2.1.1 有理数的加法（第1课时 有理数的加法法则）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

2.1.1 有理数的加法 人教版（2024）七年级数学上册 第二章 有理数的运算 （第一课时） 有理数的加法法则 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性. 2.能运用该法则准确进行有理数的加法运算.(重点） 3.经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数加法的法则.（难点） 在小学，我们学过正数及0的加法运算．引入负数后，怎样进行加法运算呢？ 实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算.例如，在本章引言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算18.5＋（－6.5），12.0＋（－15.2）等. 情景导入 一个物体沿着一条直线左右方向的运动,我们规定向右为正，向左为负. 问题1：如果小猫先向右运动5米，再向右运动3米，那么两次运动的 最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ +5米 +3米 （+5）+（+3）= +8 1.有理数的加法法则 新知探究 5 问题2：如果小猫先向左运动5米，再向左运动3米，那么两次运动的 最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ -5米 -3米 （-5）+（-3）= -8 6 （+5）+（+3）= +8 （-5）+（-3）= -8 同号两数相加 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. （-5）+（-3） =-(5+3) =-8 同号两数相加 取相同符号 把绝对值相加 7 问题3：如果小猫先向左运动3米，再向右运动5米，那么两次运动的 最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ -3米 +5米 （-3)+5= 2 8 问题4：如果小猫先向右运动3米，再向左运动5米，那么两次运动的 最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ -5米 3+（-5）=- 2 +3米 0 1 2 3 4 -1 -2 9 （-3）+5= 2 3+（-5）= -2 异号两数相加 （绝对值不相等） 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （-9）+（+2） =-(4+8) =-12 异号两数相加 取绝对值较大的符号 用较大的绝对值减较小的绝对值 10 （3） 如果小猫先向西行走5米，再继续向东行走5米，则小猫两次一共向哪个方向行走了多少米？ -3 2 1 0 1 -4 -5 东 5+（-5）= 0（米） 解：小猫一共行走了0米.写成算式为： 互为相反数的两个数相加得0. （4)如果小猫先向西行走5米，然后在原地休息，则小狗向哪个方向行走了多少米？ -3 -2 -1 0 1 -4 -5 东 小狗向西行走了5米.写成算式为： （-5）+0= -5（米） 一个数同0相加，仍得这个数. 1. 用算式表示下列结果： (1)“南岳衡山”是我国著名的五岳之一.已知衡山山顶某 日早晨的气温是－6 ℃，到中午上升了15 ℃，求衡山 山顶这天中午的气温可列式为 ⁠； (2)若数轴上点 A ， B 分别表示数－2，4，则 A ， B 两点之 间的距离可列式为 ⁠. (－6)＋15＝9(℃)　 ｜－2｜＋｜4｜＝6　 练一练 2.用算式表示下列结果： (1)一个潜水员从水面潜入水下60米，然后又上升31米，求潜 水员的位置可列式为 ；　 (2)[2024·温州鹿城区期末]某工地记录了仓库水泥的进货和出 货数量，某天进货3吨，出货4吨，记进货为正，出货为 负，求当天库存的变化量可列式为 ⁠ ⁠. (－60)＋31＝－29(米)　 (＋3)＋(－4)＝ －1(吨)　 3. 请填写符号： (1)(－16)＋6＝ (16 6)； (2)(－10)＋(－8.2)＝ (10 8.2)； (3)(－8)＋17.5＝ (17.5 8)； (4)0＋(－4)＝ 4. －　 －　 －　 ＋　 ＋　 －　 －　 4.下列结论中不正确的是(　C　) A. 若 a ＞0， b ＞0，则 a ＋ b ＞0 B. 若 a ＜0， b ＜0，则 a ＋ b ＜0 C. 若 a ＜0， b ＞0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＋ b ＞0 D. 若 a ＞0， b ＜0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＋ b ＞0 C 例1（新课本例题） 计算： (1)(-3)+(-9); (2)(-8)+0; (3)12+(-8); (4)(-4.7)+3.9; (5)(-)+. 解：(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12; (2)(-8)+0=-8; (3)12+(-8)=+(12-8)=4; (4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8; (5)(-)+=0. 方法总结： 1.先判断类型（同号、异号等）； 2.再确定绝对值较大的数的符号； 3.后进行绝对值的加减（同加异减） 典例剖析 17 5.计算－1＋(－4)的结果是(　C　) A. 1 B. －1 C. －5 D. 5 6.计算－｜－3｜＋5的结果是(　B　) A. 8 B. 2 C. －2 D. －8 C B 练一练 7.计算： (1)(－0.9)＋(－0.87)； 【解】(－0.9)＋(－0.87)＝－(0.9＋0.87)＝－1.77. (2) ＋3 ； 【解】 ＋3 ＝－ ＝－1 . (3)(－5.25)＋5 ； 【解】(－5.25)＋5 ＝(－5.25)＋5.25＝0. (4)(－89)＋0. 【解】(－89)＋0＝－89. 8.计算： (1)(－13)＋(－7)； 【解】(－13)＋(－7)＝－(13＋7)＝－20； (2)(－14)＋(＋25)； 【解】(－14)＋(＋25)＝25－14＝11. (3)(－3.75)＋2.25； 【解】(－3.75)＋2.25＝－(3.75－2.25)＝－1.5. (4) . 【解】 ＝ ＝ ＝ . 任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系?加上一个负数呢?请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明. 任何一个数加上一个正数，和大于原来的数； 任何一个数加上一个负数，和小于原来的数； 思考 22 例2.已知│a│= 8，│b│= 2； （1）当a、b同号时，求a+b的值； （2）当a、b异号时，求a+b的值. 分析：先根据的a、b符号，分类讨论，再计算a+b的值 解：因为│a│= 8，│b│= 2，所以a= ±8，b= ±2. （1） 因为a、b同号，所以a= 8，b= 2或a= -8，b= -2. 所以a+b= 8+2=10，或a+b=- 8+（-2）=-10. 典例剖析 （2） 因为a、b异号，所以a= 8，b=- 2或a= -8，b= 2. 所以a+b= 8+（-2）=6，或a+b=- 8+2=-6. 若|x－3|与|y＋2|互为相反数，求x＋y的值． 解：由题意得|x－3|+|y＋2|=0，又|x－3|≥0，|y＋2|≥0，所以x－3= 0，y＋2=0，所以x=3 ，y=－2. 所以x＋y=3－2=1. 例3.若|x–3|与|y＋2|互为相反数，求x＋y的值． 解：由题意得|x–3|+|y＋2|=0，又|x–3|≥0，|y＋2|≥0， 所以x–3= 0，y＋2=0，所以x=3 ，y= –2. 所以x＋y=3–2=1. 典例剖析 红队 黄队 蓝队 净胜球 红队 4:1 0:1 2 黄队 1:4 1:0 －2 蓝队 1:0 0:1 0 足球循环赛中，红队胜黄队4:1，黄队胜蓝队1:0，蓝队胜红队1:0，计算各队的净胜球数. 分析： 2.有理数加法的应用 新知探究 解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数. 三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为（＋4）＋（－2）＝＋（4－2）＝2 黄队共进2球，失4球，净胜球为 （＋2）＋（－4）＝－（4－2）＝－2 篮球共进（ ）球，失（ ）球，净胜球数为（ ）. 1 1 （＋1）＋（－1）＝0 1.用算式表示下面的结果： (1)温度由-4℃上升到7℃； (2)收入7元，又支出5元. 解：-4+7=-(7-4)=-3℃ 解：7+(-5)=+(7-5)=2 2.口算： (1)(-4)+(-6)； (2)4+(-6)； (3)(-4)+6； (4)(-4)+4； (5)(-4)+14； (6)(-14)+4； (7)6+(-6)； (8)0+(-6)； (9)(-8)+0； -10 -2 2 0 10 -10 0 -6 -8 课本练习 28 3.计算： (1)15+(-22)； (2)(-13)+(-8)； 解:原式=-(22-15) =-7 解:原式=-(13+8) =-21 解:原式=+(1.5-0.9) =-0.6 解:原式=-(-) =- 课本练习 (3)(-0.9)+1.5； (4)+(-). 29 4.请你用生活实例解释(-3)+2=-1,(-3)+(-2)=-5的意义. (-3)+2=-1的意义： 一辆汽车在东西方向的路上行驶，规定汽车向东为正，汽车先向东行驶了三米，又向西行驶了两米，最后的位置在东边一米处 (-3)+(-2)=-5的意义： 小明买黑笔支出了3元，买铅笔支出了2元，一共支出了5元. 1. [2024·杭州西湖区期末]计算－5＋4的结果是(　A　) A. －1 B. －9 C. 1 D. 9 2. 下列各式的计算结果符号为负的是(　B　) A. (＋3)＋(＋8) B. (－3.2)＋(＋2.3) C. (－5)＋6 D. (－5.12)＋(＋5.12) A B 随堂练习 3. [母题 教材P28练习T4] 下列问题情境，不能用加法算式－ 3＋11表示的是(　C　) A. 水位先下降3 cm，再上升11 cm后的水位变化情况 B. 某日最低气温为－3 ℃，温差为11 ℃，该日最高气温 C. 数轴上表示－3与11的两个点之间的距离 D. 用11元钱购买3元文具后剩下的钱 C 4. [2024·苏州吴江区月考]已知｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，且 a ＜0， b ＞0，则 a ＋ b 的值为(　A　) A. 1 B. －1 C. 7 D. －7 5. 若两个数的和为负数，则这两个数满足(　C　) A. 都是负数 B. 都是正数 C. 至少一个是负数 D. 恰好一正一负 A C 6. 在“计算｜(－5)＋□｜”的□中填上一个数，使结果等 于11，这个数是(　D　) A. 16 B. 6 C. 16或6 D. 16或－6 D 7. [母题 教材P27例1] 下列算式：①(－0.7)＋(－0.7)＝0； ②(－7)＋(＋3)＝－10；③(－5)＋0＝5；④3.6＋(－5.6) ＝－2；⑤ ＋ ＝ ；⑥ ＋ ＝－6；⑦ ＋ ＝－ ；⑧(－5)＋6＝－1；⑨(－5)＋(－4) ＝9.其中正确的是 .(填序号) ④⑤⑥⑦　 8. [新考法·程序计算法]根据如图所示的程序计算，若输入的 x 值为7，则输出的 y 值为 ⁠. －1　 9. [2024·长沙雨花区期末]若有理数 a ， b ， c 在数轴上对应 点的位置如图所示，且｜ b ｜＝｜ c ｜. (1)用“＜”号把 a ， b ，－ a ，－ b 连接起来； 【解】 a ＜ b ＜－ b ＜－ a . (2) b ＋ c 的值是多少？ 【解】由题易知 b ， c 互为相反数，所以 b ＋ c ＝0. (3)判断 a ＋ b 与 a ＋ c 的符号. 【解】因为 a ＜ b ＜0＜ c ， ｜a ｜＞｜ c ｜， 所以 a ＋ b ＜0， a ＋ c ＜0. 1. [2024合肥新站区二模]计算－3＋1的结果为(　C　) A. 2 B. 4 C. －2 D. －4 C 分层练习-基础 2. 某日一水库的水位从0：00到中午12：00上升10米，从12：00到24：00下降2米，则水库水位全天的上升量可用算式表示为(　C　) C A. (＋10)＋(＋2) B. (－10)＋(＋2) C. (＋10)＋(－2) D. (－10)＋(－2) 3. 【2024韶关武江中学期末】气温由－1 ℃上升2 ℃后是(　B　) A. －1 ℃ B. 1 ℃ C. 2 ℃ D. 3 ℃ B 4. 在有理数2，0，－1，－3中，任意取两个数相加，最小的 和是(　D　) D A. 2 B. －1 C. －3 D. －4 5. 【新考法数学文化】我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹(小棍形状的记数工具)来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是(－2)＋(＋4)＝＋2的运算过程.按照这种方法，可推算图②中表示的算式为(　B　) B A. (－5)＋(－3)＝＋2 B. (－5)＋(＋3)＝－2 C. (＋5)＋(－3)＝＋2 D. (＋5)＋(＋3)＝－2 6. 如果两数相加，和比每个加数都小，那么这两个数(　A　) A. 同为负数 B. 异号 C. 同为正数 D. 是负数和零 A 7. 【情境题·教育政策】根据《国家学生体质健康标准》的 单项指标中“男生立定跳远单项评分表”的规定，九年级 男生及格的标准是1.85 m，九年级小贤跳出了2.05 m， 记为＋0.20 m；九年级小明跳出了1.83 m，应记为 ⁠ m. －0.02　 8. 下列运算中，正确的有 个. ①(－5)＋5＝0； ②(－10)＋(＋7)＝－3； ③0＋(－4)＝－4； ④(－3)＋2＝－1； ⑤(－1)＋(＋2)＝－1. 4　 9. 计算： (1)27＋(－13)； (2)(－19)＋(－91)； 解： (1)14 (3)(－2.4)＋2.4； (4) ＋( － ). 解： (3)0 解：(4)1 解： (2)－110 10. [2024上海徐汇区月考]已知 a ， b 是有理数，那么下列说 法中，正确的是(　D　) A. 如果 a ＜0， b ＜0，那么 a ＋ b ＞0 B. 如果 a ＞0， b ＜0，那么 a ＋ b ＞0 C. 如果 a ＞0， b ＜0，那么 a ＋ b ＜0 D. 如果 a ＜0， b ＞0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，那么 a ＋ b ＜0 D 分层练习-巩固 11. 已知点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，若点 A ， B 分 别表示数 a ， b ，且满足 a ＋ b ＝1，则下列各式的值一 定是正数的是(　C　) A. a B. － b C. b ＋1 D. － a C 12. 【新考法·分类讨论法】已知｜ a ｜＝5，｜ b ｜＝2，且 a ＞ b ，则 a ＋ b 的值为 ⁠. 7或3　 13. 【新视角·结论开放题】请你用生活实例解释加法算式 (－5)＋3的实际意义： ⁠ ⁠ ⁠. (答案不唯一)某只股票上午11： 00跌5元，下午收盘时又涨3元，则这只股票这一天涨了 [(－5)＋3]元　 14. 如图，从图①中找规律，并按规律在图②的空白格里填 上合适的数. 解： 如图所示. 15. 【新视角·新定义题】设用符号＜ a ， b ＞表示 a ， b 两数中较小的数，用符号[ a ， b ]表示 a ， b 两数中较大的数，试求下列各式的值. (1)＜－5，－0.5＞＋[－4，2]； 解： (1)＜－5，－0.5＞＋[－4，2]＝－5＋2＝－3. (2)＜1，3＞＋[－5，＜－2，7＞]. 解： (2)＜1，3＞＋[－5，＜－2，7＞]＝1＋[－5，－2]＝1＋(－2)＝－1. 16. 【新视角·规律探究题】(1)比较大小(用“＜”“＞”或 “＝”填空). ①｜＋2｜＋｜－3｜ ｜(＋2)＋(－3)｜； ②｜－2｜＋｜－3｜ ｜(－2)＋(－3)｜； ③｜0｜＋｜－3｜ ｜0＋(－3)｜. ＞　 ＝　 ＝　 分层练习-拓展 (2)在(1)的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出 以下结论，请你补充完整： ①当 a ， b (填“同号”或“异号”)时，有｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a ＋ b ｜； ②当 a ， b (填“同号”或“异号”)时，有｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜； ③当 a ， b 中至少有一个为0时，有｜ a ｜＋｜ b ｜ ｜ a ＋ b ｜. 异号　 同号　 ＝　 总之，对于有理数 a ， b ，有｜ a ｜＋｜ b ｜ ⁠ ｜ a ＋ b ｜. (3)根据上述结论，请你写出当｜ x ｜＋2 024＝｜ x ＋(－ 2 024)｜时， x 的取值范围. 解： (3)由(2)可知，当｜ x ｜＋2 024＝｜ x －2 024｜ 时， x ≤0. ≥　 课堂反馈 课堂反馈 58 有理数的加法 断 定 算 同号 与0相加 异号 绝对值不相等 互为相反数 取相同的符号 绝对值相加 取绝对值较大加数的符号 “大”减“小” 相加得0 仍得这个数 课堂小结 会运用加法法则进行简单的计算． 【例1】计算： (1)(－3)＋(－10)；(2)67＋(－73)；(3)0＋(－1eq \f(3,5))． 【思路分析】先判断是下列哪种情况： 两数相加eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(同号两数,异号两数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(两数的绝对值不相等,两数的绝对值相等)),与0相加)) 然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值． 【规范解答】(1)(－3)＋(－10)＝－(3＋10)＝－13； (2)67＋(－73)＝－(73－67)＝－6； (3)0＋(－1eq \f(3,5))＝－1eq \f(3,5). 【方法归纳】当两数相加时，应先判断两数相加的类型，然后根据这一类型所对应的法则来确定和的符号与绝对值． 【规范解答】(1)设向东行驶为正，向西行驶为负．(＋15)＋(－25)＋(＋20)＝－(25－15)＋20＝(－10)＋20＝＋10.答：卡车最后停在A站东10千米处． 【方法归纳】用有理数的加法解实际问题的方法：(1)明确具有相反意义的量，规定正负；(2)把实际问题转化为有理数的加法；(3)根据结果，确定实际问题的结论. 能用有理数的加法解决实际问题． 【例2】已知一辆送货物的卡车从A站出发，先向东行驶15千米，卸货之后再向西行驶25千米装上另一批货物，然后又向东行驶20千米后停下来，问卡车最后停在何处？ 【思路分析】求运动的总结果，可以用加法来解答，这个问题没有指出行走方向，可用正负数来表示具有相反意义的量，设向东为正，则向西为负． $$