第1章 全等三角形（单元复习课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

第一章 全等三角形 八年级苏科版数学上册 单元考点串讲 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 模型专练 技巧总结 考点透视 完全重合 对应 对应 对应边 对应角 三边 两边和它们的夹角 两边和它们的夹边 两角和其中一个角的对边 斜边 直角边 相等 角的平分线上 考点1：全等图形 1. 【母题教材P8习题T1】下列各组中的两个图形属于全等 图形的是(　A　) A 典例剖析 考点2：全等三角形 2. 如图，△ ABC 的顶点 A 、 B 、 C 都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形.试在方格纸上画出相应的格点三角形： (1)在图①中画出一个格点三角形与△ ABC 全等且有一条 公共边 AB ； 解：(1)如图①所示， △ ABD 即为所求(画 法不唯一)； (2)在图②中画出一个格点三角形与△ ABC 全等且有一个 公共角∠ C . 解：(2)如图②所示，△ DCE 即为所求. 考点3：全等三角形的性质 3. 如图，点 F 、 B 、 E 、 C 在同一条直线上，△ ABC ≌△ DEF ，若∠ A ＝34°，∠ F ＝36°，则∠ DEC 的度数 为 ⁠. 70°　 4. [2024宿迁怀文中学月考]如图， AC 、 BD 相交于点 O ，△ AOB ≌△ COD ，则 AB 与 CD 的关系是 ⁠ ⁠. AB ＝ CD 且 AB ∥ CD 　 考点4：全等三角形的判定 5. [2023陕西]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝50°，∠ C ＝ 20°.过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E ，延长 EA 至点 D . 使 AD ＝ AC . 在边 AC 上截取 AF ＝ AB ，连接 DF . 求 证： DF ＝ CB . 证明：在△ ABC 中，∠ B ＝50°，∠ C ＝20°， ∴∠ CAB ＝180°－∠ B －∠ C ＝110°. ∵ AE ⊥ BC ，∴∠ AEC ＝90°， ∴∠ DAF ＝∠ AEC ＋∠ C ＝110°，∴∠ DAF ＝ ∠ CA B. 在△ DAF 和△ CAB 中， ∴△ DAF ≌△ CAB (SAS)，∴ DF ＝ CB . 6. [2023衢州]已知：如图，在△ ABC 和△ DEF 中， B 、 E 、 C 、 F 在同一条直线上.下面四个条件： ① AB ＝ DE ；② AC ＝ DF ；③ BE ＝ CF ；④∠ ABC ＝∠ DEF . (1)请选择其中三个条件，使得△ ABC ≌△ DEF ；(写出 一种情况即可) (1)解：选择的三个条件是①②③或①③④. (2)在(1)的条件下，求证：△ ABC ≌△ DEF . (2)证明：当选择①②③时，∵ BE ＝ CF ，∴ BE ＋ EC ＝ CF ＋ EC ， 即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SSS). 当选择①③④时，∵ BE ＝ CF ，∴ BE ＋ EC ＝ CF ＋ EC ，即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SAS). 考点5：作角的平分线 7. [2024常熟期末]如图，点 C 是∠ AOB 的边 OA 上一点，过 点 C 作 CD ∥ OB . (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作出∠ AOB 的 平分线，交 CD 于点 E ；(不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图所示. (2)若∠ ACD ＝62°，求∠ CEO 的度数. 解：(2)∵ CD ∥ OB ，∴∠ CEO ＝∠ BOE ，∵ OE 是 ∠ AOB 的平分线，∴∠ COE ＝∠ BOE ，∴∠ CEO ＝ ∠ COE ，∴∠ ACD ＝∠ COE ＋∠ CEO ＝2∠ CEO ，∴∠ CEO ＝ ∠ ACD ＝ ×62°＝31°. 考点6：分类讨论思想 8. [2024天津滨海新区期中]如图①， AB ＝4 cm， AC ⊥ AB ， BD ⊥ AB ， AC ＝ BD ＝3 cm.点 P 在线段 AB 上以1 cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动.它们运动的时间为 t s. (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t ＝1 时，△ ACP 与△ BPQ 是否全等？并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由； 解：(1)当 t ＝1时，△ ACP ≌△ BPQ ， PC ⊥ PQ . 理由如下： ∵ t ＝1，∴ AP ＝ BQ ＝1 cm，∴ BP ＝3 cm.∴ BP ＝ AC . 又∵ AC ⊥ AB ， BD ⊥ AB ，∴∠ A ＝∠ B ＝90°. 在△ ACP 和△ BPQ 中，∴△ ACP ≌△ BPQ (SAS)， ∴∠ ACP ＝∠ BPQ ，∴∠ APC ＋∠ BPQ ＝∠ APC ＋∠ ACP ＝90°. ∴∠ CPQ ＝90°，即 PC ⊥ PQ . (2)如图②，将条件“ AC ⊥ AB ， BD ⊥ AB ”改为“∠ CAB ＝∠ DBA ＝60°”，其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在 x ，使得△ ACP 与△ BPQ 全等？若存在，求出相应的 x 、 t 的值；若不存在，请说明理由. 解：(2)存在.①若△ ACP ≌△ BPQ ，则 AC ＝ BP ， AP ＝ BQ ，则解得 ②若△ ACP ≌△ BQP ，则 AC ＝ BQ ， AP ＝ BP ，则 解得综上所述，或 技巧一　连线构造 1. 已知，如图， AB ＝ AE ，∠ BAF ＝∠ EAF ， AF ⊥ CD ，且点 F 为 CD 的中点，试说明： BC ＝ ED . 构造全等三角形的四大技巧 解：如图，连接 AC 、 AD ，∵点 F 为 CD 的中点， ∴ CF ＝ DF . ∵ AF ⊥ CD ，∴∠ AFC ＝∠ AFD ＝90°. 在△ ACF 和△ ADF 中， ∴△ ACF ≌△ ADF (SAS)，∴ AC ＝ AD ，∠ CAF ＝∠ DAF . ∵∠ BAF ＝∠ EAF ，∴∠ BAC ＝∠ EAD . 在△ BAC 和△ EAD 中， ∴△ BAC ≌△ EAD (SAS)，∴ BC ＝ ED . 2. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＞90°， AB ＝ AC ，点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上，且 CE ＝ BD ，则线段 AE 与线段 AD 之间有什么数量关系？请说明理由. 技巧二　作垂直构造 解： AE ＝ AD . 理由：如图，过点 C 作 CM ⊥ BA 交 BA 的延长线于点 M ，过点 B 作 BN ⊥ CA 交 CA 的延长线于 点 N ，则∠ M ＝∠ N ＝90°.在△ CAM 和△ BAN 中， ∴△ CAM ≌△ BAN (AAS)，∴ CM ＝ BN ， AM ＝ AN . 在Rt△ CME 和Rt△ BND 中，∴Rt△ CME ≌Rt△ BND (HL)，∴ EM ＝ DN . ∵ AM ＝ AN ，∴ AE ＝ AD . 3. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 M 为 AB 边上任意一点，延长 BC 至点 N ，使 CN ＝ AM ，连接 MN 交 AC 于点 P ， MH ⊥ AC 于点 H . 求证： MP ＝ NP . 证明：如图，过点 N 作 NG ⊥ AC ，交 AC 的延长线于点 G . ∵△ ABC 是等边三角形， MH ⊥ AC ， ∴∠ A ＝∠ ACB ＝∠ GCN ＝60°，∠ AHM ＝∠ MHP ＝ ∠ CGN ＝90°， 在△ AMH 和△ CNG 中， ∴△ AMH ≌△ CNG (AAS)，∴ MH ＝ NG . 在△ PMH 和△ PNG 中， ∴△ PMH ≌△ PNG (AAS)，∴ MP ＝ NP . 4.如图，在△ ABC 中， AB ＞ AC ，∠1＝∠2， P 为 AD 上任意一点. 求证： AB － AC ＞ PB － PC . 技巧三：截长补短构造 证明：如图，在 AB 上截取 AE ，使 AE ＝ AC ，连接 PE . 在△ AEP 和△ ACP 中， ∴△ AEP ≌△ ACP (SAS).∴ PE ＝ PC . 在△ PBE 中， BE ＞ PB － PE ， 即 BE ＞ PB － PC . 又∵ BE ＝ AB － AE ＝ AB － AC ， ∴ AB － AC ＞ PB － PC . 5. 如图，已知 AP ∥ BC ，∠ PAB 的平分线与∠ CBA 的平分线相交于点 E ，直线 CE 交 AP 于点 D ，求证： AD ＋ BC ＝ AB . (用两种方法证明) 证明：方法一：如图，在 AB 上截取 AF ＝ AD ，连接 EF ， ∵ AE 平分∠ PAB ， ∴∠ DAE ＝∠ FAE . 在△ DAE 和△ FAE 中，∴△ DAE ≌△ FAE (SAS)， ∴∠ ADE ＝∠ AFE . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ ADE ＋∠ C ＝180°. ∵∠ AFE ＋∠ EFB ＝180°，∴∠ EFB ＝∠ C . ∵ BE 平 分∠ ABC ，∴∠ EBF ＝∠ EBC . 在△ BEF 和△ BEC 中，∴△ BEF ≌△ BEC (AAS)， ∴ BF ＝ BC ，∴ AD ＋ BC ＝ AF ＋ BF ＝ AB . 方法二：如图，延长 AE 交 BC 的延长线于点M ，∵ AE 平分∠PAB ， BE 平分∠ CBA ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵ AD ∥ BC ， ∴∠1＝∠ M ＝∠2. 在△ ABE 和△ MBE 中， ∴△ ABE ≌△ MBE (AAS)， ∴ AE ＝ ME ， AB ＝ MB . 在△ ADE 和△ MCE 中，∴△ ADE ≌ △ MCE (ASA)，∴ AD ＝ CM ，∴ BM ＝ BC ＋ CM ＝ BC ＋ AD . ∴ AD ＋ BC ＝ AB . 技巧四：倍长中线构造 6. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点. (1)求证： AB ＋ AC ＞2 AD ； (1)证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE . ∵ D 为 BC 的中点，∴ DB ＝ CD . 在△ ADC 和 △ EDB 中， ∴△ ADC ≌△ EDB (SAS)， ∴ AC ＝ BE . 在△ ABE 中， ∵ AB ＋ BE ＞ AE ，∴ AB ＋ AC ＞2 AD . (2)若 AB ＝5， AC ＝3，求 AD 的取值范围. (2)解：∵ AB ＝5， AC ＝3， BE ＝ AC ， AE ＝2 AD ，∴5－3＜2 AD ＜5＋3，∴1＜ AD ＜4. 7. 如图， AD 是△ ABC 的中线，点 E 在 BC 的延长线上， CE ＝ AB ，∠ BAC ＝∠ BCA ，求证： AE ＝2 AD . 证明：如图，延长 AD 至点 M ，使 DM ＝ AD . 连接 CM ， ∵ AD 是△ ABC 的中线，∴ DB ＝ CD . 在△ ABD 和 △ MCD 中， ∴△ ABD ≌△ MCD (SAS)，∴ AB ＝ MC ，∠ B ＝∠ MCD . ∵ AB ＝ CE ，∴ CM ＝ CE . ∵∠ BAC ＝∠ BCA ， ∴∠ B ＋∠ BAC ＝∠ ACB ＋∠ MCD ，即∠ ACM ＝∠ ACE . 在△ ACM 和△ ACE 中， ∴△ ACM ≌△ ACE (SAS)，∴ AM ＝ AE ，又∵ AM ＝2 AD ， ∴ AE ＝2 AD . 8. 如图， OA ＝ OB ， OC ＝ OD ，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°，点 P 为 BD 的中点，连接 OP ，求证： AC ＝2 OP . 证明：如图，延长 OP 至点 E ，使 PE ＝ OP ，连接 BE ， ∵点 P 为 BD 的中点，∴ BP ＝ PD . 在△ BPE 和△ DPO 中， ∴△ BPE ≌△ DPO (SAS)，∴ BE ＝ DO ，∠ E ＝∠ DOP ， ∴ BE ∥ OD ，∴∠ EBO ＋∠ BOD ＝180°. 又∵∠ AOB ＝∠ COD ＝90°，∴∠ BOD ＋∠ AOC ＝ 180°，∴∠ EBO ＝∠ AOC . ∵ BE ＝ OD ， OD ＝ OC ，∴ BE ＝ OC . 在△ EBO 和 △ COA 中， ∴△ EBO ≌△ COA (SAS)，∴ OE ＝ AC . 又∵ OE ＝2 OP ，∴ AC ＝2 OP . 9. 如图，△ ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E 、 F 分别在 AB 、 AC 上，且 DE ⊥ DF ，求证： BE ＋ CF ＞ EF . 证明：如图，延长 ED 使 DM ＝ DE ，连接 FM 、 CM . ∵点 D 是 BC 的中点，∴ BD ＝ DC . 又∵∠ BDE ＝∠ CDM ， DE ＝ DM ， ∴△ BDE ≌△ CDM (SAS)，∴ BE ＝ CM . ∵ DF ⊥ EM ，∴∠ EDF ＝∠ MDF ＝90°. 又∵ DE ＝ DM ， DF ＝ DF ， ∴△ EDF ≌△ MDF (SAS)，∴ FE ＝ FM . ∵ CM ＋ CF ＞ FM ，∴ BE ＋ CF ＞ EF . 模型一：平移型 1. 【2023·南通启秀中学模拟】已知：如图，点B，E，C，F在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE， ∠B＝∠DEF. 求证：△ABC≌△DEF. 全等三角形的四种基本模型 2. [2024镇江阶段评价测试]如图，点 A 、 D 、 C 、 F 在同一直线上，△ ABC ≌△ DEF . (1)若∠ A ＝45°，∠ E ＝60°，求∠ BCA 的度数； 解：(1)∵△ ABC ≌△ DEF ，∠ E ＝60°， ∴∠ B ＝∠ E ＝60°. 在△ ABC 中，∠ BCA ＝180°－∠ A －∠ B ＝180°－45°－60°＝75°. (2)若 AF ＝10， DC ＝2，求 AD 的长. 解：(2)∵△ ABC ≌△ DEF ，∴ AC ＝ DF . ∴ AC － DC ＝ DF － DC . ∴ AD ＝ CF . ∵ AF ＝10， DC ＝2，∴ AD ＝ ＝4. 3.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：BD＝CE. 模型二：翻折型 4. 已知：如图，点 A 、 E 、 C 在同一条直线上， AB ⊥ BC ， AD ⊥ DC ， AB ＝ AD . 求证： BE ＝ DE . 证明：∵ AB ⊥ BC ， AD ⊥ DC ， ∴∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°. 在Rt△ ABC 与Rt△ ADC 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ ADC (HL)，∴∠ BAE ＝∠ DAE . 在△ ABE 与△ ADE 中， ∴△ ABE ≌△ ADE (SAS)，∴ BE ＝ DE . 5. 已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在一条直线上，连接BD. (1)求证：△BAD≌△CAE； 模型三：旋转型 (2)图中BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论． 解：BD＝CE，BD⊥CE. 证明如下：由(1)知，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 易知∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵∠ABD＋∠DBC＝45°，∴∠ACE＋∠DBC＝45°. ∴∠DBC＋∠DCB＝∠DBC＋∠ACE＋∠ACB＝90°. ∴∠BDC＝90°.∴BD⊥CE. 6. 如图，点 E 在 CD 上， BC 与 AE 交于点 F ， AB ＝ CB ， BE ＝ BD ， ∠1＝∠2.求证： (1) AE ＝ CD ； 证明：(1)∵∠1＝∠2，∴∠ ABE ＝∠ CBD . 在△ ABE 和△ CBD 中， ∴△ ABE ≌△ CBD (SAS)，∴ AE ＝ CD . (2)∠1＝∠3. 证明：(2)由(1)知△ ABE ≌△ CBD ，∴∠ A ＝∠ C ， 又∵∠ AFB ＝∠ CFE ，∴∠1＝∠3. 模型四：一线三等角型 7.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE.求证：AB＝CD. 8. (1)如图①，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， AE 是过点 A 的一条直线，且点 B ， C 在 AE 的异侧， BD ⊥ AE 于点 D ， CE ⊥ AE 于点 E ，求证： BD ＝ DE ＋ CE ； 【证明】∵ BD ⊥ AE ， CE ⊥ AE ， ∴∠ BDA ＝∠ AEC ＝90°， ∴∠ ABD ＋∠ BAE ＝90°. 又∵∠ BAC ＝90°，∴∠ CAE ＋∠ BAE ＝90°， ∴∠ ABD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ CAE 中， ​ ∴△ ABD ≌△ CAE ( AAS ). ∴ BD ＝ AE ， AD ＝ CE . ∵ AE ＝ AD ＋ DE ，∴ BD ＝ DE ＋ CE . (2)若直线 AE 绕点 A 旋转到图②的位置( BD ＜ CE )，其余条件不变，问 BD 与 DE ， CE 的关系如何？请予以证明. 【解】 BD ＝ DE － CE . 证明：∵ BD ⊥ AE ， CE ⊥ AE ， ∴∠ BDA ＝∠ AEC ＝90°， ∴∠ ABD ＋∠ DAB ＝90°. ∵∠ BAC ＝90°，∴∠ DAB ＋∠ CAE ＝90°. ∴∠ ABD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ CAE 中， ∴△ ABD ≌△ CAE ( AAS ). ∴ BD ＝ AE ， AD ＝ CE . ∴ AD ＋ AE ＝ BD ＋ CE ， ∴ DE ＝ BD ＋ CE ，∴ BD ＝ DE － CE . 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC.∴BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． 证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴AE＝AD. ∴AB－AD＝AC－AE.∴BD＝CE. 证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD. ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)． 证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90°，∠ECD＋∠CED＝90°. ∴∠ACB＝∠CED. 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE(ASA)．∴AB＝CD. $$