2.2.1 直线的点斜式方程（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 直线的点斜式方程 2.2 直线的方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点) 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点) 情景导入 旧知回顾 上节课我们学习了直线的倾斜角与斜率，你能简述一下它们的概念吗？ 直线的倾斜角： 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角． 倾斜角的取值范围： 0 ≤ α < π． 直线的斜率： 一条直线的倾斜角 α（）的正切值 k 称为这条直线的斜率，即 k =tan α ． 你能在纸上默写出斜率公式吗？ 斜率公式：经过两个不同点 A(x1，y1)，B (x2，y2)，(x1≠x2) 的直线的斜率为 情景导入 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领： 一是托枪的手要非常稳， 二是眼睛要瞄准目标的方向. 若把子弹飞行的轨迹看作一条直线， 并且射击手达到上述的两个动作要求， 试分析子弹是否会击中目标. 给定直线的斜率和直线上一点，或者给定两点，都能唯一确定一条直线． 本节，我们将用给定的条件，将直线上所有点的坐标（x，y）满足的共同关系表示出来，这就是直线方程． 1.直线的点斜式方程 新知探究 如图 ，已知直线 l 的斜率为 k，且 l 过已知点 P0(x0， y0)， 设 P(x， y)为 l 上不同于P0的任意一点． 因为直线 l 的斜率 于是可得 y －y0 = k (x－x0).（1） 可以验证，直线 l 上的每个点（包括点P0）的坐标都是这个方程的解； 反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上． 我们称方程（1）为过点 P0(x0， y0)，斜率为 k 的直线 l 的方程． 由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程（1）称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为 l 上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是 x = x0 ． 综上可知，若直线 l 过点 P0(x0， y0)， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，斜率为 k， 那么直线 l 的方程为：y －y0 = k (x－x0)． 特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，斜率 k=0， 直线 l 的方程为：y = y0 ． 当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在， 直线 l 的方程为：x = x0 ． 课本例1　已知直线l经过点P(2,3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线. 经过点P(2,3)，斜率为2的直线的点斜式方程是 y－3＝2(x－2). 画该直线时，可在直线l上另取一点P1(x1，y1)， 如取x1＝1，y1＝1，得P1(1,1)， 过P，P1作直线即为所求，如右图. 课本例题 9 例 1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； 由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4). 典例剖析 (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°. 由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1). 10 求直线的点斜式方程的思路 概念归纳 11 1.写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍； 练一练 12 (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行. 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. 练一练 13 我们称方程______________为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程y－y0＝k(x－x0)称为直线的___________，简称点斜式. y－y0＝k(x－x0) 点斜式方程 概念归纳 14 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0. 特别地，x轴的方程是y＝0； 当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程. 此时可将方程写成x＝x0. 特别地，y轴的方程是x＝0. 15 2.直线的斜截式方程 新知探究 例1（课本例2)已知直线 l 的斜率为 k，与 y 轴的交点是P(0，b)，求直线 l 的方程． 解：经过点P(0，b)，斜率为 k 的直线的点斜式方程是 y－b= k (x－0)， 整理得 y = k x + b． （2） 概念归纳 直线 l 与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线 l 在y轴上的截距（纵截距）． 方程（2）由直线 l 的斜率和它在y轴上的截距确定， 因此把方程（2）称为直线的斜截式方程，简称斜截式． 注：直线的纵截距，不是一个点，也不是距离， 而是直线与y轴交点的纵坐标． 17 观察方程y = k x + b，与我们初中学过的一次函数解析式相同． 从直线方程的角度来认识一次函数 y = k x + b，它的图象是一条直线，其中参数 k 是直线的斜率，常数 b 是直线在 y 轴上的截距． 如果数列{an}为等差数列， 那么 an=a1＋(n－1)d = dn＋(a1－d )， 所以数列{an}的图象是直线 y = dx＋(a1－d )上一系列孤立的点，该直线的斜率为 d． 因为( n，an)， ( m，am) 为直线上的两点， 所以 ， 所以 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 典例剖析 例2.根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； ∵直线的倾斜角为150°， (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. ∵直线的倾斜角为60°， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 20 练一练 ∴其倾斜角α＝120°， 21  求直线的斜截式方程的策略 概念归纳 22 1.直线l与y轴的交点(0，b)的_______称为直线l在y轴上的截距. 2.把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式. 纵坐标 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 23 3.含参数的直线方程的几何特征 新知探究 例3.已知直线l：y＝ax＋ . (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； 所以直线l必经过第一象限. 例3.已知直线l：y＝ax＋ . (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 典例剖析 25 对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)， 该直线恒过定点(x0，y0). 概念归纳 26 2.(1)已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点（ ） A.(1,3) B.(－1，－3) C.(3,1) D.(－3，－1) 直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). 练一练 C 27 (2)直线y＝ax－ 的图象可能是（ ） 练一练 B 28 1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（ ） A.直线经过定点(2，－1)，斜率为－1 B.直线经过定点(1，－2)，斜率为－1 C.直线经过定点(－2，－1)，斜率为1 D.直线经过定点(－1，－2)，斜率为－1 随堂练 D B 随堂练 3.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（ ） A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 B C 错因分析 例4　一条直线l过点(2，1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________． y＝x－1或y＝－x＋3 解析：∵直线l与x轴的夹角为45°， ∴直线l的倾斜角α＝45°或135°. ∴直线l的斜率k＝1或－1. ∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2) 即y＝x－1或y＝－x＋3. 易错辨析　忽视倾斜角的范围出错 出错原因： 误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形． 纠错心得: 在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解． 错因分析 分层练习-基础 1.经过点P(0,2)且斜率为2的直线的方程为（ ） A.y＝－2x－2 B.y＝2x－2 C.y＝2x＋2 D.y＝－2x＋2 2.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为（ ） A.x＝3 B.x＝－2 C.y＝3 D.y＝－2 C D 33 分层练习-基础 3.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是（ ） A.y－1＝x B.y＋1＝x C.y－1＝－x D.y＋1＝－x 4.(多选)给出下列四个结论，正确的是（ ） A.方程k＝ 与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 B BC 5.直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为（ ） A.a＋b B.2a－b C.b－2a D.|2a－b| 分层练习-基础 C BC 7.不管k为何值，直线y＝k(x－2)＋3必过定点_____. (2,3) 8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的 斜截式方程是____________________________. 分层练习-基础 9.求倾斜角为直线y＝ ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(－4,1)； 分层练习-基础 (2)在y轴上的截距为－10. 因为直线在y轴上的截距为－10， 分层练习-基础 10.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 分层练习-基础 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，易知k≠0， 11.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1， 则m的值可以是（ ） 分层练习-巩固 12.直线y＝ax与直线y＝x＋a在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） CD C 13.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程 为（ ） A.y＝x＋3 B.y＝x－1 C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1 分层练习-巩固 14.将直线y＝ (x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的 斜截式方程是________________. BC 分层练习-拓展 15.已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交， 则k的取值范围是_________. 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2,1). 分层练习-拓展 (2)若当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， 课堂小结 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. (3)含参数的直线方程的几何特征. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线的方程时忽视斜率不存在的情况； 混淆截距与距离. ∴所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2). x ∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得方程为y＝－x－2. ∴其斜率k＝tan 60°＝. ∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. ∴所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， 故所求直线的方程为y＝x－5. 1.求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程. ∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. 因为点位于第一象限， 因为y＝ax＋＝a＋， 所以直线l恒过定点. 设A，则直线OA的斜率kOA＝＝3. 因为直线y＝ax－，所以该直线的斜率与截距异号且a≠0， 结合选项知B项正确. 2.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为（ ） A.9 　　　　B.－9 　　　　C. 　　　　D.－ 4.经过点(－1,1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（ ） A.x＝－1 B.y＝1 C.y－1＝(x＋1) D.y－1＝2(x＋1)   6.(多选)已知直线l：y＝x－1，则（ ） A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1  y＝x－6或y＝－x－6 由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. －x 因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4). 所以由直线的斜截式方程得y＝x－10. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2). 综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2). 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2. 解得k＝. A.－2 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.2  y＝－x＋2 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. $$