训练题 29-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

%$#"! １１１　 九年级训练题(二十九) 一、选择题 １．某道路在比例尺为１∶８０００的地图上是２５cm,则它的实际长度为(　　)． A．３２０cm B．３２０m C．２０００cm D．２０００m ２．函数y＝－ １x 的图象可能是(　　)． A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． ３．有一个教具是由两根细小的直木棒AB、AC 和一根橡皮筋制作而成,AB、AC 都可绕点A 在同一个平面内旋转,端点B、C由橡皮筋连接,如果AB＝４０cm,AC＝３０cm,那么BC 的 长度的取值范围是(　　)． A．１０cm＜BC＜７０cm 　 B．１０cm≤BC≤７０cm C．３０cm≤BC≤７０cm 　 D．４０cm≤BC≤７０cm ４．下列结论正确的是(　　)． A．同一个平面内的三点确定一个圆 B．三角形三条角平分线的交点是三角形的外心 C．一个圆有无数个内接三角形,一个三角形有无数个外接圆 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 ５．若方程２x２－６x＋１＝０的两根分别为x１、x２,则 x１－１x２ æ è ç ö ø ÷ x２－１x１ æ è ç ö ø ÷ ＝(　　)． A．１２ B． ９ ４ C．－ ４ ３ D．－ ９ ２ 片上的字都不一样,然后放入到一个封闭的箱子中,再从中抽取五次,每次只能抽取一 ６．将“创新希望全国数学大赛”这十个字分别写在十张卡片上,每张卡片上写一个字,每张卡 张 卡片,而且记下所抽取卡片上的字后又放回箱子中,这五次所抽取的卡片上的字都是同一 个字的概率为(　　)． A．１５１０ B． １ １０５ C． １ １０４ D． １ ５５ NEWHOPECUP １１２　 ７．如图所示为一个物体的三视图,根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为(　 )． A．１６πcm２ B．１６５πcm２ C．３２３πcm２ D．６４πcm２ (第７题图) 　　　　 (第８题图) ８．如图为一座拱桥的部分示意图,中间桥洞的边界线是抛物线形,涝季的最高水位线在AB 处,此时桥洞中水面宽度AB 仅为４米,桥洞顶部点O 到水面AB 的距离仅为１米;旱季 最低水位线在CD 处,此时桥洞中水面宽度CD 达１２米,那么最低水位CD 与最高水位 AB 之间的距离为(　　)． A．８米　 　 　 B．９米 C．１０米 D．１１米 　(第１０题图) 二、填空题 ９．望望和他爸爸在公园散步,望望的身高是１６０cm,在阳光下的影子长为 ８０cm;爸爸的身高是１８０cm,则此时爸爸的影子长为 cm． １０．如图为一个五角星图案,将此图案绕中心旋转一定角度后要与原图重 合,则旋转的最小角度为 ． １１．将一元二次方程x２－２x＋a＝０配方后得到(x＋b)２＝２,则a＋b＝ ． １２．已知☉O 为△ABC的外接圆,且圆心O 在△ABC 的内部,分别过点O 作OD⊥AB,OE ⊥AC,垂足分别为点D、E,若DE＝８cm,则BC＝ cm． １３．数学的英文单词为 mathematics,现从这个单词中任意选择一个字母,则所选字母为“元 音”字母的概率为 ． １４．如图,矩形ABCO 有两条边在坐标轴上,反比例函数y＝kx k＞０( ) 的图象经过OB 的中 点D,分别交AB、BC于点E、F,若四边形OEBF 的面积为２４,则k＝ ． (第１４题图) 　　　　　　　　　 (第１５题图) １５．如图,在四边形ABCD 中,点E 在BC 上,AE∥CD,DE∥AB,如果S△ABE ＝３S△DEC ＝ ３０cm２,那么△ADE 的面积为 cm２． !"#$% １１３　 １６．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x 轴交于点A、B,与y轴交于点C,且顶点的纵 坐标为－１,如果△ABC为直角三角形,那么△ABC的面积的最大值为 ． 三、解答题 １７．某校九年级学生人数占全校总人数的３０％,现从全校学生中任意选出一名学生参加某活 动,如果选中九年级男生的概率为０．２１,那么该校九年级女生人数占全年级人数的比例 是多少? １８．记一元二次方程x２＋３x－５＝０的两根分别为x１、x２．(１)求 １x１－１＋ １ x２－１ 的值;(２)求 ３x２１＋６x１＋x２２ 的值． NEWHOPECUP １１４　 １９．如图,在直角梯形ABCD 中,∠ABC＝９０°,AB∥CD,tan∠BAD＝２,BC＝２CD,过点C 作CE∥AD 交∠ABC的平分线于点E,连接AE． (１)求证:AB＝BC; (２)将△ABE 绕点B 按顺时针方向旋转９０°得到△CBF,连接EF,求证:EF 被BC 垂直 平分; (３)延长AE 交BC 于点G,求证:点G 为BC 的中点． ２０．已知一条抛物线在x轴上截得的线段AB＝６,点A 在点B 左边,顶点C 的横坐标为４, 抛物线与y轴相交于点D ０,７９３ æ è ç ö ø ÷． (１)求此抛物线的函数解析式; (２)在该抛物线的的对称轴上有一点P,使得PA＋PD 的值最小,求出点P 的坐标; (３)在抛物线上是否存在点Q,使得△QAB 与△ABC 相似? 如果存在,求出点Q 的坐 标;如果不存在,说明理由． NEWHOPECUP 九年级训练题(二十九) 一、选择题 １．D　提示:２５×８０００＝２０００００cm＝２０００m． ２．C　提示:当x＜０或x＞０时,都有y＜０． ３．B　提示:AB、AC 在点A 的同一侧且在同一条 直线上时最短,为１０cm,分别在点A 的两侧且在 同一条直线上时最长,为７０cm． ４．D　提示:同一个平面内不共线的三点才能确定 一个圆,所以 A 错;三角形三条角平分线的交点 是三角形的内心,所以 B错;一个三角形只有一 个外接圆,所以C错． ５．A　提示:x１􀅰x２＝ １２ ,x１－１x２( ) x２－ １ x１( ) ＝ (x１􀅰x２－１)２ x１􀅰x２ ＝ １ ２． !"#$ ６．C　提示:每次抽取都是独立事件,概率都是 １１０ , 每个字被连续抽中５次的概率是 １１０５ ,共有１０个 字,所以所求概率为１０×１１０× １ １０× １ １０× １ １０× １ １０ ＝ １１０４． ７．B　提示:该物体为圆锥,底面周长为２π× ８２ ＝ ８π(cm),母线长为 ８２＋ ８２( ) ２ ＝４ ５(cm),侧 面展开图的面积为１ ２×４ ５×８π＝１６ ５ (cm２)． ８．A　提示:以顶点O为坐标原点建立平面直角坐 标系,易得抛物线的解析式为y＝－１４x ２． 二、填空题 ９．９０　提示:８０１６０×１８０＝９０． １０．７２°　提示:把中间的五个角连接起来就是一个 正五边形,３６０°÷５＝７２°． １１．－２　提示:由(x＋b)２＝２得x２＋２bx＋b２－２ ＝０,∴ ２b＝－２, b２－２＝a．{ 解得 a＝－１, b＝－１．{ ∴a＋b＝－２． １２．１６　提示:点 D、E 分别为AB、AC 的中点,∴ DE为△ABC的中位线,∴BC＝２DE＝１６cm． １３．４１１　 提示:共有１１个字母,其中“元音”字母有 ４个． １４．８　提示:如图,过点D 作DM⊥y轴于点M,则 S△AOE ＝S△DOM ＝ １４S△AOB ＝ １ ３S△BOE ＝ １ ３ × １ ２ ×２４＝４,∴k＝８． １５．１０ ３　提示:如图,过点B 作BF⊥AE 交AE 于点F,过点E作EG⊥CD 交CD 于点G,易得 △ABE∽△DEC,∴BFEG＝ S△ABE S△DEC ＝ ３ ,而AE 􀅰BF＝２×３０,∴S△ADE ＝ １２AE 􀅰EG＝ １２AE 􀅰BF ３ ＝２×３０ ２ ３ ＝１０ ３(cm２)． １６．１　提示:由题意,a＞０,且点A、B 分居原点两 侧,只可能是∠ACB＝９０°,∴ca ＜０ ,c２＝OC２＝ OA􀅰OB＝ ca ,∴ac＝－１,c＜０, S△ABC＝１２AB 􀅰OC＝ １２ 􀅰 b ２－４ac a 􀅰 c ＝ －１２ 􀅰c a 􀅰 b２－４ac,而４ac－b ２ ４a ＝ －４－b２ ４a ＝ －１, ∴４a＝b２＋４≥４,∴a≥１, ∴S△ABC＝－ １２ 􀅰c a 􀅰 b２－４ac＝ １２ 􀅰 １ a２ 􀅰 b２＋４＝１２ 􀅰１ a２ 􀅰 ４a＝ １ aa ≤１,当且仅当 a＝１,b＝０,c＝－１时等号成立． 三、解答题 １７．解:设全校总人数为a,则九年级学生人数为 ３０％a, 九年级男生人数为０．２１a,九年级女生人数为 ３０％a－０．２１a, 九年 级 女 生 人 数 占 全 年 级 人 数 的 比 例 是 ３０％a－０．２１a ３０％a ＝ ３ １０． 答:略． １８．解:(１)∵x１＋x２＝－３,x１x２＝－５, ∴ １x１－１＋ １ x２－１＝ x２－１＋x１－１ (x１－１)(x２－１) ＝ x１＋x２－２x１x２－(x１＋x２)＋１＝ －３－２ －５－(－３)＋１＝５ ; (２)∵x２１＋３x１－５＝０,∴x２１＋３x１＝５, 又∵x１＋x２＝－３,x１x２＝－５, ∴３x２１＋６x１＋x２２＝２(x２１＋３x１)＋(x１＋x２)２－ ２x１x２＝２９． １９．证明:(１)延长CE 交AB 于点H,∵AB∥CD, AD∥CE,∴CD＝AH,∠BAD＝∠BHC, ∴tan∠BHC＝tan∠BAD＝２,∴BC＝２BH, ∵BC＝２CD＝２AH,∴AB＝BH＋AH＝ １２BC NEWHOPECUP ＋１２BC＝BC ,即AB＝BC． (２)∵∠ABC＝９０°,BE平分∠ABC, ∴∠CBE＝∠ABE＝∠CBF＝１２∠ABC＝４５° , 又BE＝BF,∴BC垂直平分EF． (３)如图,连接AC, ∵BC垂直平分EF,∴CE＝CF,而CF＝AE, ∴AE＝CE,∴∠１＝∠２,∵CE∥AD, ∴∠２＝∠３,∴∠１＝∠３, 由(１)知AB＝BC,∴∠BAC＝∠BCA, ∵AB∥CD, ∴∠BAC＝∠４,∴∠BCA＝∠４, ∴△ACG≌△ACD,∴CG＝CD＝１２BC , 即点G为BC 的中点． ２０．解:(１)设抛物线解析式为y＝a(x－４)２＋k, 由题意知A(１,０)、B(７,０), 又抛物线过点D ０,７９ ３( ) , ∴ ０＝９a＋k, ７ ９ ３＝１６＋k．{ 解得 a＝ ３９ , k＝－ ３． { ∴抛物线的解析式为y＝ ３９ (x－４)２－ ３． (２)点A、B关于对称轴直线x＝４对称, ∴PA＝PB,∴PA＋PD＝PB＋PD≥BD, ∴BD 与对称轴的交点即为所求的点P． BD 所在的直线为y＝－ ３９x＋ ７ ３ ９ , 当x＝４时,y＝ ３３ ,∴点P ４,３３ æ è ç ö ø ÷ ． (３)由(１)知,点C的坐标为(４,－ ３), 过点C作CE⊥x轴交于点E, 则cot∠ACE＝ ３３ ,∠ACE＝６０°, ∵AC＝BC,∴∠ACB＝１２０°, ①当点Q 在x 轴上方时,过点Q 作QF⊥x 轴 于点F, 如果AB＝BQ,由△ABC∽△AQB 有BQ＝６, ∠ABQ＝１２０°,则∠QBF＝６０°,∴BF＝３,QF＝ ３ ３,OF＝１０,此时点Q的坐标为(１０,３ ３)． 如果AB＝AQ,由对称性可知,此时点Q的坐标 为(－２,３ ３)． 经检验,点(１０,３ ３)和点(－２,３ ３)都在抛物 线上． ②当点Q 在x 轴下方时,△AQB 就是△ABC, 此时点Q的坐标为(４,－ ３)． 综上,存在点Q,使得△QAB 与△ABC相似,点 Q的坐 标 为 (１０,３ ３)或 (－２,３ ３)或 (４, － ３)．