找规律，利用规律求值． （1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）按以上规律写出第5个等式：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【答案】(1)55； (2)595 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据题目中的算式，总结得到规律是解题的关键． （1）根据所给的4个算式的规律，可知，求解即可；根据所给的算式总结得到规律，即可获得答案； （2）用的值减去的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据所给的4个算式的规律，可得； 根据所给的算式，总结得到规律为：． 故答案为：55；； （2）原式 ． 【考点10 有理数的运算中应用问题】 【例10】（25-26七年级上·湖北·期末）某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、． (1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨； (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)经过这6天，仓库里的水泥减少了；减少了吨 (2) (3)这6天要付元装卸费 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加减法，有理数的乘法等知识点，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据有理数的减法运算，可得答案； （3）根据装卸都付费，可得总费用． 【详解】（1）解： ， 答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨； （2）解：（吨）， 答：6天前仓库里存有水泥吨， 故答案为：200； （3）解： （元）， 答：这6天要付元装卸费． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)在“”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)，14； (2)行车电脑不会发出充电提示． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减应用，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，得，即可得“”处的数为；再比较，然后列式，即可作答． （2）理解题意，先算出总的路程，得，因为续航为，剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示，然后，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵该汽车第六天行驶了． ∴， ∴在“”处的数为； ∵， ∴， ∴这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： 则 ∴ ∴，故行车电脑不会发出充电提示． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）出租车司机郑师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶运营，下表是郑师傅这天上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负，表示空载，表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 里程 载客 (1)郑师傅走完第7次里程后，它在地的__________（填“东”或“西”）面，离地有__________千米； (2)已知出租车行驶每千米的油耗约0.07升，郑师傅开始营运前油箱里有7升油，若剩余油量少于2升则需要加油，请通过计算说明郑师傅这天上午中途是否可以不加油； (3)已知载客时2千米以内收费7元，超过2千米后每千米收费1.6元，问郑师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 【答案】(1)西，6 (2)郑师傅这天上午中途可以不加油，见解析 (3)郑师傅这天上午最高一次的营业额是32.6元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可； （3）分别求得每次载客后的营业额后即可求得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 即郑师傅走完第7次里程后，它在A地的西面，离A地有6千米， 故答案为：西；6； （2）解：（千米）， ∴（升）． ， 郑师傅这天上午中途可以不加油． （3）解：由表格可得第3次载客行驶了18千米，行驶的路程越多，营业额越高， ∴（元）． 答：郑师傅这天上午最高一次的营业额是32.6元． 一、单选题 1．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）下列四个数中，绝对值最大的是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的计算，有理数大小的比较；计算各数的绝对值并比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴ 绝对值最大的是， 故选；B： 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．与 B．与) C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的识别，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求出各个选项中两个数的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不互为相反数，不符合题意； B、与不互为相反数，不符合题意； C、与互为相反数，符合题意； D、与不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，有理数的除法运算，有理数的乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据各运算法则逐项计算进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、 ，故该选项符合题意； 故选：D ． 4．（25-26七年级上·湖北·期末）已知a，b两个数在数轴上的对应点A，B如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的知识点是解题的关键． 先根据数轴判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知，且， A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算不正确，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级上·广西梧州·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，图3中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，据此根据题意计算出对应的序号即可得到答案． 【详解】解：如图3，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，即表示该生为9班的学生， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ． 【答案】 【分析】此题考查了正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负，据此求解即可． 【详解】解：∵温度上升，记作， ∴温度下降记作． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】设点C表示的数是x，先求出点表示的数，再根据对折得出，计算求解即可． 本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数是x， ∵点A对应的点落在点B的右边，且，点B表示的数是8， ∴点表示的数是， ∴， 解得， 即点C表示的数是， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 .（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数和利用数轴比较有理数的大小．利用数轴、相反数、绝对值等知识进行解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 10．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 【答案】2 【分析】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图形如何转化成常见运算的形式．根据题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：2． 三、解答题 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号； （3）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（25-26七年级上·湖北·期末）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从甲地出发，约定向东走为正，当天某段时间内，他行驶的里程记录如下（单位：公里） (1)这段时间收工时，快递员在甲地的哪个方向？距甲地多远？ (2)若电动车每公里耗电度，每度电价为元，求快递员这段时间内的电费是多少元？ 【答案】(1)收工时，快递员在甲地西面3公里处 (2)快递员这段时间内的电费为元 【分析】本题考查正负数实际应用，绝对值计算等． （1）将题干中数据进行加减计算即可； （2）将题干数值绝对值相加计算即可，后结果再即为答案． 【详解】（1）解：， ∴收工时，快递员在甲地西面3公里处； （2）解：快递员的总路程为： （公里）， （元） 答：快递员这段时间内的电费为元． 13．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握． （1）根据，求出的值是多少即可． （2）根据题中新定义得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴， 化简得：， 解得：． 14．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正，减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产_______辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______辆． (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得元，若超额完成任务则超出部分每辆另奖元；若未完成任务，则以计划任务量为基准，每少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)601 (2)23 (3)84075元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则运算的应用，理解题意是关键； （1）前三天计划生产600辆，根据增减记录求和得到实际增减量，相加得实际产量； （2）比较每天增减记录，最大值与最小值之差即为多生产量； （3）计算一周增减总和得实际产量，根据超额情况计算工资，包括基本工资和奖励． 【详解】（1）解：前三天计划生产（辆）， 增减记录为，总和为（辆）， ∴前三天共生产（辆）， 故答案为：601； （2）解：产量最多的一天增减为，产量最少的一天增减为， ∴多生产（辆）； 故答案为：23； （3）解：一周增减总和为（辆）， 实际生产（辆）． ∵实际生产1401辆，计划1400辆， ∴超额1辆，工资总额为（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84075元． 15．（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的计算，找规律，利用规律求值． （1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）按以上规律写出第5个等式：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3） ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $