训练题 30-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

"#$% １１５　 九年级训练题(三十) 一、选择题 １．从一叠扑克牌中任意抽取一张牌,是红桃的概率为１５ ,如果其中红桃有３张,那么这叠扑 克牌共有(　　)． A．１５张 B．１２张 C．１０张 D．５张 ２．在平面直角坐标系中,已知☉O 的圆心与原点重合,半径为５,则下列各点中,不在圆上的 点是(　　)． A．(４,３) B．(１,－４) C．(－３,４) D．(－５,０) (第３题图) ３．如图,设点A、B 是函数y＝４x 的图象上成中心对称的两个任意 点,斜边为AB,两条直角边分别平行于x、y轴的直角△ABC的面 积为(　　)． A．２ B．４ C．８ D．随点A、B 的变化而变化 ４．已知方程３x２－８x＋k＝０的两根之比为１∶３,则k的值为(　　)． A．２３ B． ４ ９ C．４ D．６ ５．某同学在某层教学楼上测得楼前一棵树AB 的顶端点A 的俯角为６０°,如果这名同学所站 的位置点C的高度为２４米,且点C到直线AB 的距离为１０米,那么这棵树的高度AB 为 (　　)． A．９米 B．(２４－５３)米　 C．(２４－１０３ ３ )米　 D．(２４－１０３)米 ６．如果两个相似三角形的对应高线的长度之比为a∶b,对应的角平分线的长度之比为b∶ a,那么(　　)． (第７题图) A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a、b的大小无法比较 ７．如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,斜边BC 上有两点D、E 使得∠DAE＝４５°,现将 △ABD 绕点A 逆时针方向旋转９０°后得到△ACF,连接 CF、EF,则下列结论正确的是(　　)． ①△ABE∽△FAE,②△ADE≌△AFE,③BD＋CE＝ DE,④BD２＋CE２＝DE２． A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ PUECPOWHEN １１６　 ８．已知关于x的二次函数y＝１－(x－a)(x－b)与x轴交于不同的两点(x１,０)、(x２,０),则 实数a、b、x１、x２,的大小关系可能为(　　)． A．x１＜a＜b＜x２ B．x１＜a＜x２＜b C．a＜x１＜x２＜b D．a＜x１＜b＜x２ 二、填空题 代表队有２０名同学,贝贝被选为队长的概率 ９．在“创新希望”数学夏令营中,每一个代表队都会选一名同学做队长,贝贝所在的希望之星 是 ． １０．如图所示的图案是由一个菱形通过５次旋转得到的,每次旋转的最小度数是 ． (第１０题图) 　　　　　　　 (第１６题图) １１．在☉O 中,弦AB＝４cm,圆心角∠AOB＝９０°,则劣弧AB︵的长度为 cm． １２．已知(a２－３a＋２)xa ２－５a＋６＋３x＋５＝０是关于x的一元二次方程,则a＝ ． １３．质量一定的二氧化碳的体积V(m３)与密度ρ(kg/m３)成反比例函数关系,已知当ρ＝ １􀆰９８kg/m３ 时,V＝５m３,那么当ρ＝１．１kg/m３ 时,V＝ m３． １４．在直角△ABC中,如果∠B＝９０°,tanA＝２,那么sinA＋cosA＝ ． １５．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)过点A(１,－３)、B(３,－３)、C(－１,５),顶点为点M．若 在这条抛物线上有一点P 使得∠POM＝９０°,则点P 的坐标为 ． １６．如图,在正方形ABCD 中,点E 在AB 上,AE∶BE＝２∶１,连接DE,过点A 作AG⊥DE 交DE 于点G,AG 的延长线交BC 于点F,设四边形BEGF 的面积与△AEG 的面积之比 为a,正方形ABCD 的面积与△AEG 的面积之比为b,则a＋b＝ ． 三、解答题 １７．某石材加工厂为了存放一批石料,需要一个周长为４００米的矩形场地,那么该矩形场地 的长和宽分别为多少米时才能得到最大面积? 最大面积为多少? "#$% １１７　 １８．已知实数x、y、z满足xyz＝１,求证: x１＋x＋xy＋ y １＋y＋yz＋ z １＋z＋xz 为定值． １９．如图１,点P 是反比例函数y＝１x x＞０( ) 图象上的一个动点,PA⊥x 轴于点A,PB⊥y 轴于点B,直线l:y＝－x＋tt＞０( ) 分别交x轴、y轴、PA、PB 于点C、D、E、F． (１)求DE􀅰CF 的值; (２)如图２,当直线l经过点B 时,直线l交x 轴于点G,交PA 于点H,点M 是GH 的中 点,连接PM、OM,在点P 运动的过程中,PMOM 的值是否发生变化? 证明你的结论． 图１ 　　　　　 图２ NEWHOPECUP １１８　 ２０．已知在四边形ABCD 中,点E、F 分别在边AB、AD 上,DE、CF 相交于点G． (１)如图a,如果四边形ABCD 是矩形,且DE⊥CF,求证:DECF＝ AD DC ; (２)如图b,如果四边形ABCD 是平行四边形,且∠B＝∠CGD,那么DECF＝ AD DC 是否仍然 成立? 证明你的结论; (３)如图c,若BA＝BC＝１２,DA＝DC＝１６,AB⊥AD,DE⊥CF,求DECF 的值． 图a 　 图b 　 图c NEWHOPECUP 九年级训练题(三十) 一、选择题 １．A　提示:３÷１５＝１５． ２．B　提示: １２＋(－４)２ ＝ １７＜５． ３．C　提示:S矩形ODCE ＝２S△AOD ＝２S△BOE ＝４． ４．C　提示:设两根分别为x１＝t,x２＝３t,则x１＋ x２＝４t＝８３ ,t＝２３ ,∴x１􀅰x２＝３t２＝４３＝ k ３ , ∴k＝４． ５．D　提示:２４－１０tan６０°＝２４－１０ ３． ６．B　提示:由相似得a∶b＝b∶a,∴a２＝b２,而a、b 都只能是正数,∴a＝b． ７．C　提示:由题意得∠BAD＝∠CAF,∠BAD＋ ∠CAE＝４５°,∴∠CAF＋∠CAE＝４５°, ∴∠DAE＝∠FAE＝４５°, 又AD＝AF,AE边公共, ∴ △ADE ≌ △AFE,② 正 确;∴ ∠AED ＝ ∠AEF,∠FAE＝∠DAE＝∠B＝４５°, 所以△ABE∽△FAE,①正确;DE２＝EF２＝CE２ ＋CF２＝CE２＋BD２,④正确,且知③不正确． ８．A　提示:抛物线y＝１－(x－a)(x－b)可视为由 抛物线y＝－(x－a)(x－b)向上平移一个单位 长度后得到,如图, !"#$ １７３　 二、填空题 ９．１２０　 提示:共有２０种选法,每个人被选中的概率 相同． １０．６０°　提示:３６０°÷(５＋１)＝６０°． １１．２π　提示:△AOB为等腰直角三角形,半径为 OA＝２ ２cm,∴１４×２π×２ ２＝ ２π． １２．４　提示:由 a２－５a＋６＝２, a２－３a＋２≠０{ 解得 a＝１,或a＝４, a≠１,且a≠２．{ １３．９　提示:V＝１．９８×５１．１ ＝９ (m３)． １４．３５ ５　 提示:设AB＝t,BC＝２t,则AC＝ ５t, ∴sinA＋cosA＝ t ５t ＋２t ５t ＝３５ ５． １５． ９２ ,９ ４( ) 　提示:抛物线方程为y＝x ２－４x,顶 点坐标为 M(２,－４),设抛物线上存在一点P, 满足OP⊥OM,其坐标为(k,k２－４k)．过点P 作 PE⊥y轴,垂足为点E;过点 M 作MF⊥y轴, 垂足为点F．则Rt△OEP∽Rt△MFO．∴OE∶ MF＝EP∶OF．即(k２－４k)∶２＝k∶４．解得k ＝０(舍去),k＝９２．∴ 点P 的坐标为 ９２ ,９ ４( ) ． １６．１２　 提 示:易 证 △AEG∽ △DAG,△ADE≌ △BAF,∴S△AEGS△DAG ＝ AE DA( ) ２ ＝ ２３( ) ２ ＝４９ , 而S△AEG ＋S△DAG ＝S△AEG ＋SBEGF , ∴S△DAG ＝SBEGF ,∴S△AEGSBEGF ＝ ４ ９ ,∴a＝９４ ; ∵AE∶BE＝２∶１,∴S△DAE ＝２S△BCE , 不妨设S△DAE ＝２S△BCE ＝２６m,则S△AEG ＝８m, S正方形ABCD ＝２(S△DAE ＋S△BCE)＝７８m, ∴b＝７８m８m ＝ ３９ ４ ,∴a＋b＝９４＋ ３９ ４＝１２． 三、解答题 １７．解:设该矩形场地的一边长为x米,则其邻边长 为(２００－x)米, ∴面积为x(２００－x)＝－(x－１００)２＋１００００, ∴当x＝１００米时,才能得到最大面积,最大面 积为１００００平方米． 答:略． １８．解:因为xyz＝１, ∴原式＝ x１＋x＋xy＋ xy x＋xy＋xyz＋ xyz xy＋xyz＋x２yz ＝ x１＋x＋xy＋ xy x＋xy＋１＋ １ xy＋１＋x ＝１＋x＋xy１＋x＋xy ＝１． 即 x １＋x＋xy＋ y １＋y＋yz＋ z １＋z＋xz 为定值． １９．解:(１)DE＝ ２BP,CF＝ ２AP,DE􀅰CF＝ ２BP( ) 􀅰 ２AP( ) ＝２BP􀅰AP＝２． (２)PMOM＝１ 为定值,证明如下: 连接AM,则由点 M 为GH 的中点可得AM＝ HM, 又∠OBG＝∠OGB＝４５°,PA⊥x轴,PB⊥y轴 ∴PH＝PB＝OA,∠PHM＝ ∠OAM＝９０°＋ ４５°＝１３５°, 在△PHM 和△OAM 中, PH＝OA, ∠PHM＝∠OAM, HM＝AM, ì î í ïï ï NEWHOPECUP １７４　 ∴△PHM≌△OAM, ∴PM＝OM,即PMOM＝１． 答:略． ２０．解:(１)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A＝∠ADC＝９０°, ∵DE⊥CF,∴∠ADE＝∠DCF, ∴△ADE∽△DCF,∴DECF＝ AD DC． (２)当四边形 ABCD 是平行四边形,且∠B＝ ∠CGD 时,DECF＝ AD DC 仍然成立,证明如下: 在AD 的延长线上取点H,使CH＝CF,则∠H ＝∠CFH． ∵AB∥CD,∴∠A＝∠CDH, ∵∠B＝∠CGD,∴∠B＋∠EGC＝１８０°, ∴∠BEG＋∠BCG＝１８０°, 又∵∠BEG＋∠AED＝１８０°,∠BCG＝∠CFH ＝∠H, ∴∠AED＝∠BCG＝∠CFH＝∠H, 即∠AED＝∠H,∴△ADE∽△DCH, ∴DECH＝ AD DC ,即DE CF＝ AD DC． (３)过点C作CM⊥AB于点M,作CN⊥AD 于 点N,连接BD,设CN＝a, ∵AB⊥AD, ∴四边形AMCN 为矩形,BM＝a－１２, ∵BA＝BC＝１２,DA＝DC＝１６,BD 为公共边, ∴△ABD≌△CBD, ∴∠BCD＝∠A＝∠MCN＝９０°, ∴∠BCM＝∠DCN,∴△BCM∽△DCN, ∴CMCN＝ BC DC ,即CM a ＝ １２ １６ , ∴CM＝３４a , 在 Rt△BCM 中,BM２＋CM２＝BC２, 即(a－１２)２＋ ３４a( ) ２ ＝１２２, 解得a＝０(舍),或a＝３８４２５ ,∴CN＝３８４２５ , ∵AB⊥AD,DE⊥CF,∴∠A＋∠EGF＝１８０°, ∴∠AED＋∠AFC＝１８０°, ∴∠AEG＝∠NFC, ∴Rt△ADE∽Rt△NCF, ∴DECF＝ AD NC＝ １６ ３８４ ２５ ＝２５２４．